Formelsammlung FL .pdf
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Title: Formelsammlung Festigkeitslehre
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Fachhochschule Kempten
Formelsammlung Festigkeitslehre
Grundlagen
Spannungen
F
= n (S. 3)
A
=
Ft
A
σ:
τ:
F:
A:
(S. 3)
Einachsiger Spannungszustand nur !
[
j , k=
x xy
yx y
]
Normalspannung
Tangentialspannung
Kraft
Fläche
(S. 9)
Spannungstensor zweiachsig
[
x xy xz
j , k = yx y yz
zx zy z
Spannungstensor dreiachsig
]
(S. 9)
y
− y
I ,I I= x
± 2xy x
2
2
2
2
x = I⋅cos I I⋅sin
2
2
y = I⋅sin I I⋅cos
xy = yx= I − I I ⋅sin⋅cos
y
M= x
2
− I I
R= I
2
2
σ:
τ:
M:
R:
Normalspannung
Tangentialspannung
Kreismittelpunkt
Kreisradius
(S. 11)
Mohrscher Spannungskreis
1. σy antragen
2. σx antragen
3. Kreismittelpunkt ermitteln
4. τyx antragen
5. Kreisradius ermitteln
6. Schnittpunkte Kreis mit σ-Achse ergeben
Hauptnormalspannungen
7. Winkel α ergibt sich aus der Geometrie
(Zentriwinkel 2α)
y
τ
2α
τyx
σx
σ
τy
x
σ
y
R
α
M
σy
y
σII
x
σ
x
hier:
x y , yx 0 , I I I (weitere drei Fälle)
1 von 14
σI
x
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Formelsammlung Festigkeitslehre
Verformungen (Dehnung)
l
=el T
(S. 31)
=
l
l =
E
q =−⋅
(S. 37)
Zugversuch
ε:
εel:
ε l:
ε q:
εV:
εΔT:
σ:
E:
Δl:
l:
ν:
(S. 37)
Zugversuch
x y z
⋅1−2
2
V ≈ x y z
V =
1
x = ⋅[ x −⋅ y z ]
E
1
y = ⋅[ y −⋅ z x ]
E
1
z = ⋅[ z −⋅ x y ]
E
(S. 32/38)
Dehnung
elastische Dehnung
Längsdehnung
Querdehnung
Volumendehnung
Temperaturdehnung
Normalspannung
Elatizitätsmodul, E-Modul
Längenänderung
Ausgangslänge
Querkontraktionszahl
(S. 38)
für dreiachsigen Spannungzustand
=00,5
(S. 40)
Spannungen durch Dehnungen ausgedrückt
x = x⋅E (S. 39)
einachsig
E
⋅ x ⋅ y
1− 2
E
y=
⋅ y ⋅ x
1− 2
x=
(S. 39)
zweiachsig
E
⋅[ 1−⋅ x ⋅ y z ]
1⋅1−2
E
y=
⋅[ 1−⋅ y ⋅ z x ]
1⋅1−2
E
z=
⋅[ 1−⋅ z ⋅ x y ]
1⋅1−2
x=
(S. 39)
dreiachsig
Festigkeitsverhalten der Werkstoffe
Hook'sches Gesetz
tan = =E
α:
ε:
σ:
E:
(S. 37)
2 von 14
Neigung der Hook'schen Geraden
Dehnung
Normalspannung
Elatizitätsmodul, E-Modul
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Formelsammlung Festigkeitslehre
Schubmodul
G=
τ
E
2⋅1
G=
(S. 42)
(S. 40)
τ
γ
Scherversuch
τ
G: Schubmodul, Gleitmodul
E: Elastizitätsmodul
γ: Schubwinkel
ν: Querkontraktionszahl
τ: Tangentialspannung
τ
Al
Cu
Fe
E [ mmN ]
68.600
113.800
206.000
G [ mmN ]
26.500
42.200
80.400
2
2
Sicherheit
S=
K
K
S
zul =
(S. 42)
σ:
σzul :
K:
S:
(S. 42)
S 1
vorhandene Spannung
zulässige Spannung
Werkstoffkennwert
Sicherheitsfaktor
S =1,22
S =24
S =1,54
gegen Fließen:
gegen Bruch:
gegen Knickung:
Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen
2
1
σV: Vergleichsspannung
V = ⋅ x y x y 4 2yx (S. 44)
2
σ: Normalspannung
Normalspannungshypothese (spröde Werksttoffe; Zug)
2
V = x − y 4 yx
2
τ:
Tangentialspannung
α0:
σMax:
τmax:
φ:
Korrekturfaktor für τ
Kennwert für jeweiligen Belastungsfall
Kennwert für jeweiligen Belastungsfall
aus jeweiliger Hypothese für σ=0
(S. 44)
Schubspannungshypothese (zähe Werkstoffe; Zug/Druck)
V = 2x 2y − x⋅ y 3 2yx
(S. 49)
Gestaltänderungsenergiehypothese
Anstrengungsverhältnis nach BACH
0⋅
1
(S. 49)
0= ⋅ max
max
σ und τ durch verschiedene Lastfälle
Normalspannungshypothese:
Schubspannungshypothese:
Gestaltänderungsenergiehypothese:
=1
=2
= 3
3 von 14
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Schnittlasten
Allgemein
Q=−
dM
dx
dQ
dx
q=
Q:
q:
M:
N:
x:
(S. 51)
q(x)
Querkraft
Streckenlast
Moment (Biegemoment)
Normalkraft
Bauteillänge
dx
Definition Schnittufer
q(x)
M
M+dM
N
Q
M
Q+dQ
Ι
+
N+dN
Q
N
M
-
N
Q
dx
Klammerfunktion (FÖPPL-Symbol)
{
〈 x−x i 〉n =
mit :
0 für x x i
x:
x i:
n
〈 x− x i 〉 für x x i
Laufvariable
Bereichsvariable
(S. 66)
{
0 für xx i
n=
1 für x x i
d
〈 x−x i 〉n =n⋅〈 x− x i 〉n−1
dx
1
⋅〈 x− x i 〉n1
∫ 〈 x− xi 〉n dx= 1n
(S. 66)
Beanspruchung stabförmiger Bauteile
Zug- und Druckbeanspruchung
F
(S. 68)
=
E⋅A
αK:
Stäbe mit konstantem Querschnitt und konstanter Längskraft
⋅g⋅ l⋅x−
l=
E
x2
2
(S. 70)
Stäbe mit veränderlicher Last und konstantem Querschnitt
x=
F
E⋅A x
(S. 73)
Stäbe mit konstanter Last und veränderlichem Querschnitt
F
A
max = K⋅ n
n=
(S. 74)
Stäbe mit Geometrie- und / oder Laständerung
4 von 14
Spannungskonzentrationsfaktor
(Kerbfaktor)
ε:
Dehnung
ρ: Dichte des Werkstoffes
σn: Nennspannung
σmax: Maximalspannung
A: Fläche
E: Elatizitätsmodul, E-Modul
F: Kraft
g: Erdbeschleunigung
l:
Ausgangslänge
x: Laufvariable
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Stäbe unter Temperatureinfluß
l=l 0⋅⋅T
(S. 74)
ges =T el =⋅T
E
(S. 74)
Überlagerung elastischer Dehnungen
−5
⋅10
[ K −1 ]
Fe
Cu
Al
1,23
1,70
2,38
α:
εges:
εel:
εΔT:
σ:
E:
ΔT:
Δl:
l0:
Längenausdehnungskoeffizient
Dehnung
elastische Dehnung
Temperaturdehnung
Normalspannung
Elatizitätsmodul, E-Modul
Temperaturunterschied in K
Längenänderung
Ausgangslänge
ε:
σ:
E:
S:
Δl:
l:
Dehnung
Stabspannung
Elatizitätsmodul, E-Modul
Stabkraft
Längenänderung
Ausgangslänge
A:
F:
L:
a:
m:
n:
τ:
Scherfläche
Kraft
gesamte, nutzbare Nahtlänge
Schweißnahtdicke
Anzahl der Nieten / Bolzen
Anzahl der Schnitte
Scherspannung
σ p:
σl:
Aproj:
F n:
d:
l:
s:
Flächenpressung
Lochleibung
projizierte Fläche senkrecht zu Fn
Kraft
Durchmesser
Länge
Blechdicke
Statisch bestimmte Stabsysteme
∑ S ix=0
∑ S iy=0
(S. 77)
Stabspannungen
}
i
i
E i l i = E ⋅l i
i
l i =i⋅l i
i =
(S. 78)
Längenänderung
Statisch unbestimmte Stabsysteme
siehe Seite 78 im Skript!
Abscherbeanspruchung
F
a =
a zul (S. 82)
n⋅m⋅A
a zul ≈
Bolzen- / Nietverbindung
schw=
F
schw zul
a⋅L
Re
3
(S. 82)
Schweißverbindung
kleb=
F
kleb zul
A
(S. 82)
Klebe- / Lötverbindung
Beanspruchung bei Berührung
Beanspruchung bei flächenhafter Berührung
p=
Fn
p zul
A proj
(S. 83)
Ebene Flächen (Trapezführung)
p=
F
l⋅d
(S. 83)
Gewölbte Flächen (Wellenzapfen)
l=
F
d⋅s
(S. 83)
(Niete, Bolzen)
5 von 14
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Beanspruchung bei linien- / punkthafter Berührung (Hertz'sche Pressung)
r=
r 1⋅r 2
r 1r 2
E=
E 1⋅ 1− E 2⋅ 1−
2
2
3⋅F⋅r
a=
2⋅E
Zylinder
F⋅E
2⋅r⋅l
8⋅r⋅F
a=
⋅l⋅E
Querkontraktionszahl
Druckspannung
Elastizitätsmodul der Berührstelle
Kraft
halbe Breite / Radius der Berührfläche
Berührungslänge
Radius
Kugel
r1
r2
(S. 84)
da
r2 ∞
Berührfläche
2a
(S. 84)
positiv
r2
Zylinder gegen Zylinder
r=r 1
Radius
r1
l
ν:
σD:
E:
F:
a:
l:
r:
(S. 84)
Kugel gegen Kugel
D=
2
1
2
1 3 3⋅F E
D= ⋅
⋅
2
r
2⋅E 1⋅E 2
negativ
2a
Kugel / Zylinder gegen Ebene
Biegebeanspruchung
Flächenträgheitsmoment
(S. 86)
y
dA
x
z
I =I z a 2⋅A
A
η
(S. 93)
y
Koordinatenursprung im Schwerpunkt
a
I z =∫ y 2⋅dA
Koordinatenverschiebung (parallele Achsen); Satz von STEINER
(S. 113)
Koordinatenverdrehung; Mohr'scher Trägheitskreis
1. Iy antragen
2. Iz antragen
3. Kreismittelpunkt ermitteln
4. Izy antragen
5. Kreisradius ermitteln
6. Schnittpunkte Kreis mit I-Achse ergeben
Hauptflächenträgheitsmomente
7. Winkel α ergibt sich aus der Geometrie
(Zentriwinkel 2α)
z
y
Iz
M
Iy
II
I
R
Iz
α
2α
y
III
Flächenträgheitsmoment um η
Flächenträgheitsmoment um z
Zentrifugalmoment
polares Flächenträgheitsmoment
Abstand z-Achse zu η-Achse
Fläche
2
I I
I y I z
I I ,I I= y z ±
I 2zy
2
2
2⋅I zy
tan 2 =
I y −I z
I p =I y I z = I I I I I
Iz
Iη :
Iz:
Izy:
Ip :
a:
A:
y
6 von 14
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Zentrifugalmoment
I yz =∫ y⋅z⋅dA
Iyz:
A:
S:
(S. 111)
A
Koordinatenursprung im Schwerpunkt
I yz = I yz y s⋅z s⋅A
(S. 114)
Zentrifugalmoment
Fläche
Schwerpunkt
dA
Koordinatenverschiebung; Satz von STEINER
y
S
I yz =0 !
für symmetrische Bauteile
y
z
z
y
ys
A
z
zs
x
Einfache Biegeformel (anwendbar für Iyz=0)
I z =∫ y ⋅dA
I
W z= z
y max
M
x =− ⋅y
Iz
M
M
max = ⋅y max =
Iz
Wz
2
σd
M
Iz:
W z:
ymax:
y:
M:
σmax:
σx:
dA:
(S. 86)
y
axiales Flächenträgheitsmoment
Widerstandsmoment
maximaler Randfaserabstand
Faserabstand
Biegemoment
Maximalspannung
Biegespannung
Flächenelement
M
z
x
σz
Schiefe Biegung (doppelte Biegung bei Kreisquerschnitten)
M b= M 2z M 2y
M
tan = z
My
Mb
=±
⋅z
Iy 1
y
y1
(S. 100)
z
1
max =±
My
Mb
Mb
⋅R
Iy
x
Mz
α
R
z1
Iy1:
Mb :
My:
Mz:
R:
α:
σ:
Flächenträgheitsmoment
resultierendes Moment
Momemte in y-Richtung
Momemte in z-Richtung
Radius des Kreisquerschnittes
Winkel der Koordinatendrehng
Biegespannung
1
Schiefe Biegung (Profile mit zwei zueinander senkrechten Achsen)
Mz
M
⋅y max ± y⋅z max
Iz
Iy
M
M
=± z ± y
Wz Wy
Iy/z: Flächenträgheitsmomente
My: Momemte in y-Richtung
Mz: Momemte in z-Richtung
W y/z: Widerstandsmomente
σ: Biegespannung
ymax: maximaler Randfaserabstand in y
zmax: maximaler Randfaserabstand in z
=±
(S. 103)
7 von 14
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Schubspannungen in symmetrischen Querschnitten
mittel =
Q
A
3
max = ⋅mittel
2
(S. 119)
Rechteckquerschnitt
4
max = ⋅mittel
3
Kreisquerschnitt
max =2⋅mittel
τ:
Q:
A:
Schubspannung
Querkraft
Fläche
E:
I:
E*I:
M:
Q:
f:
q:
w'':
α:
Elastizitätsmodul
Flächenträgheitsmoment
Biegesteifigkeit
Biegemoment
Querkraft
maximale Durchbiegung
Streckenlast
Krümmung der Biegelinie
Winkel der Durchbiegung
(S. 119)
Kreisringquerschnitt
Durchbiegung von Trägern
w ''=−
M
E⋅I
(S. 135)
Gleichung der elastischen Linie
w '''=−
Q
E⋅I
w ''''=−
wmax = f
q
E⋅I
w' =
f und α aus Tabellen!
Torsionsbeanspruchung
Stäbe mit Kreis(ring)querschnitt und konstantem Durchmesser
=
M t⋅l
G⋅I p
max =
Mt
Wt
Am: von der Profilmittellinie
eingeschlossene Fläche
G: Schubmodul
Ip: polares Flächenträgheitsmoment
Mt: Torsionsmoment
T: Schubfluß (pro Längeneinheit)
W t: Widerstandsmoment der Torsion
c: Drehfederkonstante
l:
Bauteillänge
t:
Wanddicke
s:
τ:
Schubspannung
φ: Verdrehwinkel
(S. 165)
Torsion einer abgesetzten Welle
1
1
=∑
c
ci
=
Mt
c
(S. 173)
Stäbe mit Kreisquerschnitt und veränderlichem
Durchmesser
W t=
=
I t x
r x
=∫
M x
⋅dx
G⋅I p x
(S. 179)
Mt
Wt
Dünnwandige, geschlossene Profile mit beliebigem Querschnitt
M t =2⋅⋅t⋅A m
W t =2⋅t min⋅A m
(S. 187)
(S. 188)
T =⋅t
(S. 184)
1.Bredt'sche Formel
Mt
M
max =
= t
2⋅t min⋅A m W t
(S. 188)
ds
∫
M ⋅l
t s
= t ⋅
G
4⋅A 2m
2. Bredt'sche Formel
=Drillung (S. 190)
l
4⋅A2m⋅t
I t=
Umfang
für t=const.
8 von 14
(S. 190)
4⋅A2m
I t=
∫ t ds
s
(S. 190)
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Formelsammlung Festigkeitslehre
Dünnwandige offene Profile (Flachmaterial)
1
I t = ⋅b3⋅h
3
max =
1
W t = ⋅b 2⋅h
3
(S. 192)
3⋅M t
2
b ⋅h
=
(S. 192)
Mt
⋅l
G⋅I t
Allgemein für dünnwandige offene Profile
I t = ⋅∑ hi⋅bi3
3
(S. 192)
W t=
It
b max
b:
h:
l:
G:
I t:
Mt :
W t:
τ:
φ:
η:
kleine Abmessug des Rechtecks
große Abmessung des Rechtecks
Bauteillänge
Schubmodul
polares Flächenträgheitsmoment
Torsionsmoment
Widerstandsmoment der Torsion
Schubspannung
Verdrehwinkel
Konstante aus Tabelle
Zusammengesetzte Beanspruchung
(S. 195ff)
Biegung und Normalkraft können direkt addiert werden, da beides Normalspannungen sind!
1,2 =−
N M
∓
A W
Bei Biegung und Schub müssen Vergleichsspannungen (siehe Seite 3) ermittelt werden, welche
kleiner sein muß als die zulässige Spannung.
Bei Biegung und Torsion müssen an gezielten Punkten Vergleichsspannungen (siehe Seite 3)
ermitelt werden. Und zwar an den Stellen mit der größten Spannung.
Bei Längskraft und Torsion muß eine Vergleichsspannung (siehe Seite 3) am Rand ermittelt
werden, da dort die größten Spannungen sind.
Bei Schub und Torsion können die Spannungen direkt addiert werden, aber es muß auf die
Richtung geachtet werden.
Bei Biegung, Schub, Längskraft und Torsion analog der vorhergehenden Beispiele.
Dünnwandige Bauteile
Dünnwandige Ringe
Dünnwandiger Ring unter Innen- oder Außendruck
t=
pi⋅d i
2⋅t
t =−
(S. 211)
Innendruck
p a⋅d a
2⋅t
Außendruck
d
t = pi − p a ⋅
2⋅t
d:
p:
t:
σ t:
Durchmesser
Druck
Wandstärke
Tangentialspannung
r:
E:
T:
α:
σ:
Zylinderradius
E-Modul
Temperatur
Längenausdehnungskoeffizient
Spannung
r:
v:
σ:
ρ:
ω:
Ringradius
Geschwindigkeit
Spannung
Dichte
Winkelgeschwindigkeit
(S. 211)
Näherungsformel
Kreiszylinder unter Temperatureinfluss (und Spannung)
r= ⋅T ⋅r
E
(S. 213)
Kreiszylindrischer Ring unter Fliehkraft
t =⋅v 2
(S. 217)
v=r⋅
=
⋅n
30
9 von 14
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Formelsammlung Festigkeitslehre
Dünnwandige Behälter
Kreiszylindrischer Behälter unter Innen- oder Außendruck
pi⋅d
4⋅t
a=
t=
(S. 219)
axiale Richtung
pi⋅d
2⋅t
(S.219)
Umfangsrichtung
t =2⋅ a
d:
p:
t:
σ:
Behälterdurchmesser
Druck
Wanddicke
Spannung
d:
p:
t:
σ:
Behälterdurchmesser
Druck
Wanddicke
Spannung
bei Außendruck: Sigma negativ
Kugelbehälter unter Innen- oder Außendruck
=
pi⋅d
4⋅t
(S. 221)
1
max = ⋅ max
2
Kugel
Zylinder
Stabilitätsprobleme
Knickung
Knickspannungsdiagramm
σK
σd
1: Quetschen
2: plastisches Knicken (Tettmair)
3: elastisches Knicken (Euler)
Quetschgrenze
a
Tettmair-Gerade
(für Grauguss Parabel)
σdF
a: σd-Abschnitt der Tettmair-Gerade
b: Steigung der Tettmair-Gerade
σdP
Euler-Hyperbel (σK)
1
2
λF
F=
3
λP
λ
a− dF
b
P =⋅
Material
E [ mmN ]
S235
2,1*105
E335
5
GG20
E
dP
a [ mmN ]
b [ mmN ]
104
310
1,14
0
2,1*10
89
335
0,62
0
1,0*10
80
776
12
0,05
P
2
5
2
10 von 14
2
c [ mmN ]
2
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Knickung im elastischen Bereich (Euler-Bereich)
F
⋅w=0
E⋅I
(S. 225)
Differentialgleichung
F
⋅l=n⋅
E⋅I
(S. 226)
n. Eigenwert, Eigenform der Knickung
mit
n=1
F K=
folgt
2⋅E⋅I min
(S. 226)
l 2K
Eulersche Knicklast
I min
A
=
(S. 226)
Trägheitsradius
lK
i min
(S. 226)
Trägheitsradius
Knicklänge
Durchbiegung
Querschnitt
E-Modul
Knicklast
Flächenmoment des kleinsten A
Sicherheit gegen Knicken
Schlankheitsgrad
Druck-Fließgrenze
Druck-Proportionalitätsgrenze
Knickspannung
Schlankheitsgrad
F K 2⋅E
K= = 2
A
dP =
(S. 226)
Knickspannung (Euler-Hyperbel)
F
d vorh = K
A SK
2⋅E
2P
(S. 227)
Druck-Proportionalitätsgrenze
I min
(S. 230)
Festigkeitsbedingung
F vorh⋅l 2K⋅S K
2⋅E
(S. 229)
Mindestflächenmoment
S K =510
dP≈0,8⋅ dF
Die vier Eulerfälle (Knicklängen)
F
F
F
lK = l
l K= 2 l
l
F
11 von 14
lK ≈ 0,7 l
i min =
i:
l:
w:
A:
E:
F:
Imin:
SK:
λ:
σdF:
σdP:
σK:
lK = 0,5 l
w' '
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Formelsammlung Festigkeitslehre
Knickung im plastischen Bereich (Tettmair-Bereich)
K =a−b⋅
(S. 231)
Knickspannunng für Stahl
K =a−b⋅c⋅2
(S. 231)
Knickspannung für Grauguss
d vorh=
F K
A SK
(S. 231)
Festigkeitsbedingung
Quetschen
d vorh=
gilt für
F
d zul = dF bzw. dB
A
SF
SB
(S. 230)
F
a:
b:
c:
A:
F:
SK:
λ:
σ d:
σK:
Werkstoffkennwert
Werkstoffkennwert
Werkstoffkennwert
Querschnitt
Kraft
Sicherheit gegen Knicken
Schlankheitsgrad
Druckspannung
Knickspannung
A:
F:
S:
λ:
σ d:
σdB:
σdF:
Querschnitt
Kraft
Sicherheit gegen Bruch / Fließen
Schlankheitsgrad
Druckspannung
Druckfestigkeit
Druck-Fließgrenze
A:
F:
ω:
Querschnitt
Kraft
Knickzahl
ω-Verfahren (Nachrechnung von Druckstäben)
F
⋅ d zul
A
(S. 234)
Bei λ kleiner 20 kein Nachweis nötig!
λ
20
60
80
100
120
140
160
S235
1,04
1,30
1,55
1,90
2,43
3,31
4,32
S335
1,06
1,41
1,79
2,53
3,65
4,96
6,48
Formänderungsarbeit
Formänderungsarbeit bei eindimensionaler Beanspruchung (Zug, Druck)
2
1 1 2
1
wi: spezifische innere Arbeit
wi = ⋅ = ⋅ ⋅E = ⋅⋅
2 E 2
2
E: E-Modul
spezifische innere Arbeit
W i =wi⋅V
für
W i =∫ wi dV
V:
W i:
ε:
σ:
=const.
für
V
≠const.
Volumen
gesamte innere Arbeit
Dehnung
Spannung
Formänderungsarbeit bei Querkraftbeanspruchung
2
1
1 1 2
wi: spezifische innere Arbeit
wi = ⋅⋅= ⋅ = ⋅ ⋅G
2
2 G 2
G: Schubmodul
spezifische innere Arbeit
W i =wi⋅V
für
W i =∫ wi dV
V
V:
W i:
γ:
τ:
=const.
für
≠const.
12 von 14
Volumen
gesamte innere Arbeit
Schubwinkel
Schubspannung
Fachhochschule Kempten
Formelsammlung Festigkeitslehre
Formänderungsarbeit bei Biegebeanspruchung
l
M b2
1
E:
W i = ⋅∫
dx (S. 238)
I:
2 0 E⋅I
Elastizitätsodul
Flächenmoment der Biegung
Mb: Biegemoment
W i: gesamte innere Arbeit
Formänderungsarbeit bei Torsionsbeanspruchung
l
M2
1
G: Schubmodul
W i = ⋅∫ t dx (S. 238)
I:
Flächenmoment der Torsion
2 0 G⋅I
Mb: Torsionsmoment
W i: gesamte innere Arbeit
Energiemethoden
Verfahren von Castigliano
∂ M b x
l M b x⋅
dW
∂F
=∫
dx= y
dF 0
E x⋅I x
∂ M b x
M b x⋅
dW
∂M
=∫
dx=
dM 0
E x⋅I x
l
(S. 244)
(S. 244)
y:
E:
F:
I:
M:
W:
φ:
Durchbiegung an Kraftangriffsstelle
Elastizitätsmodul
Kraft
Flächenmoment
Moment
gesamte innere Arbeit
Winkel der Durchbiegung
Verfahren von Menabrea
Berechnung von Auflagergrößen bei statisch unbestimmten Systemen.
∂ M b x
M b x⋅
∂ Li
dW
=∫
dx=0
dLi 0
E x⋅I x
l ges
(S. 249)
E:
I:
L:
M:
W:
Elastizitätsmodul
Flächenmoment
zusätzliche Auflagergrößen
Moment
gesamte innere Arbeit
Bauteilfestigkeit bei Schwingbeanspruchung
Kerbwirkungsfaktor
K = D (S. 253)
DK
K =1 K⋅ K −1
(S. 253)
k =01
nach Thum
Oberflächenfaktor
D
C O=
D
Bauteiloberfläche
(S. 254)
Probe
Größenfaktor
D
C G=
D
Bauteilgröße
=K 1⋅K 2⋅K 31
(S. 254)
Probe
13 von 14
CO:
CG:
K1:
K2:
K3:
αK:
βK:
ηK:
σD:
σDK:
Oberflächenfaktor
Größenfaktor
Umfeldstützwirkung
Statistik
Größenabhängigkeit der Kerbwirkung
Kerbwirkungsfaktor
Kerbempfindlichkeitszahl
Dauerfestigkeit
Dauerfestigkeit mit Kerbe
Fachhochschule Kempten
Formelsammlung Festigkeitslehre
Überlagerung der Einflußgrößen
D ⋅C O⋅C G
(S. 254)
a zul =
K⋅S D
SD: Sicherheit gegen Dauerbruch
σa: Ausschlagsspannung
Probe
Beanspruchung umlaufender Bauteile
Rotierender Stab
⋅2 2 2
x=
⋅ l − x
2
l=
⋅2 3
⋅l
3⋅E
(S. 255)
(S. 256)
m ⋅l
max =2⋅ ⋅l 12 2 2
2
A
A:
l:
E:
ρ:
σ:
ω:
Stabquerschnitt
Stablänge
Elastizitätsmodul
Bauteildichte
Spannung
Winkelgeschwindigkeit
r:
E:
ρ:
σ t:
ω:
Bauteilradius
Elastizitätsmodul
Bauteildichte
Tangentialspannung
Winkelgeschwindigkeit
ra:
ri:
r:
E:
ε:
ν:
ρ:
σ:
ω:
Außenradius
Innenradius
Radius an beliebiger Stelle
Elastizitätsmodul
Dehnung
Querkontraktionszahl
Dichte
Normalspannung
Winkelgeschwindigkeit
(S. 256)
nur für Stab mit Punktmasse am Ende
Rotierender Ring
dünn → Beanspruchung in Schalenrichtung
t =⋅v 2=⋅r 2⋅2
r=
⋅r 3⋅2
E
(S. 257)
r =0
(S. 257)
Beanspruchung von Flächentragwerken
Scheiben
r i2 r i2 r 2
3
r =⋅ ⋅r ⋅
⋅ 1 2 − 2 − 2
8
ra r ra
2
2
a
Radialspannung einer rotierenden Scheibe
(S. 262)
r 2 r 2 13⋅ r 2
3
t =⋅2⋅r 2a⋅
⋅ 1 i2 i2 −
⋅
8
3 r 2a
ra r
Tangentialspannung einer rotierenden Scheibe
1
r = ⋅ r −⋅ t
E
1
t = ⋅ t −⋅ r
E
(S. 261)
Dehnungen der umlaufenden Scheibe
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