Predavanje 14 (PDF)

www.fzpkotor.com, fzp.moodle.ac.me

Prof. dr Radomir Vukasojević
dr Špiro Ivošević

TEHNIKE ZA GEOMETRIJSKO MODELIRANJE
U ovom poglavlju krive, površi i čvrsti modeli će biti opisani mnogo detaljnije, sa
ciljem da se na razumljiv način objasni priroda tehnika modeliranja i njihova
teorijska osnova.

PRIKAZ KRIVIH

Osnovni elementi grafike su tačka i linija. Od njih su sastavljeni svi znakovi,
grafički primitivi i na njih djeluju sve transformacije koje korisnik koristi kreirajući
model. Te transformacije su u program ugrađene u matematičkom oblikuhomogenim koordinatama.
Kao uvod u prikazu krivih, potrebno je prvo objasniti potrebu za alternativnim
geometrijskim prikazom u odnosu na klasičnu geometriju. Poznati su izrazi za krive:

koje predstavljaju eksplicitne jednačine prave linije i implicitne jednačine prave
linije i konusne sekcije krive.

PRIKAZ KRIVIH
Eksplicitna jednačina nije adekvatna za CAD zato što je nagib m, prave linije
paralelne sa y-osom neograničen. Implicitni oblik se bavi krivima bilo kog nagiba, ali
ima ograničenje u sledećem:
 oni predstavljaju bezgraničnu geometriju. U CAD-u, ipak geometrijski
prikazi bi normalno bili od linija između dvije tačke, i često dio elipse ili
luka kruga,
 krive su često višeznačne. Na primjer, za datu vrijednost x u jednačini
postoje dvije vrijednosti y.
Radi eliminisanja ograničenja u prikazivanju krivih u CAD, opisivanje
geometrijskih entiteta se vrši korišćenjem parametarski oblika i interpoliranjem
velikog broja linearno nezavisnih stanja korišćenjem složenih entiteta.

PARAMETARSKI PRIKAZ GEOMETRIJE
Parametarski prikaz geometrije uključuje iskazivanje odnosa x, y i z koordinata
tačaka na krivoj, površini ili čvrstom tijelu, ne u smislu jedna prema drugoj nego u
odnosu na jedan ili više promjenljivih poznatih kao parametri.

Za krive se koriste pojedinačni parametri: svaka od kordinata x, y i z su
izraženi preko pojedinačne promjenljive, uobičajeno je u. Za površine, dva
parametra, uobičajeno se koriste u i v, a x, y i z su funkcije od ova dva parametra. Za
čvrsto tijelo koriste se tri parametra u, v i w. Parametarske krive, površine i čvrsta
tijela su prikazani na slici ispod, koja pokazuje kako se svaki entitet obično prikazuje
korišćenjem CAD sistema.

PARAMETARSKE KUBNE POLINOMNE KRIVE
U trodimenzionalnom modeliranju geometrijski prikaz treba da opiše
neravanske krive, ali i krive koje će izbjeći računske teškoće i neželjena talasanja
koja mogu biti uvedena sa polinomom krivih većeg stepena. Ovi zahtjevi su
prihvatljivi sa kubnim polinomom (najniži stepen polinoma koji može opisati neravansku krivu) koji prema tome postaje vrlo značajan kao osnova za računarsku
geometriju.
Samo dvije tačke mogu biti spojene linijom, i tri tačke lukom tako četri tačke
mogu obezbjediti granične uslove za kubni polinom kako je prikazano na slici ispod
a).

Dobijanje krive kroz tačke je poznato kao Lagranžova interpolacija. Kubne
krive podjednako mogu biti definisane da prođu kroz dvije tačke, kako je definisano
na slici gore pod b) poznata kao Hermite interpolacija. Ovaj oblik ima neke prednosti
gdje se želi bliža kontrola nagiba krive, i često poznate kao Ferguson ili Coous
prikazi.

PARAMETARSKE KUBNE POLINOMNE KRIVE
Primjer jedne jednostavne, ali i vrlo poznate parametarske krive je Bezijerova
kubna krva. Njena formula je:
- gdje je u parametar krive koji se mijenja od 0 do 1 a Po-P3 su kontrolne tačke krive
čijim položajem određujemo njen oblik.

Bezijerove krive u kompjuterskoj nauci predstavljaju krive u programima za
crtanje koje su matematički definisane, i čiji oblici mogu biti promijenjeni
povlačenjem jedne ili druge unutrašnje tačke sa mišem. Matematički Bezijerova
kriva je prosta glatka kriva čiji je oblik uslovljen matematičkom formulom lokacija.
Bezijer koristi kontrtolni poligon za krive, umjesto tačaka i tangentnih vektora
slika ispod. Ovaj poligon je aproksimiran.

PARAMETARSKE KUBNE POLINOMNE KRIVE
Polinomnom krivom čiji je stepen za jedan broja tjemena poligona. Slika sa
prethodnog slajda a) pokazuje poligon sa četiri tačke koji je aproksimiran sa kubnom
krivom u kojoj jesu Po i P3 ekvivalentne sa Po i P1 za Hermite osnovu kubnog
polinoma. Opšti oblik kubnog polinoma Hermit krive dat je izrazom:
Bezijerove krive aproksimiraju tačke, u principu, ne prolazeći kroz njih (osim
prve i zadnje u nizu). Bezijerove krive su sposobne da budu modifikovane
pomjeranjem jedne od tačaka kontrolnog poligona utiče na svaku poziciju na krivoj.
Druge formulacije krive imaju različite karakteristike u ovom smislu. Kod ovih
interpolacija niza tačaka je ostvarena, što znači da kriva prolazi kroz svaku tačku od
definisanih tačaka. Ovo je posebno važno za modeliranje izloženih oblika kao što je
slučaj kod aviona i brodova gdje su lokacije tačaka na krivoj precizno poznate. Ostale
formulacije krivih omogućavaju lokalnu modifikaciju, kod kojih pomjeranje jedne
kontrolne tačke ima uticaja samo na oblik krive u okolini tačke.
Sledeća važna karakteristika krive je stepen kontinuiteta. Kontinuitet je
okarakterisan kao C0, C1...Cn gdje je n- ti izvod njegovog parametarskog oblika
neprekidan.

PARAMETARSKE KUBNE POLINOMNE KRIVE
Poligon, uključujući serije linija ima diskontinuitet nagiba u svakom tjemenu
poligona. Ovdje je C0 konstanta. Interpolirane krive imaju različite stepene
kontinuiteta: kod C’ (prvi izvod) kontinuiteta, pravac i intenzitet tangentnog vektora
krive u parametarskom rostoru je konstantan; kod C² kontinuiteta prvi i drugi izvod
(zakrivljenost) u parametarskom prostoru su kontinualni.
Kao primjer, razmotrimo liniju koja je tangenta na luk. U tački dodira linije i luka
nagibi su isti, ali njihove zakrivljenosti su različite (linija ima nule zakrivljenosti a luk
ima zakrivljenost koja je obrnuta radijusu). Sklop krive formirane od linije i luka je
prvi izvod kontinuiteta (neprekidnost ali ima prekid u drugom).

Lokalnu modifikaciju krive ne omogućavaju ni Bezijer kao ni kubne krive. Pored
toga Bezijer polinomi su ograničeni brojem tačaka koje mogu aproksimirati, a da
stepen krive ne postane nepogodno visok. Oba ova ograničenja se prevazilaze
generalizacijom Bezijer pristupa poznatog kao B- krive. Za seriju od n + 1 tačaka Pi
izraz je:
gdje su Ni,k opšte funkcije B-krive. Kod B-krive stepen polinoma specificira se
nezavisno od broja tačaka na putanji.

TEHNIKE ZA MODELIRANJE POVRŠINA
Već je rečeno da opšti oblik parametarskog prikaza površina može biti iskazan kao:
Najšire korišćene tehnike modeliranja površina slobodnih formi su proširene u
drugoj parametarskoj dimenziji tehnika polinomne krive.
Upravo kako je segment krive fundamentalna osnova za entitete krive, tako je
parče fundamentalna osnova za površine. Takođe, baš kako parametarska
promjenljiva u varira monotono duž segmenta, tako dvije varijable u i v variraju
preko parčeta- parče može biti označeno kao pi parametar.
Parametarske promjenljive često leže u opsegu od 0 do 1 mada ako je to
potrebno i drugi parametarski intervali mogu biti upotrebljeni fiksiranjem
vrijednosti jedne parametarske promjenljive na krivoj rezultira na uslove drugih
promjenljivih na parčetu (poznate kao izoparametarske krive).
Rezultat ove radnje za različite vrijednosti u i v je stvaranje presječne mreže
krivih na početku. Slika sa sljedećeg slajda lijevo pokazuje površinu sa u i v opsega 0
do 1 sa krivima u intervalima za u i v od 0.1.
Mnoge tehnike su razvijene za interpolaciju između ovakvih graničnih krivih
koje formiraju parče, od kojih je najprostija linearno spojena Coons parčem
prikazana na slici na sljedećem slajdu desno.