PDF Archive

Easily share your PDF documents with your contacts, on the Web and Social Networks.

Share a file Manage my documents Convert Recover PDF Search Help Contact



Relativita' Ristretta .pdf


Original filename: Relativita' Ristretta.pdf

This PDF 1.4 document has been generated by / ilovepdf.com, and has been sent on pdf-archive.com on 06/08/2017 at 12:34, from IP address 94.164.x.x. The current document download page has been viewed 454 times.
File size: 3.8 MB (172 pages).
Privacy: public file




Download original PDF file









Document preview


Le basi della Relatività Ristretta o Speciale ***
2015-04-08 17:04:36 Vincenzo Zappalà

Introduzione
Quando si parla di relatività, di spaziotempo, di deformazione spaziotemporale e via dicendo si entra in un
mondo descritto da formule di grande complessità e si perde spesso il filo del discorso. Purtroppo, per
visualizzare ciò che capita realmente, la matematica è l’unica salvezza. Le parole tendono sempre più a
confondere o a risolvere solo un lato del problema. Ad esempio, lo stesso concetto di spazio può essere
descritto in vari modi, a seconda dello scopo che abbiamo in testa: ciò che contiene la materia; il luogo
dove i corpi possono muoversi; l’insieme delle relazioni che legano la materia; ecc., ecc.
Sono tutte definizioni giuste, anche se estremamente particolari e legate al tipo di discorso che si sta
facendo. Analogamente lo spaziotempo è spesso un concetto che sembra apparire ovvio e poi
improvvisamente si complica e ci fa perdere del tutto il filo del discorso. Tutto sembra andare bene, ad
esempio, se consideriamo il cono di luce. Molto meno quando scopriamo che esso non è altro che una
delle tante rappresentazioni matematiche che può descriverlo. La verità è che io l’ho sempre introdotto in
modo quantomeno imperfetto o parziale, non occupandomi di ciò che realmente capita allo spazio e al
tempo. Esso nasce, in realtà, all’interno del diagramma di Minkowski, una soluzione geometrica che
permette di descrivere lo spazio-tempo introducendo la relatività speciale di Einstein. Per potere
fare ciò deve basarsi sulle trasformazioni di Lorentz e le cose diventano, apparentemente, sempre più
intricate.
Il fatto di averlo sempre usato in modo “parziale” ha spesso causato problemi interpretativi. Primo fra tutti
perché mai assume forme che tutto sono meno che quelle di un vero cono? A parole si fa presto a
mettere le cose a posto: lo spazio si espande. Punto e a capo. Se vogliamo vedere dei coni dobbiamo
cambiare coordinate e cose del genere. Tuttavia, non è solo l'espansione a creare problemi. Teniamo,
infatti, ben presente che quanto stiamo per raccontare non si occupa minimamente dell'espansione
dell'Universo. Eppure, già così, la visione di ciò che capita cambia completamente forma e struttura.
Ricordiamoci anche, però, che NON distrugge la fisica classica. Essa continua a essere valida se si
studiano fenomeni che sono relativi a velocità decisamente minori di quelle della luce. Lo stesso
diagramma di Minkowski si trasforma in un qualsiasi diagramma della geometria euclidea.
Questo "circolo" e i suoi lettori sono ormai maturi per capire finalmente (se già non lo sanno, ovviamente)
cosa rappresenta il diagramma di Minkowski, il “suo” cono di luce e -soprattutto- come serva per leggere
geometricamente intervalli di tempo e di distanza in uno spaziotempo che segua la relatività ristretta. Per
essere sinceri fino in fondo, dovrei dire che il diagramma si inserisce in un quadro più ampio che prende
proprio il nome di spaziotempo di Minkowski. La sua definizione può spaventare nella sua semplicità: è un
oggetto matematico utile a descrivere lo spaziotempo della relatività speciale. Una frase banale e
terribile nello stesso istante (attenzione a parlare di istante…. però…), soprattutto per quel “matematico”
che incombe. Noi non andremo a fondo di questa rappresentazione (almeno per adesso) e ci limiteremo
al diagramma che ne è una visione puramente geometrica, per la quale non ci sarebbe nemmeno
bisogno di utilizzare formule.
Vale però la pena di ricordare come lo stesso Minkowski definiva il suo “oggetto” matematico:
“Un punto dello spazio a un punto del tempo, cioè, un sistema di valori x, y, z, t lo chiamerò un punto
dell’Universo. La molteplicità di tutti i pensabili sistemi di valori x, y, z, t, la battezzeremo universo ”. In
altre parole, uno spaziotempo così definito è uno spazio matematico a quattro dimensioni senza proprietà
fisiche, i cui punti sono definiti punti-evento. Il moto degli oggetti è rappresentato da linee di universo,
che uniscono i punti-evento corrispondenti alle coordinate istantanee degli oggetti stessi.
Fermiamoci qui, altrimenti farei scappare la voglia di proseguire anche a un santo. Vedremo che, una
volta che saremo ben allenati, tutto apparirà di un’armonia perfetta e di una semplicità meravigliosa, a
patto di aver fatto girare le rotelle del nostro cervello.
Per le stesse motivazioni dello spaziotempo costruito da Minkowski è, ovviamente, necessario conoscere
la relatività speciale e le sue implicazioni sulle coordinate spazio e tempo. Il diagramma è stato
costruito proprio per lei! Inoltre, dato che Einstein ha avuto bisogno di usare delle trasformazioni di
coordinate un po’ speciali, quelle già introdotte da Lorentz, saremo anche obbligati a fare la loro
conoscenza. Niente di veramente complicato, dato che, con un po’ di fatica, si possono descrivere

utilizzando solo e soltanto il teorema di Pitagora.
Immergiamoci, quindi nel mondo creato da questi tre personaggi non certo banali: Einstein-LorentzMinkowski e vediamo di riuscire a disegnare nello spazio relativistico con la stessa facilità con la quale
sappiamo farlo nello spazio euclideo (quello che ci hanno insegnato a scuola). Nel frattempo, avremo
anche capito la relatività speciale di Einstein… niente male, no?
La velocità è la chiave di tutto
Prima di cominciare, vi offro una relazione semplicissima che potrebbe farvi avvicinare un po’ alla volta
alla problematica nel suo insieme. Una relazione che tutti conoscete e che usate quotidianamente. Vi
sembrerà una cosa ovvia e banale, ma, pensandoci bene, il segreto di tutto è proprio lei.
Nella fisica classica esiste una relazione fondamentale, alla portata di tutti e che tutti conoscete
sicuramente: la definizione di velocità. Essa è data dal rapporto tra lo spazio percorso e il tempo
impiegato a percorrerlo. La velocità, quindi, è la più semplice relazione possibile che lega lo spazio con il
tempo. Ed è anche la grandezza fisica di partenza di tutta la meccanica. Essa, però, non pone nessun
vincolo effettivo tra spazio e tempo. Posso farli variare a piacere e ottenere tutti i valori che voglio. In
questo contesto, posso, quindi, considerare spazio e tempo come due grandezze del
tutto indipendenti tra loro. Li posso manipolare uno alla volta e ottenere alla fine il valore corrispondente
della velocità. Questa è la visione di Newton che va benissimo per un mondo alla portata dell’uomo e delle
sue azioni quotidiane.
Se invece impongo un valore fisso alla massima velocità raggiungibile, creo immediatamente un legame
indissolubile tra spazio e tempo. In altre parole, non posso cambiare lo spazio quanto voglio e fare lo
stesso con il tempo. Potrei, infatti, trovare un valore superiore alla velocità della luce. La costanza della
velocità della luce impone quindi che, fissato uno spazio (o un tempo), il tempo (o lo spazio) debba variare
in modo da non superare quel valore. Questo fatto cosa ci dice? Che per certi valori della velocità, molto
prossimi a quelli della luce, una variazione dello spazio obbliga a far variare il tempo entro certi
confini e viceversa. Ed ecco nascere le relazioni della dilatazione dei tempi e dell’accorciamento dello
spazio e tutte le deformazioni susseguenti.
In fondo, la teoria della relatività è tutta qui… o quasi…
Ancora una cosa, prima di iniziare. Dobbiamo essere sinceri: se il diagramma di Minkowski può essere
descritto e utilizzato anche senza l'uso di formule (o quasi), lo stesso non è possibile per la relatività
speciale. Sì, potremmo descrivere a parole certi concetti (dilatazione del tempo, contrazione delle
lunghezze, composizione della velocità, ecc.), ma alla fine faremmo solo una grande confusione se non
potessimo rappresentare certe quantità (che sono poi sempre le stesse) con valori ben determinati e
calcolabili. Niente di trascendentale (sono, in fondo le trasformazioni di Lorentz), ma più che necessarie.
Cercheremo, perciò, di far capire molto bene prima il concetto qualitativo e solo dopo inseriremo
la rappresentazione quantitativa. In tal modo, quando si introdurrà un certo parametro sapremo subito
che significato "pratico" si porta dietro.
Andremo avanti con molta calma e ripeteremo i concetti varie volte, magari guardandoli da angolazioni
leggermente diverse.
Il tempo non è niente di speciale
Passiamo a qualcosa che è poco più che uno scherzo e prende spunto da quello splendido romanzo che
è Flatland (Flatlandia), scritto nel 1884 da Edwin Abbott Abbott (chi non lo ha letto vada subito a
comprarlo!). Un romanzo essenzialmente satirico, che si definisce come “romanzo a più dimensioni”, e
che, quindi, la dice lunga sulla sua importanza in un discorso che vuole fare abbracciare strettamente lo
spazio con il tempo, ossia riuscire a passare dalle tre alle quattro dimensioni.
A molti di noi sembra ovvio aver capito la rappresentazione grafica dello spaziotempo, dopo aver
accettato di sacrificare una o due dimensioni dello spazio. Tuttavia, il concetto più profondo di questo
passaggio è molto più sottile di quanto sembri. Solo comprendendolo bene si può capire la vera differenza
tra relatività galileiana e relatività einsteniana. Il tempo, anche se non ce ne accorgiamo, continua a
essere considerato come una coordinata “diversa” rispetto a quelle spaziali. La usiamo anche nei grafici
della meccanica classica, quando si descrive, ad esempio, la velocità. Però, però, è sempre qualcosa
che vive in modo indipendente, capace di modificare lo spazio, ma in qualche modo “intoccabile”. Lui è

quello che è e nulla sembra mutarlo.
Invece, per introdurre lo spaziotempo è necessario fare un passo in più e considerarlo, sotto tutti i punti di
vista, una coordinata perfettamente simile alla lunghezza, all’altezza e alla larghezza. Un’ulteriore
informazione che serve per caratterizzare un certo evento. Addirittura può essere espressa nella stessa
unità di misura delle altre. Può servire a questo scopo una frase di Einstein che descrive molto bene il
problema di fondo che analizzeremo attentamente: “Siccome nella struttura a quattro dimensioni dello
spaziotempo non è più possibile rappresentare obiettivamente l’adesso, sembra naturale pensare alla
realtà come a una esistenza quadridimensionale, piuttosto che all’evoluzione nel tempo di una
esistenza tridimensionale”.
Pensiamoci sopra e, un po’ alla volta, il mondo di tutti i giorni ci appare come una errata visione della
realtà. Pur rischiando una trattazione che sembra sconfinare nella “filosofia”, dobbiamo ammettere che il
“nostro” tempo è veramente una “strana” grandezza. Diciamo, normalmente, che esso si può dividere
in passato, presente e futuro. Tuttavia, il presente, l’unica situazione che fa parte della realtà quotidiana,
è quanto di più sfuggente possa esistere. Quanto dura? Un minuto, un secondo, un millisecondo? E’ un
po’ come il discorso del limite… dato un certo numero piccolo a piacere possiamo sempre considerare
un intervallo di tempo che sia più piccolo di quel numero. In parole povere, il presente, l’unica cosa che ci
sembra concreta, è quando di meno reale possa esistere.
Molto più facile è definire il passato e il futuro. Nel primo caso si tratta di tutti gli eventi che non esistono
più, ma che sono sicuramente accaduti, nel secondo caso di tutti gli eventi che devono ancora accadere,
ma che possono essere legati a quelli passati attraverso le leggi fisiche. La dipendenza di ogni singolo
istante con il passato e il futuro fa sparire qualsiasi concretezza del presente.
E’ molto più logico pensare che la nostra realtà si svolga all’interno di un continuo spaziotemporale
quadridimensionale che contiene tutti gli infiniti universi tridimensionali. Ognuno di essi è relativo a un
certo istante, ma lo spaziotempo deve contenerli tutti.
Riflettete bene su questa frase perché già contiene il succo di tutto il discorso.
Matematicamente, anche se appare assurdo per i nostri sensi, ogni avvenimento che a noi sembra
svilupparsi nel tempo è già scritto nel continuo spaziotemporale. Non mi picchiate, ma si deve concludere
che passato, presente e futuro esistono contemporaneamente. Un diagramma che descrive lo
spaziotempo deve, quindi, essere in grado di riprodurre questa situazione. Solo così si inserisce
correttamente la quarta coordinata.
Questa visione va sicuramente contro il concetto di “divenire” che domina ancora il nostro pensiero e
quindi è necessario uno sforzo particolare per cambiare la strategia descrittiva. Non per niente, la
matematica è perfettamente in grado di descrivere uno spaziotempo realmente quadrimensionale, mentre
la filosofia, ossia la scienza del pensiero, non è ancora riuscita a far suo questo cambiamento
rivoluzionario.
Non confondiamo, però, la relatività con la meccanica quantistica. La prima non va contro la logica, ma la
descrive più correttamente. Essa è quanto di più reale ci sia ed è dominata proprio dalla causalità. La
meccanica quantistica, invece, va contro la logica del pensiero e annulla il legame causa-effetto.
Basta, non vogliamo fare filosofia, ma solo mettere i puntini sulle “i”. In poche parole, prima di studiare i
passaggi matematici e concettualmente logici introdotti dalla relatività di Einstein e dal metodo grafico di
rappresentarla, è bene iniziare a capire esattamente con quale “sistema” abbiamo a che fare. In ogni
modo, non preoccupatevi. A mano a mano che andremo avanti, questi concetti saranno ripresi
costantemente…
Torniamo al nostro scherzo, che vuole solo mostrarci come sia poco comprensibile (in prima battuta) un
passaggio da un mondo basato su n dimensioni a uno definito da n+1 dimensioni. Per semplicità
descrittiva, seguiamo allora lo schema proposto da Abbott ed eseguiamo il nostro scherzo dimensionale
su un abitante del mondo a due dimensioni. Il vantaggio di questa scelta è indubbio: noi siamo in grado
di vederlo dal di fuori, ossia da uno spazio a tre dimensioni, di cui quello a due è solo un caso
particolare. Anche questa frase è molto importante: noi cerchiamo sempre di vedere lo spazio dal di fuori,
ma in realtà lo vediamo dal di dentro.
Facciamo impazzire un povero cerchio

Noi viviamo in uno spazio a tre dimensioni e lo indichiamo con S3. In questo “mondo” abbiamo un serie
infinita di amici che possono aiutarci nello scherzo. Ne abbiamo convinti tre che dopo un po’ di resistenza
(sono sempre figure geometriche…) hanno accettato. Non li presento ancora per creare un po’ di
“suspence”, ma penso che li riconosciate velocemente.
Chi subisce lo scherzo è un cerchio, di nome CE, di grande intelligenza (anche se un po’ superbo), che
vive nello spazio S2, a due dimensioni. In quello strano spazio, non è facile intuire facilmente con chi si ha
a che fare. Un rettangolo e un segmento si vedono nello stesso modo, ma anche una circonferenza, e
molte altre figure (pensateci bene). Tutte appaiono come dei segmenti! Bisogna toccare, valutare
attentamente lo spessore delle linee e applicare tanti altri piccoli accorgimenti per identificare i vari
abitanti. Inoltre, nello spazio di CE, la differenza tra bambini e adulti sta solo nelle loro
dimensioni (questa è una mia aggiunta…).
Il nostro amico CE sa di essere particolarmente dotato e… se la tira un po’. E’ il personaggio giusto per
subire uno scherzo un po’ “cattivo”, ma anche per imparare qualcosa che per lui è veramente incredibile.
Per noi, invece, tutto è più semplice, dato che possiamo spostarci nella terza dimensione (che lui non può
vedere) e assistere alla sua disperazione crescente. Immaginiamo di posizionarci a una certa altezza
(parola sconosciuta a CE) e disegnare cosa succede nello spazio piano S2.
In Fig. 1 ci sono diversi momenti dello scherzo “visti dall’alto”. Ciò che si vede è, quindi, lo spazio di CE a
due dimensioni.

Figura 1
Cominciamo con la prima riga. A sinistra CE vede improvvisamente comparirgli davanti CI. Un attimo di
sorpresa, ma subito dopo inizia il colloquio. CI chiede a CE: “Chi sono?” CE non ha problemi a dirlo: “Sei
un cerchio come me, di colore rosso; ti riconosco da tante piccole sfumature e so che non puoi essere
altro che un cerchio”. CI si mette a ridere e poi dice a CE che adesso si muoverà rispetto a prima ma
resterà sempre lì davanti a lui.
Un attimo dopo ecco la seconda scena. CE non ha problemi a dire: “Sei rimasto tale e quale a prima. E’
ovvio…”. CI risponde: “Nemmeno per sogno. Ti posso assicurare che mi sono mosso e anche di molto!
Ti voglio aiutare e mi muovo di nuovo, ma cerca di guardare meglio…”. La situazione è quella della terza
scena della prima riga. Ancora una volta niente sembra cambiato, ma CI scoppia in una risata sguaiata:

“Niente da fare, non riesci a vedere nessuna differenza. Sei proprio un incapace. E tutti dicono che sei
intelligente…”.
CE rimane solo e non sa che pensare: “Quello strano cerchio è sicuramente fuori di testa. Restava fermo
e mi voleva convincere che si muoveva. La voce era la sua e anche l’aspetto. Mah… ce ne sono di tipi
strani…”.
Poco dopo si passa alla situazione descritta nella seconda riga. Accidenti… eccolo di nuovo! Ma no, non
è lui, dato che è di colore verde. CE prende l’iniziativa: “Non dirmi chi sei. Ti vedo benissimo sei un
cerchio come me.” Il nuovo personaggio risponde subito: “Ciao, mi chiamo CO e sono amico di CI…
Voglio una conferma della tua incapacità nel riconoscere le persone. Stai attento, perché adesso mi
muoverò”. Nella seconda immagine CE "vede" un cerchietto verde un po’ più piccolo di prima. Ma la voce
è la stessa e anche la sfumatura del colore. “E allora” dice “chi sono?”. CE è un po’ interdetto. Non può
dire che CO è rimasto uguale a prima. E’ sempre un cerchio, ma di dimensioni minori, proprio come se
fosse diventato più giovane. D’altra parte, colore e voce non possono ingannarlo: è sempre la stessa
persona… solo che è ringiovanita! Impossibile…
CE è ancora lì con la bocca aperta ed ecco che CO cambia ancora. Adesso non è altro che un cerchietto
talmente piccolo che sembra un punto, un vero neonato. Eppure è sempre lui e sa parlare già molto
bene, quando gli chiede: “Sai dirmi, finalmente, chi sono?”. CE non sa che dire e non riesce a spiaccicare
una parola che sia una. E’ del tutto allibito: mai aveva visto un cerchio ringiovanire!
Non si è ancora ripreso dallo stordimento ed ecco che davanti a lui si presenta un nuovo cerchio dal
nome di SFE. “Basta, caro CE, questo è l’ultimo tentativo. Sono una cara amica di CI e di CO. Se non sai
dirmi chi sono vuol dire che non vali niente!”. Nel mondo di CE nessuno può cambiare il colore e la voce:
è costretto ad ammettere che chi è davanti a lui è un personaggio ancora diverso. L’aspetto, però, è lo
stesso con cui l’aveva lasciato CO. Davanti a CE c’è un piccolo cerchietto, molto giovane, che sa parlare
molto bene ed è di colore marrone.
Un attimo dopo, SFE diventa improvvisamente come gli erano apparsi sia CI (per tutto il tempo
dell’incontro) sia CO (al momento iniziale). CE suda abbondantemente (sudano anche nello spazio S2…)
e si mette quasi a urlare: “Tu sei un cerchio, solo e soltanto un cerchio come me, ma come accidenti hai
fatto a invecchiare così velocemente!? Un attimo fa eri un neonato e adesso sei un adulto tale e quale a
me. Che stregoneria è mai questa?”. SFE sembra divertirsi moltissimo e gli risponde: “Questo è niente. Io
posso variare la mia età come voglio, anche muovendomi sempre in avanti”.
Accidenti… CE si sente svenire e teme di diventare una parabola, l’aspetto di tutti i cerchi poco prima di
morire. Davanti a lui SFE è tornata a essere una neonata, un punto, o poco più, di color marrone. Questo
è veramente troppo anche per lui e sicuramente, se ne uscirà vivo, non se la tirerà più. Ci sono persone
sicuramente più intelligenti di lui!
CO, CI e SFE decidono che lo scherzo è finito e ricompaiono tutti e tre assieme nelle forme del cerchio
simile a CE. Poi iniziano a spiegare…
Non voglio certo scrivere un altro romanzo, scopiazzando da Flatlandia, e quindi posso svelare il
semplice trucco. CO, CI e SFE non sono altro che un cono, un cilindro e una sfera, abitanti dello spazio
S3 (Figura 2). Loro non hanno fatto altro che muoversi dall'alto verso il basso nella “loro” dimensione z
(del tutto invisibile a CE) e fermarsi di tanto in tanto. La sezione con il piano-spazio S2 ha fatto vedere a
CE figure sempre uguali, ma di dimensioni diverse. Qualcosa che CE credeva di conoscere, ma che
invece non conosceva affatto: a volte -ha imparato- l’apparenza inganna.

Figura 2
Giura che non sarà più superbo o arrogante e chiede ai nuovi tre “strani” amici di spiegare esattamente
cosa o chi sono. Loro lo fanno e CE, che intelligente lo è per davvero, capisce tutto, anche se sa che non
potrà mai disegnare esattamente il mondo S3. Sa, però, come fare a rappresentare una sfera, un cono e
un cilindro nel suo spazio S2: qualcosa uguale a un cerchio che può ingrandire o restringersi o anche
rimanere sempre uguale a se stesso. Impara anche il modo di legare la nuova coordinata che non può
disegnare alle due che invece conosce. Basta usare un po’ di matematica e scrivere delle formule
di trasformazione o qualcosa del genere. A questo punto, anche CE potrebbe vivere in S3, anche se
solo con le sue due dimensioni. Resterebbe sempre lo stesso, ma potrebbe spostarsi lungo la nuova
coordinata z.
Bene, tante parole per dire che cosa? Ben poco di più (però… mi sono divertito a raccontare lo scherzo!).
Il concetto è semplice: per aggiungere veramente una nuova dimensione a S2 bisogna trovare un modo
rigoroso che la sappia legare alle altre due. In qualche modo mettere la terza coordinata sullo stesso
livello delle compagne.
Quello che dobbiamo fare noi, allora, è solo e soltanto cercare di legare il tempo allo spazio,
considerandolo, però, come una "normale" coordinata in più.
Il tempo quindi deve essere qualcosa che esiste in tutta la sua totalità nel nuovo spazio (lo spazio-tempo)
e che può assumere valori negativi e positivi e anche zero, tale e quale alle ben conosciute x,y,e z. Niente
di più e niente di meno.
I punti spaziali diventano eventi spaziotemporali
Faccio un esempio per far comprendere meglio il concetto finale. Nello spazio S2 posso scrivere una
grandezza, ad esempio la distanza, utilizzando una combinazione di x e y. Lo stesso posso fare nello
spazio a tre dimensioni con una combinazione di x, y e z. Non resta che poter scrivere una distanza (o
quello che sarà) anche nello spazio a quattro dimensioni, dove ovviamente le quattro dimensioni sono x,
y, z e t. Il punto nello spazio S2 è definito da una x e una y. Nello spazio S3 da una x, una y e una z. Nello
spazio S4 (lo spaziotempo) il punto prende il nome di evento ed è caratterizzato da una x, una y, una z e
una … t. Niente di così difficile, direi… Avendo due punti si può sempre scrivere la loro distanza. Lo
stesso dobbiamo riuscire a fare nello spaziotempo scrivendo la "distanza" di due eventi.

Capito il concetto, non vi è poi nessun problema a eliminare una o anche due delle coordinate per
semplificare i disegni. Ovviamente… non il tempo!
Il tempo è una coordinata speciale?
Il concetto che ho cercato di spiegare è tutt’altro che banale. Credetemi. Qualcuno potrebbe pensare:
“Sappiamo già come collegare il tempo con le altre coordinate. Lo facciamo tutte le volte che descriviamo
il moto di un oggetto.” Dobbiamo, però, fare sempre molta attenzione. Ad esempio, i due diagrammi
riportati nella Fig. 3 sembrano uguali ma rappresentano concetti profondamente diversi. La distanza tra P
e Q nella parte di sinistra è una distanza spaziale, calcolabile facilmente nello spazio euclideo (x,y). P e Q
sono due posizioni dell’oggetto che descrive la traiettoria. Il secondo, a destra, mostra, invece, come
varia lo spazio (tre dimensioni compresse in una sola) in funzione del tempo. I due punti P e Q
rappresentano, adesso, due eventi dell' oggetto. La "distanza" PQ è un intervallo tra due eventi. La
differenza esiste e come!

Figura 3
In poche parole, la prima è una traiettoria spaziale, la seconda è la famosa linea di Universo… Nella
prima non sappiamo come viene percorsa la traiettoria. Nella seconda sì: conosciamo tutto di lei.
Non fatevi confondere dal fatto che vi è solo una s e non uno spazio a tre dimensioni. Basterebbe
disegnare uno spazio a tre dimensioni e aggiungere la quarta (se ne fossimo capaci). Tuttavia, una, due o
tre coordinate spaziali fanno poca differenza, concettualmente, e quindi adattiamoci a vedere lo spazio
molto "ristretto". L'importante è avere inserito il tempo e disegnare un diagramma spaziotemporale. Ci
torneremo a tempo debito, ovviamente. Ricordate, però, che l'ultimo tipo di diagramma l’abbiamo usato
molto spesso sia per disegnare il cono di luce che le figure degli ultimi capitoli della QED. D'ora in poi
dovremo sempre usare questa rappresentazione, se vogliamo che il tempo entri in gioco ad armi pari.
Galileo e Newton cominciano a barcollare
La differenza concettuale è già evidente nello spaziotempo euclideo (quello di Galileo e Newton). Lo sarà
molto di più nello spaziotempo della relatività enisteniana. Il concetto va capito adesso, prima di
complicare le cose con trasformazioni più intricate e meno intuitive. Anzi, la prossima volta, disegneremo
lo spaziotempo galileiano, tanto per capirne l'essenza. Poi lo lasceremo da parte, per confrontarlo, alla
fine, con quello relativistico. Vedremo che in esso il tempo rimane qualcosa di scollegato dal resto. Solo la
relatività ristretta riuscirà a fare veramente ciò che è capitato al nostro amico CE.
Il tempo è una "brutta bestia" e solo Einstein poteva trattarlo con tanta disinvoltura, aiutato dal quel genio
della geometria che era Minkowski.
Torniamo a trovare Galileo
Vogliamo fare tre cose:

(1) Introdurre la relatività galileiana e la trasformazione corrispondente.
(2) Capire bene cosa vuol dire ridurre le dimensioni dello spazio
(3) Rappresentare graficamente lo spaziotempo galileiano
Il punto (1) lo avevamo già trattato poco tempo fa. Tuttavia, preferisco riportare le nozioni principali per non
costringere i lettori a fare avanti e indietro nel sito del circolo …
Quello che vogliamo fare è ricavare le formule (ma anche solo i concetti) che legano le coordinate
spaziotemporali di uno stesso evento visto in due diversi sistemi di riferimento inerziali. Ciò vuol dire
che essi si muovono uno rispetto all’altro con velocità costante. Sappiamo già che le leggi della
meccanica non cambiano passando da un sistema all’altro.
E’ meglio togliere subito un paio di dubbi. Ho scritto “meccanica” e non “fisica” perché, in realtà,
l’elettromagnetismo non segue la stessa regola. Basti pensare che essa tratta di un qualcosa che viaggia
alla velocità della luce (la luce, appunto!) e questo era un problema che non poteva interessare Galileo e
Newton (per loro la luce si trasmetteva istantaneamente). Inoltre, non pensiate che la relatività speciale
parta da una “base” diversa. Essa si riferisce solo e soltanto a trasformazioni tra sistemi inerziali,
proprio come quella galileiana. Il vantaggio sarà quello di poter inserire la parola “fisica” al posto di
“meccanica”. Ma torniamo a Galileo…
La trasformazione galileiana e la somma delle velocità.
Consideriamo due sistemi cartesiani: O(x,y,z,t) e O’(x’,y’,z’,t’). Entrambi si muovono di moto rettilineo
uniforme rispetto a un ipotetico riferimento fisso. Possiamo fare due semplici semplificazioni che derivano
dal principio d’inerzia, ossia da quanto abbiamo detto precedentemente. Innanzitutto, consideriamo fisso
uno dei due sistemi e riferiamo il moto del secondo al primo. In altre parole, consideriamo fisso O e
studiamo il movimento di O’ rispetto a lui. Il movimento, inoltre, può avvenire in qualsiasi direzione, ma è
possibile scegliere gli assi cartesiani in modo che il movimento avvenga solo lungo l’asse x, coincidente
con x’.
Dobbiamo fare, inoltre, un’altra ipotesi di partenza: il tempo t è identico al tempo t’, ossia scorre nello
stesso modo in entrambi i sistemi di riferimento. In altre parole, gli orologi in O e O’ segnano sempre la
stessa ora. Questa assunzione sembrerebbe derivare da una mancanza di approfondimento da parte di
Galileo. Invece, il grande pisano era del tutto conscio del fatto che per essere sicuri che gli esperimenti
fatti nei due sistemi di riferimento fossero veramente istantanei si poneva il problema della velocità della
luce. Infatti, per dare il via allo sperimentatore che si sarebbe mosso, Galileo doveva fare segnali con una
lanterna. Egli fece molti tentativi a distanze crescenti e ne dedusse, ovviamente, che la luce era
sicuramente “rapidissima”, concludendo che, qualsiasi possibile valore essa avesse realmente avuto,
sarebbe stata del tutto irrilevante ai fini pratici. L’uguaglianza t = t’ non è quindi assolutamente arbitraria,
ma basata anch’essa sulla sperimentazione, in accordo col metodo scientifico.
Assumiamo che all’istante t = 0, O’ coincida con O, come rappresentato in Fig. 4. Entrambi gli orologi
segnano t = t' = 0 e le coordinate nei due sistemi sono perfettamente identiche.

Figura 4
Facciamo adesso muovere O’ con velocità v0 (posso considerare solo i moduli dato che tutto avviene
lungo una sola coordinata spaziale) costante rispetto ad O, come mostra la Fig. 5.


Related documents


relativita ristretta
un fan di simo considerazioni
cc010 2
ironnews 2015 1a febbraio 2015
abrate esercitazione
scaricare orient di christopher bollen pdf gratis


Related keywords