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Oseen C. W., Zur Hydrodynamik der Kugel.pdf


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2

6.

ARKIY FÖR MATEMATIK, ASTRONOMT 0. FYSIK. BD
Ut=-0

=

Vt:eO =

Wt-0 =

N:O

4.

Ü,

lim tt = lim v = Jim w = 0 ,
r=oo

für r = a , t

'J·=oo

> 0:

n=ni

U= U

= ~ p m, n[am., n COS nrp

+ f3m, n Sill nrp],

n=O

n=m

V =V =~Pm, n [(r~, n + r~, n) cos n<p

+ (ö~,n + ö~~J n) sin np],

n=O
n=m

" p
[(~(2)
.x(l) )
( (1)
(2) ) •
]
U'=W=~ m,n Um,n-Um,1i cosnrp+ rm,n-rm,n s1nncp.
n=O

Dabei ist:

x = r cos fJ, y = r sin .{) cos rp, z = r sin fJ sin cp .
Pm,n=Pm,n(cos-9) wird durch die Gleichung:

p

m,n

(x) = II( 1n -

ndm+n(

n ) (1 -

x2)2

II(2m)

~

x -

l)m,

=

dxm+n

{- l)n II( m + n ) (l-x2)-2
II(2m)

ndm-n(

2

x dxm-n

l)'n

i

definirt. a, ß etc. sind Funktionen von t, welche der Bedingung:

R

=

u cos fJ +

vsin fJ cos cp + w sin [) sin cp =

0

unterworfen sind, aber sonst willkühr1ich gewä.hlt werden
können.
Wir haben:
n=ni

R·= ~pm, n cos fJ [am, n cos n<p +

/3m, n

sin ncp]

+

n=O
n=m

+ ~ Pm, n sin f) [y~, n cos (n -

1) cp

+ Ö~, n sin (n -

1 ) <p]

+

n=O
n=m

~ Pm,n sin -9 [r~,n cos (n

+

+ 1) cp + o~,n sin (n + 1) <p] =

n=O
1

Vgl.

HEINE,

Handbuch der Kugelfunktionen 2:te Aufl. I, 202.