Szamelmelet tum (PDF)

Csatr Katalin{Gbos Ildik

SZMELMLET
tanri tmutat

Műszaki Könyvkiadó, Budapest

A könyv a Soros Alapítvány támogatásában részesülő
Matematika-módszertani Kutatócsoport közreműködésével készült.

A rajzokat készítette: Halmos Mária

c Csatár Katalin, Gábos Ildikó 1990, 2000

c Műszaki Könyvkiadó, 2000


Az 1990-ben azonos címen megjelent könyv második, javított kiadása.

ISBN 963 16 2663 6
Azonosító szám: MK 0901502

Kiadja a Műszaki Könyvkiadó
Felelős kiadó: Bérczi Sándor ügyvezető igazgató
Felelős szerkesztő: Halmos Mária
Műszaki vezető: Abonyi Ferenc
Borítóterv: Biró Mária
Műszaki szerkesztő: Ihász Viktória
A könyv terjedelme: 6,79 (A/5) ív
E-mail: vevoszolg@muszakikiado.hu
Honlap: www.muszakikiado.hu
Készült a Dabas Jegyzet Nyomdában
Felelős vezető: Marosi György ügyvezető igazgató

Nhny sz a k nyvsorozatrl
A Matematika-módszertani Kutatócsoport középiskolai matematikatankönyv-sorozata,
melynek ez a könyv is része, egy 1973-tól mintegy másfél évtizeden keresztül folyt
tanítási kísérlet eredménye.
Ezúton mondunk köszönetet azoknak a tanároknak, akik részt vettek a kísérletben és
minden munkatársunknak, akik értékes tapasztalataikkal, beszámolóikkal, megjegyzéseikkel nagyon sokat csiszoltak, javítottak az anyagokon.
Köszönetet mondunk Surányi Jánosnak, aki két évtizedig vezette a kutatócsoport sok
nehézséggel terhes munkáját, figyelemmel kísérte, összefogta és kézben tartotta a tanítási
kísérletet, nagy szakmai tudásával és emberségével segítette az iskolákban folyó munkát,
a tanárok számára komoly támaszt jelentve; vállalta a kísérleti anyagok elkészítésének
folyamatos szakmai irányítását, beleértve az anyagokhoz készített részletes bírálatait,
amelyek alapján az évek folyamán sok jelentős javításra került sor.
Köszönettel tartozunk Gádor Endrénének, aki a kísérletező tanárok munkáját segítette, és akinek a kísérleti anyagok javításában is sok része volt, és Genzwein Ferencnek, aki
a 80-as években nagy segítséget nyújtott ahhoz, hogy a kísérleti munkákat folytathassa a
kutatócsoport.
Nagy szeretettel gondolunk Gábos Ildikóra, aki már sajnos nincs közöttünk, és aki
nagy tanári tapasztalatával, a kísérletben való lelkes és áldozatkész részvételével, tanári
útmutatók készítésével nagyon jelentős részt vállalt könyvsorozatunk kialakításában.
Hálával tartozunk Péter Rózsának, aki élete utolsó éveiben – már nagyon betegen
is – igen sokat segített a könyvek elkészítésében; Rényi Alfrédnak, aki annak idején a
Matematika-módszertani Kutatócsoportot a Matematikai Kutató Intézetben létrehozta, és
aki nagyon hatékonyan támogatta a tanulók önállóságára, kezdeményezéseire, tapasztalataira, felfedezéseire építő matematikatanítást.
Köszönettel tartozunk Kékes Máriának, aki a Műszaki Kiadó részéről sokat tett azért,
hogy ez a könyvsorozat minél tökéletesebben juthasson el az iskolákba.
Könyveink szedését D. E. Knuth amerikai matematikus TEX matematikai kiadványszerkesztő programjával készítjük. Bori Tamásnak, Fried Katalinnak és Juhász Lehelnek
köszönjük, hogy ennek a lenyűgözően matematikuslelkületű programnak különböző fortélyait megismertették velünk.
Halmos Mária
a könyvsorozat alkotó szerkesztője

5

Nhny bevezet
gondolat
„ . . . Az ember csak azt értheti meg, amire maga jön rá; amit készen kap, anélkül hogy
lélekben megdolgozna érte, az egyik fülén be, a másikon ki.
Olyan ez, mint a növények öntözése; a növény nem élhet víz nélkül, de nem sokat ér
azzal a vízzel, amit a leveleire öntenek, az lepereg róla; csak azt képes igazán felhasználni, amit a gyökerein keresztül maga szív fel . . . ”
(Rényi Alfréd: Dialógusok a matematikáról)
„ . . . A matematika a legalsó szinttől a legfelsőig tapasztalatokból nő ki: próbálkozásokból, sejtésekből és ellenőrzésükből, elvetésükből vagy megerősítésükből. Mégis az emberi
szellem szabad alkotása. Híd a „két kultúra” között. Tele van játékossággal, esztétikummal: művészet is . . . ”
(Varga Tamás)
Könyveink készítésekor elsősorban a matematikai gondolkodás és magatartás formálását és fokozatos kialakítását tartottuk szem előtt, és természetesen az ehhez szükséges
képességek és készségek fejlesztését.
A tanulókat igyekszünk végigvezetni egy olyan megismerési folyamaton, amely közben saját megfigyeléseik, tapasztalataik, következtetéseik alapján alakulnak ki a fejükben
elvont matematikai fogalmak, gondolatok, módszerek. Az utat, amelyet a tanulók végigjárnak, igyekszünk minél érdekesebb matematikai problémákkal kikövezni.
Az elvont matematikai fogalmak általában többlépcsős elvonatkoztatásokkal alakulnak ki, és minden egyes elvonatkoztatás többféle, egymástól erősen eltérő dolog, sőt
többnyire fogalom, valamilyen szempontból közös vonását emeli ki. Feladataink összeválogatásával és az anyag fölépítésével igyekszünk lehetőséget adni arra, hogy a fogalmak kialakulása sokszínű, sokoldalú tapasztalatokra épüljön, és hogy az elvonatkoztatás
egyetlen lépcsőfokát se hagyjuk ki. Igyekszünk biztosítani a fogalmak lassú és fokozatos
érlelődését.
Az anyagaink egyszerre több szálon is futnak, egy-egy problémakörhöz többször is
visszatérünk. Könyveink többnyire egy-egy fő témakört dolgoznak föl, de azon belül
szinte mindig egyszerre több témát mozgatnak. Ahol alkalom adódik rá, a fő témakörből
is kilépnek. Ugyanarra a gondolatkörre különböző szinteken és összefüggésekben újra
és újra visszatérnek; lehet, hogy más anyagban, akár más tanévben is. Egy-egy fogalom
előfutára, előkészítő gondolata sok esetben valamilyen feladatsorban esetleg egy másik
anyag gyakorló feladatában egyszer csak megjelenik, és aztán fokozatosan, hosszabb idő
alatt érlelődik új fogalommá.
7

A tanulást – lehetőleg mindig – érdekes problémák megoldásával, a tanulók önálló
felfedezéseire építve képzeljük. A tanulók nem pusztán befogadják az új ismereteket,
hanem olyan problémákkal foglalkoznak, amelyekről saját gondolataik, ötleteik, sejtéseik
lehetnek, sejtéseiket meg is kérdőjelezhetik, és megtanulhatják, hogy a tévedések is segíthetik az igazság megismerését. Eközben azt is fölismerik, hogy az igazság eldöntésére
sok esetben alkalmas a matematikai bizonyítás.

A szmelmlet olyan témakör, amely a gyengébbeknek is sok érdekes megfigyelni- és
gondolkodnivalót nyújt, a jók pedig az így jelölt
nehezebb feladatokkal birkózhatnak.
Így alkalmas arra, hogy felkeltse a matematika iránti érdeklődést, és kedvet csináljon a
matematikához.
Négy osztályos középiskola I. osztályában év elején néhány órán érdemes Pósa Lajos

Vegyes feladatok 1. című kis könyvéből válogatni feladatokat, és azután első nagyobb témakörnek a számelméletet ajánljuk. A Szmelmlet című könyvünk nagyon nagy anyagot
tartalmaz, ezért több évre szétosztva is lehet tanítani. Ha a teljes anyagot első osztályban
dolgozzuk föl, akkor mindenképpen érdemes két részletben venni.
Alsóbb osztályokban is használható ez a könyv (12–13 éves kortól) részben a számelmélet iránti érdeklődés fölkeltésére, tehetségesebb gyerekeknek pedig módszeres feldolgozásra is.
Az anyagaink feldolgozását egyéni és csoportos munkában javasoljuk. Ez a feladatok
nehézségétől függően teljes órára, esetleg több órára, is kiterjedhet. Egy-egy fejezeten
belül azonban legalább 2-3 alkalommal közös megbeszélésen rögzítsük a főbb tanulságokat, javítsuk a téves vagy hiányos megoldásokat. Az elvégzésre szánt nehezebb feladatokat mindig beszéljük meg, a házi feladatokat pedig szükség szerinti részletességgel.
Természetesen egy-egy újabb fogalom előkészítését vagy valamilyen törvényszerűség
felismerését szolgáló feladatot is föladhatunk otthoni munkára.
A szabályszerűségek felismerését, megfogalmazását és bizonyítását is önállóan vagy
csoportmunkában végezhetik a tanulók. Közben segítséget kérhetnek a tanártól, ha nem
biztosak abban, hogy jó úton haladnak; vagy ha elakadnak. A csoportmunka természetes
velejárója, hogy a tanulók egymás gondolatait is javítják, kiegészítik, módosítják. Az a
tapasztalat, hogy bár szívesen dolgoznak együtt, többségük önállóan kezd dolgozni, és
csak egy idő után, vagy ha nem biztosak magukban, hasonlítgatják össze elképzeléseiket.
A feladatokban felhasználásra kerülő fogalmak, tételek és a tételek bizonyításai a
könyv végén levő sszefoglalsban megtalálhatók.
Néhány érdekes olvasmány is van a könyvben, amelyek különböző célokat szolgálnak. Például a Prosorszg című olvasmány megbeszélése jó, ha megelőzi a számelmélet
alaptételének kimondását. Enélkül a számelmélet alaptétele nyilvánvalónak tűnhet a tanulóknak, nem mond semmit a számukra; a Fggelkben szereplő Szmrendszerek című
olvasmányt azoknak szántuk, akik általános iskolában nem foglalkoztak részletesen a
különböző számrendszerekkel, és szeretnék megtanulni a használatukat.

8

Ebben az anyagban jó néhány olyan feladat szerepel, amely bizonyos algebrai készséget igényel. A Tbbszrsk szablyos eloszlsa című rész előtt az ilyen feladatok éppen
az algebrai ismeretek megszerzésének az igényét próbálják felébreszteni. A Tbbszrsk
szablyos eloszlsa című anyagrész tárgyalása előtt érdemes megszakítani a számelmélet
tanítását, és az Algebra című könyvet elkezdeni. A Szmelmlet ezután következő részeit
akkor érdemesebb tárgyalni, amikor már az egyszerűbb algebrai átalakítások nem jelentenek a tanuló számára nehézséget.

Javasolt rabeoszts
Ezt az órabeosztást olyan osztályokban ajánljuk egy évfolyamon megvalósítani, ha emelt
óraszámmal folyik a matematikatanítás, másféle osztályokban a körülményekhez igazodva lehet módosítani, sok esetben több évre elosztva az anyagot.

A feldolgozsra 23 rt javasolunk.
Sokféle feladat számokról.

3 óra

Oszthatósági alapismeretek. A számelmélet alaptétele. Érdekességek a
törzsszámokról.

5 óra

Számok összes osztója. Legnagyobb közös osztó. Legkisebb közös többszörös.

5 óra

A szmelmlet trgyalsnak megszaktst s egy krlbell 10 rs algebra anyag
beiktatst itt javasoljuk.
Többszörösök szabályos eloszlása. Összeg, szorzat osztási maradékai.
Oszthatósági feltételek.

4 óra

Számrendszerek. Oszthatósági feltételek különböző számrendszerekben.

3 óra

Összefoglalás. Vegyes oszthatósági feladatok. Témazáró dolgozat.

3 óra

A tmakr befejezse utn ezeket az ismereteket vrhatjuk el a tanulktl:
Prímszám, összetett szám, számelmélet alaptétele, relatív prímek.
Osztó, többszörös, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös.
Összeg és szorzat osztási maradéka.
Számok felírása adott számokkal való oszthatóságuk alapján
(például 2k, 2k − 1; 3k + 1, 3k, 3k − 1 . . . ).
Nevezetes oszthatósági feltételek: 2-vel, 5-tel 10-zel; 4-gyel, 25-tel, 100-zal; 8-cal,
125-tel, 1000-rel; 3-mal, 9-cel való oszthatósági feltételek.
Összetett számokkal, például 6-tal, 15-tel, 36-tal való oszthatóságok.

9

Megjegyzsek, tmutatsok
Sokfle feladat szmokrl
Ezekkel a feladatokkal feleleveníthetjük az alsóbb osztályokban tanult számelméleti ismereteket, és egy kis ízelítőt adhatunk újszerű, számokra vonatkozó feladatokból.

A feladatok kzt tbb nehz is van. Ezek azzal a cllal kerltek be ebbe a feladatsorba, hogy
felvessk bizonyos j ismeretek megtanulsnak a szksgessgt. Ezeket nem felttlenl
kell azonnal megoldani, egy ideig nyitott krdsknt is maradhatnak, s majd a szksges
ismeretek elsajttsa utn visszatrhetnk rjuk.

Osztlyozzuk a pozitv egsz szmokat oszthatsg szerint!
7. oldal
1{12. Általános iskolai ismeretekre épülő feladatok. Az első 11 feladat lehetőséget ad
a halmazokkal kapcsolatos ismeretek (részhalmaz, metszet, egyesítés) felelevenítésére, a

12. feladat pedig logikai alapismeretek megbeszélésére (például ilyenekére: minden kezdetű állítás tagadása van olyan kezdetű állítás). Az első nyolc feladatot önálló feldolgozásra ajánljuk.

1.

2. A 12-vel osztható számok mind oszthatók 4-gyel is, ezért marad üresen az ábrán szürkére színezett rész.

10

8. oldal
3.

4. Csak a második ábrába tudjuk beírni
az összes kért számot. Ha az első ábrán
a 10-zel oszthat kerül a külső halmazra,
akkor a nem 0-ra végződő 12-vel osztható
számokat (a 12-t, a 24-et és a 36-ot) nem
lehet elhelyezni; ha pedig a 12-vel oszthat
kerül a külső halmazra, akkor a 0-ra végződő 12-vel nem osztható számokat (a 10-et,
a 20-at, a 30-at, a 40-et és az 50-et) nem
lehet sehova sem tenni.

5.

9. oldal
6. Minden 21-gyel osztható szám 7-tel is osztható, ezért üresen marad az ábrának az
a része, ahová 21-gyel osztható, de 7-tel osztható számok kerülnének. Ezenkívül üresen
marad a 7-tel és 48-cal oszthatók közös részéből az a rész, ahova a 21-gyel nem oszthatók
kerülnének, ugyanis ha egy szám 7-tel és 48-cal is osztható, akkor biztosan osztható
21-gyel is.

11

Például így lehetne olyan ábrát rajzolni,
ahol egy rész sem marad üresen:

9{10. oldal
7. Minden 18-cal osztható szám 9-cel is osztható, ezért az első ábrán az a rész marad
üresen, ahova a 18-cal osztható, de 9-cel nem osztható számok kerülnének.
A második ábrán egy rész sem marad üresen. A 4-gyel oszthatók és az 5-tel oszthatók
közös részébe a 20-szal oszthatók kerülnek.
A harmadik ábra vizsgálatakor azt vesszük észre, hogy minden 18-cal osztható szám
9-cel is osztható, és hogy minden 9-cel osztható szám 3-mal is osztható, a negyedik ábra
vizsgálatakor pedig azt, hogy minden 10-zel osztható szám 5-tel is osztható, és hogy a
4-gyel és 5-tel is osztható számok a 20 többszörösei, így oszthatók 10-zel.

12