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Lothar Papula

Mathematische
Formelsammlung
Für Ingenieure und Naturwissenschaftler
12. Auflage

Mathematische Formelsammlung

Das sechsbändige Lehr- und Lernsystem Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler umfasst neben der Mathematischen Formelsammlung die
folgenden Bände:
Papula, Lothar

Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1
Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium
Mit 643 Abbildungen, 500 Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie
352 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen

Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2
Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium
Mit 345 Abbildungen, 300 Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie
324 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen

Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3
Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehlerund Ausgleichsrechnung
Mit 550 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik
und 295 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen

Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler
Klausur- und Übungsaufgaben
632 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung

Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler –
Anwendungsbeispiele
222 Aufgabenstellungen aus Naturwissenschaft und Technik mit ausführlich
kommentierten Lösungen
Mit 369 Bildern und einem Anhang mit Physikalischen Grundlagen

Lothar Papula

Mathematische
Formelsammlung
Für Ingenieure und Naturwissenschaftler
12., überarbeitete Auflage
Mit über 400 Abbildungen, zahlreichen
Rechenbeispielen und einer ausführlichen
Integraltafel

Lothar Papula
Wiesbaden, Deutschland

ISBN 978-3-658-16194-1
DOI 10.1007/978-3-658-16195-8

ISBN 978-3-658-16195-8 (eBook)

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
Springer Vieweg
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1986, 1988, 1990, 1994, 1998, 2000, 2001, 2003, 2006, 2009, 2014,
2017
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für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
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Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem
Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder
die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler
oder Äußerungen.
Lektorat: Thomas Zipsner
Bilder: Graphik & Text Studio, Dr. Wolfgang Zettlmeier, Barbing
Satz: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad Langensalza
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Springer Vieweg ist Teil von Springer Nature
Die eingetragene Gesellschaft ist Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Strasse 46, 65189 Wiesbaden, Germany

V

Vorwort

Das Studium der Ingenieur- und Naturwissenschaften verlangt nach rasch zuga¨nglichen
Informationen. Die vorliegende Mathematische Formelsammlung fu¨r Ingenieure und
Naturwissenschaftler wurde dementsprechend gestaltet.
Zur Auswahl des Stoffes
Ausgehend von der elementaren Schulmathematik (z. B. Bruchrechnung, Gleichungen mit
einer Unbekannten, Lehrsa¨tze aus der Geometrie) werden alle fu¨r den Ingenieur und Naturwissenschaftler wesentlichen mathematischen Stoffgebiete behandelt. Dabei wurde der bewa¨hrte Aufbau des dreiba¨ndigen Lehrbuches Mathematik fu¨r Ingenieure und Naturwissenschaftler konsequent beibehalten. Der Benutzer wird dies sicherlich als hilfreich
empfinden.
Im Anhang dieser Formelsammlung befinden sich eine ausfu¨hrliche Integraltafel mit u¨ber
400 in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen besonders ha¨ufig auftretenden
Integralen (Teil A) sowie wichtige Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
(Teil B). Der Druck erfolgte hier auf eingefa¨rbtem Papier, um einen raschen Zugriff zu
ermo¨glichen.
Behandelt werden folgende Stoffgebiete:
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!

Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie
Vektorrechnung
Funktionen und Kurven
Differentialrechnung
Integralrechnung
Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen
Lineare Algebra
Komplexe Zahlen und Funktionen
Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen
Gewo¨hnliche Differentialgleichungen
Fehler- und Ausgleichsrechnung
Fourier-Transformationen
Laplace-Transformationen
Vektoranalysis
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Grundlagen der mathematischen Statistik

VI

Vorwort

Zur Darstellung des Stoffes
Die Darstellung der mathematischen Begriffe, Formeln und Sa¨tze erfolgt in anschaulicher
und allgemeinversta¨ndlicher Form. Wichtige Formeln wurden gerahmt und grau unterlegt
und zusa¨tzlich durch Bilder verdeutlicht. Zahlreiche Beispiele helfen, die Formeln treffsicher auf eigene Problemstellungen anzuwenden. Die in einigen Beispielen beno¨tigten
Integrale wurden der Integraltafel im Anhang (ab Seite 476) entnommen (Angabe der
laufenden Nummer und der Parameterwerte). Ein ausfu¨hrliches Inhalts- und Sachwortverzeichnis ermo¨glicht ein rasches Auffinden der gewu¨nschten Informationen.
Eine Bitte des Autors
Fu¨r sachliche und konstruktive Hinweise und Anregungen bin ich stets dankbar. Sie sind
eine unverzichtbare Voraussetzung und Hilfe fu¨r die stetige Verbesserung dieser Formelsammlung.
Ein Wort des Dankes . . .
. . . an alle Fachkollegen und Studierende, die durch Anregungen und Hinweise zur Verbesserung dieses Werkes beigetragen haben,
. . . an den Cheflektor des Verlages, Herrn Thomas Zipsner, fu¨r die hervorragende Zusammenarbeit,
. . . an Frau Diane Schulz vom Druck- und Satzhaus Beltz (Bad Langensalza) fu¨r den ausgezeichneten mathematischen Satz,
. . . an Herrn Dr. Wolfgang Zettlmeier fu¨r die hervorragende Qualita¨t der Abbildungen.
Wiesbaden, Fru¨hjahr 2017

Lothar Papula

Lothar Papula, ehemaliger Professor fu¨r Mathematik an der Fachhochschule Wiesbaden,
vero¨ffentlichte 1983 beim Vieweg Verlag den ersten Band „Mathematik fu¨r Ingenieure und
Naturwissenschaftler.“ Besta¨tigt durch den großen Erfolg bei Studenten, folgen im Laufe
der Jahre Band 2 und 3, eine Formelsammlung, ein Buch mit Anwendungsbeispielen und
der letzte Band des Lehrwerks – ein Klausurentrainer mit u¨ber 600 Aufgaben zum Selbststudium und zur Pru¨fungsvorbereitung.
Dass man mit der Mathematik von PAPULA ausgezeichnet lernen kann, wissen alle Studenten. Dass dies auch auszeichnungswu¨rdig ist, belegt der Preis des Mathematikums in
Gießen. In der Jurybegru¨ndung heißt es: „Herr Professor Dr. Lothar Papula ist mit seinem
sechsba¨ndigen Lehrwerk „Mathematik fu¨r Ingenieure und Naturwissenschaftler“ ein besonderes, didaktisches Konzept gelungen, das das Fach Mathematik einfach, versta¨ndlich und
aufu¨hrlich vermittelt. Zuweilen unter Verzicht auf mathematische Strenge und mit großem
methodischen Geschick hilft er unza¨hligen Studienanfa¨ngern, die Hu¨rden der Mathematik
erfolgreich zu meistern.“
Mehr als 1.000.000 verkaufte Exemplare sind ein klarer Beweis dafu¨r.

IX

Inhaltsverzeichnis

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie . . . . . .

1

1 Grundlegende Begriffe u¨ber Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1
1.2

Definition und Darstellung einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
2

2 Rechnen mit reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.1

2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7

Reelle Zahlen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.1
Natu¨rliche und ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2
Rationale, irrationale und reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.3
Rundungsregeln fu¨r reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.4
Darstellung der reellen Zahlen auf der Zahlengerade . . . . . . . . . . . 5
2.1.5
Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Elementare (endliche) Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1
3.2
3.3
3.4

Definition einer (endlichen) Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arithmetische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geometrische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spezielle Zahlenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16
16
16
16

4 Gleichungen mit einer Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1

4.2
4.3
4.4
4.5

Algebraische Gleichungen n-ten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1
Allgemeine Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2
Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3
Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4
Kubische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5
Biquadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeine Lo¨sungshinweise fu¨r Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graphisches Lo¨sungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tangentenverfahren von Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
17
18
18
18
20
21
22
23
24

5 Ungleichungen mit einer Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


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