2 .pdf

File information


Original filename: 2.pdf
Author: Лилька

This PDF 1.5 document has been generated by Microsoft® Office Word 2007, and has been sent on pdf-archive.com on 16/06/2013 at 20:06, from IP address 176.212.x.x. The current document download page has been viewed 1485 times.
File size: 3.6 MB (54 pages).
Privacy: public file


Download original PDF file


2.pdf (PDF, 3.6 MB)


Share on social networks



Link to this file download page



Document preview


1.1
Определение евклидовых пространств.
При изучении линейных пространств мы обобщили понятие плоскости, трехмерного пространства
следующим образом: мы определили линейное пространство X над произвольным полем Р как непустое
множество, замкнутое относительно операции сложения, для элементов которого определена операция
умножения на элементы из поля Р, так что выполнены следующие 8 аксиом линейного пространства:
1).(x, y, z X)(( x  y)  z  x  ( y  z)) – ассоциативность.
2).( 0 X)(x X)( x  0  0  x  x) – существование нейтрального элемента.
3).(x X)( ( x) X)( x  ( x)  (x)  x  0) – существование симметричного элемента.
4).(x, y X)( x  y  y  x) – коммутативность. (Х – абелева группа по сложению)
5).(,  P)(x X)((  )  x  x  x) .
6).(,  P)(x X)((  )  x    (  x)) .
7).( P)(x, y X)(( x  y)  x  y) .
8).(x X)(1 x  x) .
Понятие n-мерного линейного пространства далеко не в полной мере обобщает понятие плоскости и
понятие трехмерного пространства. В линейном n-мерном пространстве L не определены такие понятия,
как длина вектора и угол между векторами. Как известно, и в плоскости, и в трехмерном пространстве
можно ввести понятие скалярного произведения векторов – это понятие вводится с помощью понятий
длины вектора и угла между векторами: (a , b)  a  b  cos (a , b) . Мы установили, что скалярное
произведение обладает следующими свойствами:
1) ( a , b)  ( b, a )
2) (  a , b)    (a , b)
3) (a  b, c)  (a , c)  ( b, c)
4) (a , a )  0, a  0
( 0, 0)  0
Если известно скалярное произведение, то легко можно вычислить длину вектора a  (a , a ) (1). По
известному скалярному произведению можно определить и угол между векторами: cos ( a , b) 

( a , b)
(2).
ab

Это наталкивает на следующий способ обобщения плоскости и пространства: мы аксиоматически
определяем в любом n-мерном линейном пространстве понятие скалярного произведения так, чтобы
выполнялись свойства 1,2,3,4. Тогда понятия длины вектора и угла между векторами определим по
формулам (1) и (2), однако за достигнутое таким образом углубление в геометрию пространства нам
придется пожертвовать некоторой степенью общности: мы будем рассматривать линейные пространства,
заданные не над произвольным полем Р, а лишь над полями R и С.
Определение: Вещественное пространство Е, заданное над полем R, называется евклидовым, если
любой паре x и y элементов пространства Е поставлено в соответствие число, обозначаемое ( x, y) и
называемое скалярным произведением, так, что выполнены следующие аксиомы:
1) (x, y E)((x, y)  ( y, x))
2) ( R)(x, y E)((  x, y)    (x, y))
3) (x, y, z E)((x  y, z)  ( x, z)  ( y, z))
4) (x E)(x  0)(x, x)  0)

 0,0  0
Отметим, что из аксиомы (2) при   0 следует, что ( 0, x)  0 , а из аксиом (2) и (3) следует, что скалярное
произведение двух линейных комбинаций вычисляется по формуле:   x ,  y  
(3).

      ( x , y )

k

n

i

i 1

i

k

j

j 1

n

j

i

i 1 j 1

j

i

j

Очевидно, что любое подпространство евклидова пространства Е само является евклидовым
пространством, введенным над тем же полем. Если Ln – n-мерное линейное пространство над R, то оно
может быть легко превращено в евклидово пространство, например, следующим образом: в
пространстве Ln выберем базис e1,..., en , тогда произвольный векторы x и y могут быть записаны в виде
линейных комбинаций:
n
, а тогда скалярное произведение: ( x, y)   ii (4).
x    e , y   e
i 1
n

i 1

n

i i

i 1

i i

Легко проверить, что для произведения, определяемого по формуле (4), выполнены аксиомы 1,2,3,4. То
есть, формула (4) в действительности задает скалярное произведение. Заметим, что скалярное
произведение в n-мерном пространстве можно задать и другим способом: например, взять
произвольную последовательность положительных действительных чисел 1, 2 ,..., n и положить
n
( x, y)    iii .
i 1

В n-мерном пространстве базис, как известно, можно выбрать многими способами, а любому базису по
указанному выше правилу соответствует свое скалярное произведение.
Определение: Вектор x из евклидова пространства Е называется нормированным, если ( x, x)  1.
Справедливо следующее утверждение: любой ненулевой вектор можно нормировать, умножив его на
некоторое действительное число  .
(x, x)  1
2 ( x, x )  1



1
( x, x)

Определение: Система векторов евклидова пространства Е называется нормированной, если
нормированы все ее элементы.
1.2 Теорема о существовании и единственности линейного оператора A : X → Y такого, что A( i) =

i

для

данных i Y.
Матрица оператора.
Теорема 6: Пусть X, Y – два линейных пространства над полем Р, dimX  m, dimY  n . Пусть далее
e1 , e2 ,..., em (1) – базис X, и базисным векторам каким-то образом поставлены в соответствие векторы
f1 , f2 ,..., fm (2) – из Y. Тогда (!A: X  Y)(A(ei )  fi , i  1, m) .
Доказательство: Предположим, что искомый оператор А существует, пусть x  X, тогда x
единственным образом разложим по базису:
x  1 e1   2 e2 ... m em (1)
A( x)  1A( e1 )   2 A( e2 ) ... m A( em )  1 f1   2 f 2 ... m f m (2)
Правая часть равенства (2) однозначно определяется вектором x и образами базисных векторов.
Определим искомый оператор так: пусть дано (1). Положим A( x) равное (2). Очевидно, что
A(x  y)  A( x)  A( y) .
Пусть в линейном пространстве X задан базис e1 , e2 ,..., em , а в Y – q1 , q 2 ,..., q n , а также задан линейный
оператор A: X  Y .
Подействуем оператором А на базисные векторы e1 , e2 ,..., em и найдем разложение образов этих базисных
векторов в виде линейной комбинации базисных векторов пространства Y,т.е.
A( e1 )   11q 1   21q 2 ... n1q n
A( e2 )   12 q 1   22 q 2 ... n 2 q n
............................................
A( e m )   1m q 1   2 m q 2 ... nm q n

Матрица

  

   
A qe  
...
...

  n  n 

... 1m 

...  2m 
... ... 

...  nm 

называется матрицей линейного оператора А в выбранных базисах

линейных пространств X и Y.
Пусть вектор x  X, а вектор y  A( x) . Тогда эти векторы можно разложить по соответствующим
n

m

базисам: x    j e j , y   i q i (1).
i 1

j1

n
n m


A(x)  A   j e j     j A(e j )    j   ij  q i     j   ij  q i
 j1
 j1
j1
i 1
i 1 j1
m

m

m

Сравнивая правую часть этого равенства с разложением (1), получим:
m

 
j1

ij

i

 i , i  1, n .

     ...1m  m   
      ... 2m  m   

..................................

 n1   n1  ... nm  m  n 

(2),

  

    
 ... ...

  n1  n2

... 1m       
    
...  2m        


... ...   ...   ... 
    
...  nm    n   n 

(2')

Формулы (2) дают возможность по известным координатам вектора x и матрице оператора A qe
вычислить координаты вектора y  A( x) , а также обратно, зная координаты вектора y и матрицу
оператора A qe , решив систему линейных уравнений (2), можно найти координаты вектора x .
Соотношение (2) устанавливает связь между линейными операторами и системами линейных
алгебраических уравнений, в частности, ранг матрицы оператора совпадает с рангом оператора, а
размерность ядра совпадает с числом фундаментальных решений приведенной однородной системы
уравнений, соответствующей системе (2).

2.1
Теорема: ( неравенство Коши – Буняковского )
Для любых векторов x, y евклидова пространства Е справедливо неравенство: ( x, y)2  ( x, x)  ( y, y) (5).
Доказательство: Неравенство (5) очевидно, справедливо, если один из векторов равен 0 , например, y .
(В этом случае оно превращается в равенство, поэтому будем считать y  0 .)
Рассмотрим вектор x  y, где  – произвольное число из R.
( x  y, x  y)  ( x, x)  ( x, y)  ( y, x)  2 ( y, y)   ( x, x)  2( x, y)  2 ( y, y)  0
( x, y)
Положим  
(6).
( y, y)

( x, y)2 ( x, y)2
( x, x )  2

0
( y, y) ( y, y)
( x, x)  ( y, y)  ( x, y)2  0
( x, y)2  ( x, x)  ( y, y)

Определение: Пусть x и y – произвольные векторы из Е. Векторы x, y называются коллинеарными,
тогда и только тогда, когда:
( R)( x  y )  ( R )( y  x) .
Так как 0 x – нулевой вектор, то два вектора заведомо коллинеарны, если хотя бы один из них –
нулевой.

Теорема: Неравенство Коши – Буняковского обращается в равенство тогда и только тогда, когда
векторы x и y коллинеарны.
Доказательство:
1) Пусть векторы x и y коллинеарны, x  y :
( x, y)2  (x, y)2  2  ( y, y)2
( x, x)  ( y, y)  2 ( y, y)( y, y)  2 ( y, y)2
( x, y)2  ( x, x)  ( y, y)
2) Пусть ( x, y)2  ( x, x)  ( y, y) . Если вектор y  0 , то векторы x и y коллинеарны, и доказывать нечего.
( x, y)
Предположим, что y  0 . Возьмем  
, тогда:
( y, y)

( x, x )  ( y, y)  ( x, y)2
 0, так как неравенство в этом случае является равенством, а тогда
( y, y)
x  y  0, x  y .
2.2
Матрица оператора.
Теорема 6: Пусть X, Y – два линейных пространства над полем Р, dimX  m, dimY  n . Пусть далее
e1 , e2 ,..., em (1) – базис X, и базисным векторам каким-то образом поставлены в соответствие векторы
( x  y, x  y) 

f1 , f2 ,..., fm (2) – из Y. Тогда (!A: X  Y)(A( ei )  fi , i  1, m) .
Доказательство: Предположим, что искомый оператор А существует, пусть x  X, тогда x
единственным образом разложим по базису:
x  1 e1   2 e2 ... m em (1)
A( x)  1A( e1 )   2 A( e2 ) ... m A( em )  1 f1   2 f 2 ... m f m (2)
Правая часть равенства (2) однозначно определяется вектором x и образами базисных векторов.
Определим искомый оператор так: пусть дано (1). Положим A( x) равное (2). Очевидно, что
A(x  y)  A( x)  A( y) .
Пусть в линейном пространстве X задан базис e1 , e2 ,..., em , а в Y – q1 , q 2 ,..., q n , а также задан линейный
оператор A: X  Y .
Подействуем оператором А на базисные векторы e1 , e2 ,..., em и найдем разложение образов этих базисных
векторов в виде линейной комбинации базисных векторов пространства Y,т.е.

A( e1 )   11q 1   21q 2 ... n1q n
A( e2 )   12 q 1   22 q 2 ... n 2 q n
............................................
A( e m )   1m q 1   2 m q 2 ... nm q n
Матрица

  

   
A qe  
...
...

  n  n 

... 1m 

...  2m 
... ... 

...  nm 

называется матрицей линейного оператора А в выбранных базисах

линейных пространств X и Y.
Пусть вектор x  X, а вектор y  A( x) . Тогда эти векторы можно разложить по соответствующим
m

n

j1

i 1

базисам: x    j e j , y   i q i (1).
m
m
n
n m
 m

A(x)  A   j e j     j A(e j )    j   ij  q i     j   ij  q i
 j1
 j1
j1
i 1
i 1 j1

Сравнивая правую часть этого равенства с разложением (1), получим:
m

 
j1

ij

i

 i , i  1, n .

     ...1m  m   
      ... 2m  m   

..................................

 n1   n1  ... nm  m  n 

(2),

  

    
 ... ...

  n1  n2

... 1m       
    
...  2m        


... ...   ...   ... 
    
...  nm    n   n 

(2')

Формулы (2) дают возможность по известным координатам вектора x и матрице оператора A qe
вычислить координаты вектора y  A( x) , а также обратно, зная координаты вектора y и матрицу
оператора A qe , решив систему линейных уравнений (2), можно найти координаты вектора x .
Соотношение (2) устанавливает связь между линейными операторами и системами линейных
алгебраических уравнений, в частности, ранг матрицы оператора совпадает с рангом оператора, а
размерность ядра совпадает с числом фундаментальных решений приведенной однородной системы
уравнений, соответствующей системе (2).

3.1 Ортогональные системы и их линейная независимость.
Ортогональность.
Определение: Векторы x, y , принадлежащие евклидову пространству Е называются ортогональными,
если их скалярное произведение равно 0. Определение ортогональности является перенесением понятия
перпендикулярности на произвольные евклидовы пространства.
Определение: Система векторов евклидова пространства Е называется ортогональной, если она состоит
из одного вектора или все векторы этой системы попарно ортогональны.
Определение: Нормированная ортогональная система векторов называется ортонормированной.
Пример:
В пространстве V3 векторы i, j, k образуют ортонормированную систему.
В арифметическом пространстве трехмерных векторов ортонормированной является система:
(1,0,0)
( 0,1,0)
( 0,0,1)
Теорема: Любая ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства Е линейно
независима.
Доказательство: Пусть дана система ортогональная векторов x1 , x 2 ,..., x k :
(i, j)(i  j)((x i , x j )  0)
Рассмотрим произвольную нулевую линейную комбинацию:
1  x1 ... k  x k  0
(1  x1 ... k  x k , x1 )  ( 0, x1 )  0
1  ( x1 , x1 )   2  ( x 2 , x1 )... k  ( x k , x1 )  0 (1)

1  ( x1 , x1 )  0
1  0.

Умножая обе части неравенства (1) поочередно на x1 ,..., x k , покажем, что все  i  0.
Следствие: Если сумма попарно ортогональных векторов равна 0 , то все векторы равны 0 .
3.2 Соответствие между линейными операторами и матрицами.
Теорема 7: Пусть dim X  m,dim Y  n . Между всеми линейными операторами A WXY и всеми
прямоугольными матрицами вида n  m существует биективное соответствие.
Доказательство: Уже показано, что каждый оператор А из множества WXY при фиксированных базисах в
линейных пространствах X и Y определяет некоторую матрицу A qe .
Осталось показать, что каждой матрице вида n  m соответствует линейный оператор, и притом только
один. Возьмем произвольную матрицу A qe вида n  m. При фиксированных базисах соотношения (2) или

(2') ставят в соответствие каждому вектору x  X некоторый вектор y  Y . Легко понять, что это
соответствие является линейным оператором.
  
  
 ,
 .



x1    x2   
...
...
 
 
m
 m 

Рассмотрим векторы:
  

   
A qe  x1  
... ...

  n1  n2

... 1m    
  
...  2m     

 y1  A(x1 )
... ...   ... 
  
...  nm    m 

  

   
A qe  x 2  
... ...

  n1  n2

... 1m    
  
...  2m     

 y2  A(x 2 )
... ...   ... 
  
...  nm    m 

A( x1  x 2 )  A qe  ( x1  x 2 )  A qe  x1  A qe  x 2  A( x1 )  A( x 2 )
A(  x1 )  A qe  (  x1 )    A qe ( x1 )    A( x1 )

Таким образом, мы показали, что так введенное отображение является линейным оператором,
действующим из X в Y. Найдем матрицу этого оператора:
  

   
A(e1 )  
... ...

  n1  n2

... 1m   1    
    
...  2m   0     


... ...   ...  ... 
    
...  nm   0    n1 

....................................................................
  

   
A(em )  
... ...

  n1  n2

... 1m      1m 
   

...  2m       2m 


... ...   ...  ... 
   

...  nm       nm 

Мы видим, что матрица этого оператора совпадает с матрицей A qe . Т.е., любая матрица вида n  m
является матрицей некоторого линейного оператора, действующего из X в Y.
Ясно, что если операторы А и В различны, то различны и соответствующие матрицы.
4.1 Теорема о существовании ортонормированного базиса
Утверждение: Пусть базис e1 , e2 ,..., es евклидова пространства Е ортонормирован. Тогда для любого
вектора x существует единственная запись в виде:
x  1  e1   2  e2 ...s  es (2) , причем  i  ( x i , ei ).
Доказательство: Рассмотрим скалярное произведение:

( x, e1 )  1  ( e1 , e1 )   2  ( e2 , e1 )...s  ( es , e1 )
1  ( x, e1 )
Умножая обе части равенства (2) на e2 , получим  2  ( x, e2 ) и т.д.
Пусть e1 , e2 ,..., es – ортонормированный базис и пусть векторы:
x  1  e1   2  e2 ...s  es
y  1  e1 ...s  es
Тогда скалярное произведение вычисляется по формуле:
n

( x, y)  1  1   2  2 ...s  s , ( x, x )   ( i )2 .
i 1

Теорема: В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Доказательство: Пусть система e1 , e2 ,..., es (3) – ортонормированна и максимальна в том смысле, что если
вектор ( y, ei )  0, то y  0 . Докажем, что это базис.
Так как система ортонормированна, то она, в частности, ортогональна, а любая ортогональная система
линейно независима.

Осталось показать, что любой вектор x евклидова пространства Е является линейной комбинацией
векторов системы (3) .
Рассмотрим

y  ( e1 , x)  x  ( e2 , x)  e2 ...( es , x)  es
( x  y, e1 )  ( x, e1 )  ( y, e1 )  0
( x  y, e2 )  ( x, e2 )  ( y, e2 )  0

..................................................

( x  y, es )  ( x, es )  ( y, es )  0
Мы показали, что x  ye1 , x  ye2 , x  ye3 ... Но система (3) максимальна и единственным вектором с
таким свойством является 0 , следовательно, x  y  0 и x  y , то есть
x  ( e1 , x)  x  ( e2 , x)  e2 ...( es , x)  es
4.2 Матрица преобразования координат и ее невырожденность.
Теорема 7: Пусть dim X  m,dim Y  n . Между всеми линейными операторами A WXY и всеми
прямоугольными матрицами вида n  m существует биективное соответствие.
Доказательство: Уже показано, что каждый оператор А из множества WXY при фиксированных базисах в
линейных пространствах X и Y определяет некоторую матрицу A qe .
Осталось показать, что каждой матрице вида n  m соответствует линейный оператор, и притом только
один. Возьмем произвольную матрицу A qe вида n  m. При фиксированных базисах соотношения (2) или
(2') ставят в соответствие каждому вектору x  X некоторый вектор y  Y . Легко понять, что это
соответствие является линейным оператором.
  
  
 
 .
  ,

x1    x2     
...
 ... 
 
 
 m 
m

Рассмотрим векторы:
  

   
A qe  x1  
... ...

  n1  n2

... 1m    
  
...  2m     

 y1  A(x1 )
... ...   ... 
  
...  nm    m 

  

   
A qe  x 2  
... ...

  n1  n2

... 1m    
  
...  2m     

 y2  A(x 2 )
... ...   ... 
  
...  nm    m 

A( x1  x 2 )  A qe  ( x1  x 2 )  A qe  x1  A qe  x 2  A( x1 )  A( x 2 )
A(  x1 )  A qe  (  x1 )    A qe ( x1 )    A( x1 )

Таким образом, мы показали, что так введенное отображение является линейным оператором,
действующим из X в Y. Найдем матрицу этого оператора:
  

   
A(e1 )  
... ...


 n1  n2

... 1m   1    
    
...  2m   0     


... ...   ...  ... 
    
...  nm   0    n1 

....................................................................
  

   
A(em )  
... ...

  n1  n2

... 1m      1m 
   

...  2m       2m 


... ...   ...  ... 
   

...  nm       nm 

Мы видим, что матрица этого оператора совпадает с матрицей A qe . Т.е., любая матрица вида n  m
является матрицей некоторого линейного оператора, действующего из X в Y.

Ясно, что если операторы А и В различны, то различны и соответствующие матрицы.
Переход к новому базису.
Пусть e1 , e2 ,..., em (1) и f1 , f 2 ,..., f m (2) – два базиса одного и того же m-мерного линейного пространства X.
Так как (1) – базис, то по нему можно разложить векторы второго базиса:


f2  p12 e1  p 22 e2 ... p m2 em 

....................................

f m  p1m e1  p 2m e2 ... p mm em 

f1  p11 e1  p 21 e2 ... p m1 em

(3)

Из коэффициентов при ei составим матрицу:
 p11 p 21

p12 p 22
P  
...
...

 p m1 p m2

... p m1 

... p m2 
... ... 

... p mm 

(4) – матрица преобразования координат при переходе от базиса (1) к базису (2).

Пусть вектор x  X, тогда

x    i  ei (5)
m

i 1

m


i 1

m

i

m


i 1

m

i 1

j1

i 1

 ei   i  f i   i   p ij  e j
i 1

m

i

m

m

и x   i  f i (6).

m

 ei     j p ij  ei
i 1 j1

m

 i   p ij   j (7)
j1

  
  
 ,
 



x e    xf   
...
...
 
 
 m 
 m 

Соотношение (7) означает, что
x e  P  x f (8)
Матрица Р – невырожденная, так как в противном случае имело бы место линейная зависимость между ее
столбцами, а тогда и между векторами f1 , f 2 ,..., f m .
Верно и обратное: любая невырожденная матрица является матрицей преобразования координат,
определяемого формулами (8). Т.к. Р – невырожденная матрица, то для нее существует обратная.
Умножая обе части (8) на P 1 , получим: x f  P 1  x e (9).
Пусть в линейном пространстве X выбрано 3 базиса: e1 , e2 ,..., em (10), f1 , f 2 ,..., f m (11), r1 , r2 ,..., rm (12).
xe  P  x f , xf  R  xr , xe  S  x r
Откуда x e  P  x f  P  R  x r , т.е. S  P  R (13).
Т.о. при последовательном преобразовании координат матрица результирующего преобразования равна
произведению матриц составляющих преобразований.
Пусть линейный оператор A: X  Y и пусть в X выбрана пара базисов: e1 , e2 ,..., em (I) и f1 , f 2 ,..., f m (II), и в
Y – q1 , q 2 ,..., q n (III) и t 1 , t 2 ,..., t n (IV).
Оператору А в паре базисов I – III соответствует равенство: y q  A qe x e (14). Этому же оператору в паре
базисов II – IV соответствует равенство: y t  A tf x f (15). Т.о. для данного оператора А имеем две матрицы
A qe и A tf . Мы хотим установить зависимость между ними.
Пусть Р – матрица преобразования координат при переходе от I к III.
Пусть Q – матрица преобразования координат при переходе от II к IV.
Тогда x e  P  x f (16), y q  Q  y t (17). Подставим выражения для x e и y q из (16) и (17) в (14), получим:
Q  y t  A qe  P  x f

y t  Q 1  A qe  P  x f (18)
Сравнивая данное равенство с (15), получим:
A tf  Q 1  A qe  P (19)

Соотношение (19) связывает матрицу одного и того же оператора в разных базисах. В случае, когда
пространства X и Y совпадают, роль III базиса играет I, а IV – II-ой, тогда соотношение (19) принимает
вид: A f  P 1  A e  P .
5.1
Процесс ортогонализации.
Теорема: Пусть Е – произвольное евклидово пространство, а a1 , a2 ,..., a k (1) – некоторая линейно
независимая система векторов пространства Е. Тогда существует алгоритм, переводящий систему
(1) в ортонормированную систему.
Доказательство:
1) Пусть b1  a1, ясно, что L (b1 )  L (a1 ) .
2) Пусть b2   21  b1  a2 . Ищем  21 таким, чтобы ( b1 , b2 )  0 .
( b1 ,  21  b1  a2 )  0 ,  21  ( b1 , b1 )  ( b1 , a2 )  0,  21  

( b1 , a 2 )
. Отметим, что L (b1 , b2 )  L (a1 , a 2 )
( b1 , b1 )

3) Пусть b3  31  b1  32  b2  a3 . Коэффициенты  31 и  32 находим из условия, что
(b1 , b3 )  0 .

(b 2 , b3 )  0

( b1 , 31  b1  32  b2  a3 )  0
31  ( b1 , b1 )  32  ( b1 , b2 )  ( b1 , a3 )  0

 31  

( b1 , a3 )
( b1 , b1 )

( b2 , 31  b1  32  b2  a3 )  0

 32  

( b 2 , a3 )
( b2 , b2 )

И также отметим, что L (b1 , b2 , b3 )  L (a1 , a 2 , a 3 ) .
Продолжая рассуждения, в конце концов найдем, что
b k   k1b1   k 2 b2 ... kk1b k1  a k ,
( b k 1 , a k )
(b , a )
 k1   1 k ,...,  kk1  
( b1 , b1 )
( b k 1 , b k 1 )
Нами построена ортогональная система векторов b1 , b2 ,..., b k , эквивалентная a1 , a2 ,..., a k . Нормируя
каждый из векторов b1 , b2 ,..., b k , мы получим ортонормированную систему, эквивалентную исходной.
Следствие: Всякое конечномерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом. В
самом деле, взяв любой базис Е и применив к нему процесс ортогонализации, получим
ортонормированную систему, эквивалентную исходной.
5.2 Связь между матрицами одного и того же оператора в разных базисах.
Теорема 7: Пусть dim X  m,dim Y  n . Между всеми линейными операторами A WXY и всеми
прямоугольными матрицами вида n  m существует биективное соответствие.
Доказательство: Уже показано, что каждый оператор А из множества WXY при фиксированных базисах в
линейных пространствах X и Y определяет некоторую матрицу A qe .
Осталось показать, что каждой матрице вида n  m соответствует линейный оператор, и притом только
один. Возьмем произвольную матрицу A qe вида n  m. При фиксированных базисах соотношения (2) или
(2') ставят в соответствие каждому вектору x  X некоторый вектор y  Y . Легко понять, что это
соответствие является линейным оператором.

  
  
 ,
 .



x1    x2   
...
...
 
 
m
 m 

Рассмотрим векторы:
  

   
A qe  x1  
... ...

  n1  n2

... 1m    
  
...  2m     

 y1  A(x1 )
... ...   ... 
  
...  nm    m 

  

   
A qe  x 2  
... ...

  n1  n2

... 1m    
  
...  2m     

 y2  A(x 2 )
... ...   ... 
  
...  nm    m 

A( x1  x 2 )  A qe  ( x1  x 2 )  A qe  x1  A qe  x 2  A( x1 )  A( x 2 )
A(  x1 )  A qe  (  x1 )    A qe ( x1 )    A( x1 )

Таким образом, мы показали, что так введенное отображение является линейным оператором,
действующим из X в Y. Найдем матрицу этого оператора:
  

   
A(e1 )  
... ...

  n1  n2

... 1m   1    
    
...  2m   0     


... ...   ...  ... 
    
...  nm   0    n1 

....................................................................
  

   
A(em )  
... ...

  n1  n2

... 1m      1m 
   

...  2m       2m 


... ...   ...  ... 
   

...  nm       nm 

Мы видим, что матрица этого оператора совпадает с матрицей A qe . Т.е., любая матрица вида n  m
является матрицей некоторого линейного оператора, действующего из X в Y.
Ясно, что если операторы А и В различны, то различны и соответствующие матрицы.
6.1 Необходимое и достаточное условие ортогональности вектора и подпространства.
Определение: Пусть Е – евклидово пространство, а F и G – любые два его подмножества. Множества F и
G называются ортогональными, если каждый элемент множества F ортогонален всем элементам
множества G ( FG ), если элемент X множества М ортогонален этому множеству, то Х – нулевой.
Лемма: Для того, чтобы вектор X из евклидова пространства Е был ортогонален некоторому
подпространству L этого пространства, необходимо и достаточно, чтобы он был ортогонален
всем векторам базиса подпространства L.
Доказательство:
1) Пусть xL – тогда он ортогонален всем векторам из L, и, в частности, базисным.
2) Пусть e1 , e2 ,..., ek – какой-либо базис L и скалярное произведение ( x, ei )  0 . Рассмотрим
k

произвольный вектор y , принадлежащий L: его можно представить в виде: y    i ei , но
i 1

 k
 k
( y, x )     i ei , x   ( i ei , x )  0 .
 i 1
 i 1

Следствие: Для того, чтобы два подпространства L1 и L2 евклидова пространства Е были
ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы каждый вектор некоторого базиса
подпространства L1 был ортогонален всем векторам какого–либо базиса L2.
6.2 Эквивалентные матрицы. Необходимое и достаточное условие эквивалентности.
Эквивалентные матрицы.

Две матрицы, А и В, одинаковых размеров, называются эквивалентными, если существуют две
невырожденные матрицы R и S, такие, что B  R  A  S (1).
Пример: Две матрицы, соответствующие одному и тому же оператору при различных выборах базисов в
линейных пространствах X и Y эквивалентны.
Ясно, что отношение, определенное на множестве всех матриц одного размера с помощью
вышеприведенного определения является отношением эквивалентности.
Теорема 8: Для того, чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентными,
необходимо и достаточно, чтобы они были одного ранга.
Доказательство:
1. Пусть А и В – две матрицы,, для которых имеет смысл A  B  C . Ранг произведения (матрицы С) не
выше ранга каждого из сомножителей.
 a11 a12

 ... ...
A   a i1 a i2

 ... ...

 a m1 a m2

 b11

 b 21
B   b31

 ...

 b n1

...
...
...
...
...

a13
...
a i3
...
a m3

b1k
b 2k
b3k
...
b nk

... a1n 

... ... 
,
... a in   (a ij )ij1,m
1,n

... ... 

... a mn 

...
...
...
...
...

b1s 

b 2s 
b3s   (b jk ) kj1,n
1,s

... 

b ns 

A  B  C  (c ik ) ik11,,ms
c ik 

a

ij

 b jk  a i1  b1k  a i 2  b 2 k ...a in  b nk

(2)

j1, n

c1k  a11b1k  a12b 2k ...a1nb nk 
c 2k  a 21b1k  a 22b 2k ...a 2nb nk 

.................................................
c mk  a m1b1k  a m2b 2k ...a mnb nk 

(3)

 c1k 
 a11 
 a12 
 a1n 
 
 
 
 
c
a
a
a 2n
2k
21
22
ck    , a1    , a 2    , a n   
...
...
...
...
 
 
 
 
c
a
a
a
 mk 
 m1 
 m2 
 mn 

ck  b1k  a1  b 2 k  a 2 ...b nk  a n

Мы видим, что k-ый столбец матрицы С является линейной комбинацией векторов столбцов матрицы А и
это выполняется для всех столбцов матрицы С, т.е. для всех k  1, s. Т.о. L ( c1 , c2 ,..., cs )  L ( a1 , a2 ,..., a n ) ,
т.е. L (c1 , c2 ,..., cs ) – подпространство линейного пространства L (a1 , a2 ,..., an ) .
Так как dim(L (a1 , a2 ,..., an ))  rA , dim(L (c1 , c2 ,..., cs ))  rc и так как размерность подпространства меньше
или равна размерности пространства, то ранг матрицы С меньше или равен рангу матрицы А.
В равенствах (2) зафиксируем индекс i и будем придавать k всевозможные значения от 1 до s. Тогда
получим систему равенств, аналогичную системе (3):
c i1  a i1  b11  a i 2  b 21 ...a in  b n1
c i 2  a i1  b12  a i 2  b 22 ...a in  b n 2
(4)
.................................................
c is  a i1  b1s  a i 2  b 2 s ...a in  b ns
Из равенств (4) видно, что i-я строка матрицы С является линейной комбинацией строк матрицы В для
всех i, а тогда линейная оболочка, натянутая на строки матрицы С, содержится в линейной оболочке,
натянутой на строки матрицы В, а тогда размерность этой линейной оболочки меньше или равна
размерности линейной оболочки векторов строк матрицы В, значит, ранг матрицы С меньше или равен
рангу матрицы В.

2. Ранг произведения матрицы А слева и справа на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу
матрицы А.( A  Q  C ). Т.е. ранг матрицы С равен рангу матрицы А.
Доказательство: Согласно доказанному в случае (1) r (C)  r (A) . Так как матрица Q – невырожденная, то
для нее существует Q 1: Q 1  C  A и в соответствии с доказанным в предыдущем утверждении
r (A)  r (C)  r (A)  r (C) .
3. Докажем, что если матрицы эквивалентны, то они имеют одинаковые ранги. По определению, А и В
эквивалентны, если существуют такие R и S, что B  R  A  S. Так как при умножении А слева на R и
справа на S получаются матрицы того же ранга, как доказано в пункте (2), ранг А равен рангу В.
4. Пусть матрицы А и В одинакового ранга. Докажем, что они эквивалентны. Рассмотрим A  (a ij ) ij11,,nm ,
r (A)  r .
Пусть X и Y – два линейных пространства, в которых выбраны базисы e1 , e2 ,..., em (базис X) и q1 , q 2 ,..., q n
(базис Y). Как известно, любая матрица вида n  m определяет некоторый линейный оператор,
действующий из X в Y.
Так как r – ранг матрицы А, то среди векторов A( e1 ), A( e2 ),..., A( em ) в точности r линейно независимых.
Не ограничивая общности, можно считать, что A( e1 ), A( e2 ),..., A( er ) – первые r векторов – линейно
независимы. Тогда все остальные через них линейно выражаются, и можно записать:
r

A(er1 )   cr1,j  A(ej ) 
j1

r

A(er2 )   cr2,j  A(ej )
j1

.................................. 

r

A(em )   cm,j  A(ej ) 
j1


(6)

Определим в пространстве X новый базис f1 , f 2 ,..., f m , следующим образом:

ek , k  1, r

.
r
fk  
ek   ckj ej , k  r  1, m
j1


(7)

Новый базис в пространстве Y следующим образом:
t 1  A ( f1 )

t 2  A( f 2 )
.
...............
t r  A( f r )
Векторы t 1 , t 2 ,..., t r , по условию, линейно независимы. Дополним их некоторыми векторами t r 1 ,..., t n до
базиса Y: t 1 , t 2 ,..., t r , t r 1 ,..., t n (8). Итак (7) и (8) – два новых базиса X и Y. Найдем матрицу оператора А в
этих базисах:
1

0
0

J 0
0

 ...

0

0
1
0
0
0
...
0

...
...
...
...
...
...
...

0
0
0
1
0
...
0

0
0
0
0
0
...
0

...
...
...
...
...
...
...

0

0
0

0
0

...

0

Итак, в новой паре базисов матрицей оператора А является матрица J. Матрица А изначально была
произвольной прямоугольной матрицей вида n  m, ранга r. Так как матрицы одного и того же оператора
в разных базисах эквивалентны, то этим показано, что любая прямоугольная матрица вида n  m ранга r
эквивалентна J. Так как мы имеем дело с отношением эквивалентности, этим показано, что любые две
матрицы А и В вида n  m и ранга r, будучи эквивалентны матрице J эквивалентны между собой.
7.1 Доказать, что ортогональная сумма является прямой суммой.

Определение: Пусть дано k подпространств евклидова пространства Е: L1 , L2 ,..., Lk . Сумма этих
подпространств называется ортогональной, если любые два Li , L j , i  j, ортогональны, и обозначается

L1  L2  L3 ...Lk  M .
Лемма: Ортогональная сумма ненулевых подпространств всегда является их прямой суммой.
Доказательство: Выберем в каждом из L1 , L2 ,..., Lk по ортонормированному базису:
e11 , e12 ,..., e1e1 

e21 , e22 ,..., e2e2  (1)

................... 
e k1 , e2k ,..., e kek 

Покажем, что (1) является базисом М.
В силу выбора базисов как ортонормированных система (1) ортогональна, следовательно, линейно
независима.
Берем любой x из М, x  x1  x2 ... x k ( x1  L1 , x2  L2 ,..., x k  Lk ). x – линейная комбинация векторов
системы (1). М – прямая сумма подпространств L1 , L2 ,..., Lk .
Следствие: Пусть евклидово пространство Е является ортогональной суммой своих подпространств
и пусть векторы x  x1  x2 ... x n , xi  Li и y  y1  y2 ... yn , yi  Li , i  1, n . Тогда скалярное
n

произведение определяется по формуле: ( x, y)   xi  yi .
i 1

Определение: Пусть F – произвольное непустое подмножество евклидова пространства Е. Обозначим
через F  {x  E, xF} – ортогональное дополнение множества F, очевидно, что F любого непустого
множества является подпространством.
В самом деле:
Пусть x1 , x2  F , y  F , 1 ,  2 R .
(1x1   2 x2 , y)  1 ( x1 , y)   2 ( x2 , y)  0 , следовательно, 1x1   2 x2  F .
7.2
Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
Пусть A: X  X, x  X и y  A( x) . Может оказаться, что векторы x и y коллинеарные. Число 
называется собственным значением, а ненулевой вектор x – собственным вектором линейного
оператора А, если они связаны соотношением: A( x)    x .
Если вектор x является собственным, соответствующим собственному значению , то для любого  –
элемента поля Р,   0, вектор   x также будет собственным вектором, соответствующим этому
собственному значению.
В самом деле, т.к. x  0 (т.к. он собственный) и т.к.   0, то вектор   x тоже будет отличным от нуля.
Кроме того, A(  x)    (A( x))    (  x)    (  x) .
Если векторы x1 и x 2 являются собственными, соответствующими собственному значению , то
ненулевой вектор 1 x1   2 x 2 также будет собственным вектором, соответствующим этому собственному
значению:
A(1x1   2 x 2 )  1  (A( x1 ))   2  (A( x 2 ))  1    x1   2    x 2  (1 x1   2 x 2 )
Рассмотрим множество X  всех собственных векторов, соответствующих собственному значению . Так
как нулевого вектора среди них нет, то множество X  не является подпространством линейного



пространства X, но X l  0 – является. Оно называется собственным подпространством линейного
оператора А, соответствующим собственному значению .
Рассмотрим нулевой оператор O: x  0 , тождественный оператор E: x  x и скалярный оператор
E: x    x .

Собственными векторами этих трех операторов будут все ненулевые векторы линейного пространства X.
Эти операторы имеют лишь по одному собственному значению (у нулевого – 0, 1– у второго,  – у
третьего). Они имеют лишь по одному собственному подпространству, совпадающему со всем линейным
пространством X.
Пример: Пусть A: X  X. В X выбрано подпространство L  X , тогда X  L  L , A  pr – оператор
проектирования.
Оператор проектирования имеет две совокупности собственных векторов.
1) Все векторы из области значений оператора проектирования (т.е. все ненулевые векторы из L)
2) Все векторы из области значения оператора проектирования E  pr .
Первой совокупности собственных векторов соответствует собственное значение   1, а второй –   0 ,
следовательно, оператор проектирования имеет по крайней мере 2 собственных подпространства. (имея 2
собственных значения).
Теорема 9: Система собственных векторов x1 , x2 ,..., x m линейного оператора А, соответствующих
попарно различным собственным значениям 1 ,  2 ,...,  m, линейно независима.
Доказательство: проведем индукцию по числу m векторов системы.
1. Пусть m=1, тогда система состоит из одного собственного вектора x1 , который по определению
отличен от нуля, а любой ненулевой вектор образует линейно независимую систему.
2. Пусть утверждение теоремы справедливо для любой системы векторов, содержащей m-1 векторов
линейного оператора А, соответствующих попарно различным собственным значениям и доказательство
линейной независимости системы x1 , x2 ,..., x m проведем от противного.
Предположим, что нашлись элементы поля Р 1 , 2 ,...,  m1 ,  m , не все равные 0, такие, что
1x1  2 x2 ... m1x m1   m x m  0 (1).
Не ограничивая общности, будем считать, что 1  0 . К обеим частям равенства (1) применим оператор А
и будем иметь:
A(1x1  2 x2 ... m1x m1   m x m )  A( 0)  0
11x1  2  2 x2 ... m1 m1x m1   m m x m  0 (2)
Умножим обе части равенства (1) на  m и из (2) вычтем полученный результат:
1 (1   m ) x1  2 ( 2   m ) x2 ... m1 ( m1   m ) x m1   m ( m   m ) x m  0 .
По индуктивному предположению, система векторов x1 , x2 ,..., x m1 линейно независима, следовательно,
все коэффициенты в этой нулевой линейной комбинации равны 0, и в частности, 1 (1   m ) x1. Но
1   m не равно нулю, следовательно, 1  0 , что противоречит нашему предположению и говорит о том,
что теорема справедлива.
Следствие: Любой линейный оператор, действующий в m-мерном линейном пространстве X не сможет
иметь более чем m различных собственных значений.

8.1 Теорема о разложении евклидова пространства в прямую сумму:E = L  L .

Теорема: Пусть Е – евклидово пространство, а L – произвольное его подпространство. Тогда Е можно
представить в виде: E  L  L .
Доказательство: В подпространствах L и L выберем ортонормированные базисы, пусть
e1 , e2 ,..., ek (1) – ортонормированный базис L .
q1 , q 2 ,..., q s (2) – ортонормированный базис L .
Рассмотрим e1 , e2 ,..., ek , q1 , q 2 ,..., q s (3)
Чтобы убедится в справедливости теоремы, достаточно показать, что система (3) – базис Е.
Система (3) – ортонормированна, и, как и всякая ортогональная система, линейно независима.
Осталось показать, что линейная оболочка векторов системы (3) совпадает со всем евклидовым
пространством Е.

Пусть это не так, тогда найдется вектор x  E \ L(e1 , e2 ,..., ek , q1 , q2 ,..., q ) , а тогда найдется и вектор

y  E \ L(e1 , e2 ,..., ek , q1 , q2 ,..., q ) , ортогональный каждому из векторов системы (3) .
Так как вектор y ортогонален ко всем векторам системы (3) то он, в частности, ортогонален всем
векторам системы (1), следовательно, он ортогонален ко всему подпространству L, то есть содержится в
L , так как y ортогонален ко всем векторам системы (3) то он, в частности, ортогонален всем векторам
системы (2), т.е. он ортогонален ко всему L , следовательно, он ортогонален себе ( y, y)  0 ,
следовательно, y  0 . Полученное противоречие показывает, что линейная оболочка векторов системы
(3) совпадает с Е и (3) – базис Е.
Пусть в евклидовом пространстве Е зафиксирована система векторов e1 , e2 ,..., ek , если ранг этой системы
равен размерности евклидова пространства Е и вектор y ортогонален ко всем векторам этой системы, то
этот вектор – нулевой. Имеет место и обратное утверждение:
Лемма: Если в евклидовом пространстве Е задана некоторая система векторов e1 , e2 ,..., ek и
единственным вектором, ортогональным ко всем векторам системы, является нулевой, то ранг
этой системы равен размерности евклидова пространства Е.
Доказательство: Пусть L  L(e1 , e2 ,..., ek ) , L  {0}, но с другой стороны, E  L  L  L  0  L ,

dim( L(e1 , e2 ,..., ek ))  dim E
8.2 Линейная независимость системы собственных векторов, соответствующих попарно различным
собственным значениям.
Теорема 9: Система собственных векторов x1 , x2 ,..., x m линейного оператора А, соответствующих
попарно различным собственным значениям 1 ,  2 ,...,  m, линейно независима.
Доказательство: проведем индукцию по числу m векторов системы.
1. Пусть m=1, тогда система состоит из одного собственного вектора x1 , который по определению
отличен от нуля, а любой ненулевой вектор образует линейно независимую систему.
2. Пусть утверждение теоремы справедливо для любой системы векторов, содержащей m-1 векторов
линейного оператора А, соответствующих попарно различным собственным значениям и доказательство
линейной независимости системы x1 , x2 ,..., x m проведем от противного.
Предположим, что нашлись элементы поля Р 1 , 2 ,...,  m1 ,  m , не все равные 0, такие, что
1x1  2 x2 ... m1x m1   m x m  0 (1).
Не ограничивая общности, будем считать, что 1  0 . К обеим частям равенства (1) применим оператор А
и будем иметь:
A(1x1  2 x2 ... m1x m1   m x m )  A( 0)  0
11x1  2  2 x2 ... m1 m1x m1   m m x m  0 (2)
Умножим обе части равенства (1) на  m и из (2) вычтем полученный результат:
1 (1   m ) x1  2 ( 2   m ) x2 ... m1 ( m1   m ) x m1   m ( m   m ) x m  0 .
По индуктивному предположению, система векторов x1 , x2 ,..., x m1 линейно независима, следовательно,
все коэффициенты в этой нулевой линейной комбинации равны 0, и в частности, 1 (1   m ) x1. Но
1   m не равно нулю, следовательно, 1  0 , что противоречит нашему предположению и говорит о том,
что теорема справедлива.
Следствие: Любой линейный оператор, действующий в m-мерном линейном пространстве X не сможет
иметь более чем m различных собственных значений.

9.1 Длины, углы и расстояния в евклидовом пространстве. Теоремы косинусов и Пифагора.
Длины, углы и расстояния.
Определение: Пусть Е – евклидово пространство, x – произвольное его элемент, тогда длиной вектора x
называется x   ( x, x ) . У каждого вектора из Е длина существует, причем по аксиоме 4 она
положительна для ненулевого вектора и равна нулю для 0 .

Для любого действительного числа  и любого вектора x из Е:

x   (x, x )    x
Определение: Для векторов x и y из Е углом между ними называется угол, определяемый
соотношением:
( x, y)
cos( x , y ) 
, 0  
xy
Рассмотрим произвольный треугольник в Е. Из теоремы косинусов вытекает, что:







2
2
x  y  x  y 
x  y  x  y 

 (1)

2
2
x

y

x

y

x  y  x  y 

В евклидовом пространстве Е длина стороны треугольника не превышает суммы двух длин других его
сторон, но не меньше абсолютной величины разности этих сторон.
Определение: Расстоянием  между векторами x и y из Е называется длина вектора x  y :
( x, y)  x  y (2).
Расстояние обладает следующими свойствами:
1) ( x, y)  ( y, x )
2) ( x, y)  0, x  y

( x, x)  0
3) x, y, z ( x, y)  ( x, z)  ( y, z) – неравенство треугольника.
Доказательство:
Свойства 1 и 2 вытекают из определения.
Свойство 3 получается если в первом уравнении системы (1) произвести замену: x  x  z , y  y  z
2

2

x y  x z  y z

2

Утверждение: Пусть в Е выбран ортонормированный базис e1 , e2 ,..., es .
s

Вектор x имеет разложение x    i ei , а вектор y :
i 1

s

y   i ei .
i 1

Тогда:
Длина вектора x вычисляется по формуле: x  (1 )2  ( 2 )2 ...(s )2 ,
А угол между векторами x и y :
cos ( x, y) 

11   22 ... ss
(1 )  ( 2 ) ...( s )2  (1 )2  ( 2 )2 ...(s )2
2

2

В силу неравенства Коши – Буняковского cos ( x, y)  1.
Пусть x , y – произвольные векторы пространства Е. Если считать их сторонами треугольника, то
естественно считать третьей стороной треугольника вектор x  y . Найдем длину x  y :
2

2

2

x  y  ( x  y, x  y)  ( x, x )  2( x, y)  ( y, y)  x  y  2 x  y  cos( x, y) - теорема косинусов.
2

2

2

Если треугольник прямоугольный, то cos( x, y) =0 и мы получаем теорему Пифагора: x  y  x  y .
9.2 Оператор простой структуры и его матрица.
Линейный оператор А, действующий в m-мерном линейном пространстве X называется оператором
простой структуры, если он имеет m линейно независимых собственных векторов.
Лемма: Операторы простой структуры, и только они в некотором базисе имеют диагональную
матрицу.
Доказательство:
1. Пусть оператор A: X  X – оператор простой структуры, т.е. dimX  m, и есть m линейно независимых
собственных векторов x1 , x2 ,..., x m.
Тогда:

A( x1 )    x1  0  x2 ...0  x m
A( x2 )  0  x1    x2 ...0  x m
, или, что то же самое,
...........................................
A( x m )  0  x1  0  x2 ...  x m

 


A X  
...





...


...  

...   .
... ... 

...  m 

2. Если оператор А в некотором базисе имеет диагональную матрицу A X , то базисные векторы
x1 , x2 ,..., x m этого базиса являются собственными векторами, соответствующими собственным значениям
1 ,  2 ,...,  m (не обязательно различным). Т.о. линейный оператор обладает m линейно независимыми
собственными векторами, следовательно, он является оператором простой структуры.
Пример: Рассмотрим матрицу
. Выясним, является ли эта матрица матрицей оператора простой структуры.
1. Найдем характеристический многочлен данной матрицы.
= -λ

= -λ(-λ3+λ)= λ2(λ2-1)

2. Найдем корни характеристического многочлена. λ1=0; λ2=0; λ3=1; λ4=-1.
Рассмотрим корень кратности два и найдём размерность подпространства, соответствующего данному
собственному числу. Получим матрицу

.Эта матрица имеет ранг равный трём, т.к.

максимальный ненулевой минор

имеет порядок три. Значит размерность собственного

подпространства, соответствующего собственному числу 0 равна одному. Т.е. геометрическая кратность
собственного числа 0 меньше его алгебраической кратности. Значит не существует базиса из собственных
векторов. Отсюда следует, что оператор, имеющий данную матрицу в некотором базисе, не будет
оператором простой структуры.
Пример: Рассмотрим матрицу
. Выясним, является ли эта матрица матицей оператора простой структуры.
1. Находим характеристический многочлен данной матрицы.
= -λ

-

= -λ(-λ3+6λ) – (λ2-6) – - (λ2-6) = (λ2-6)(λ2-1)

2. Приравняем характеристический многочлен к нулю и найдём его корни.
(λ2-6)(λ2-1)=0; λ= ; λ=- ; λ=1; λ=-1.
Т.к. корни разные, то существует базис из векторов, соответствующих этим собственным числам. Значит
оператор, имеющий данную матрицу в некотором базисе будет оператором простой структуры и его
матрица в базисе из собственных векторов имеет вид:
10.1

Изоморфизм евклидовых пространств.
Определение: Пусть Е и Е` – два евклидовых пространства. Они называются евклидово изоморфными,
если они изоморфны как линейные пространства и для любых двух векторов x, y из и их образов x', y' из
Е`: ( x, y)  ( x', y' ) .
Теорема: Для того, чтобы два евклидовых пространства были евклидово изоморфными, необходимо
и достаточно, чтобы они имели одинаковую размерность.
Доказательство:
(необходимость) Пусть пространства Е и Е` – евклидово изоморфны, тогда в соответствии с определением
евклидова изоморфизма они изоморфны как линейные пространства, а любые два линейных
пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую
размерность.
(достаточность) Пусть dim E  dim E' . Выберем e1 , e2 ,..., ek (1) – ортонормированный базис Е, и пусть
e'1 , e'2 ,..., e' k – ортонормированный базис Е`.
k

Возьмем произвольный вектор x  E. Так как система (1) – базис пространства Е, то x    i ei (3), а
i 1

k

образ x' будем искать по формуле x'    i e'i (4).
i 1

Легко видеть, что построенное нами правило является биективным отображением линейного
пространства Е в линейное пространство Е`, более того, оно является изоморфизмом между Е и Е` как
линейными пространствами.
k

k

i 1

i 1

Возьмем произвольные векторы x    i ei и y   i ei , а их образы вычислим по формуле (4):
k

k

x'    i e'i , y'    i e'i .
i 1

i 1

k

k

i 1

i 1

( x, y)    i i ( x', y' )    ii

( x, y)  ( x', y' )

Определение изоморфизма содержит требования равенства скалярных произведений ( , ) = (T( ), T( )),
где Т – линейный изоморфизм. Однако это преобразование равносильно другому =| T( )|.
Покажем это. Если (x,y) = ( T(x),T(y)), то (x,x) = (T(x), T(x))  |x|2 = | T(x)|2 |x| = | T(x)|. Если |x| = | T(x)|,
то |x-y| = | T(x-y)| => |x-y| =
| T(x) – T(y)| => |x-y|2 = | T(x) – T(y)|2= > (x-y)2 = ( T(x) – T(y))2 => |x|2 – 2(x,y) + |y|2 = | T(x)|2 – 2( T(x) –
T(y))2 + | T(y)|2 => -2(x,y) = -2( T( x), T(y)) т.к. по предположению |x| = | T(x)| => (x,y) = ( T(x), T(y)).
10.2
Характеристический многочлен.
Не всякий линейный оператор имеет по крайней мере один собственный вектор.
Примеры:
1. В качестве линейного пространства X возьмем множество всех многочленов степени меньшей или
равной n. Оператор дифференцирования – оператор, действующий из X в X. если только это не
константа, если f ( x)  const, то . Этот оператор не имеет собственных векторов, отличных от
многочленов нулевой степени.
2. Оператор А, действующий в пространстве V2 – радиус-векторов и осуществляющий поворот на
каждого из векторов на некоторый угол, отличный от , против часовой стрелки не имеет собственных
векторов.
Займемся исследованием вопроса о существовании собственных векторов оператора.

Прежде всего выведем уравнение, которому удовлетворяют все собственные значения  линейного
оператора , .
Пусть  – собственное значение, соответствующее собственному вектору x .
Тогда , (1)
По определению, собственный вектор отличен от , тогда из равенства (1) следует, что оператор –
вырожден. Т.о. собственные значения оператора А – это те и только те элементы  поля Р, для которых
оператор – вырожден.
Пусть – какой-либо базис линейного пространства X. – матрица оператора в этом базисе. Оператор
(E  A) – вырожден тогда, и только тогда, когда вырожденной является матрица , т.е. тогда, когда (2).
В самом деле, известен следующий критерий невырожденности. Оператор А, действующий в некотором
линейном пространстве, будет невырожденным, если определитель матрицы этого оператора отличен от
0.
Теорема 10: Числа , удовлетворяющие уравнению (2), не зависят от выбора базиса в линейном
пространстве X.
Доказательство: Пусть в X выбран еще один базис – и пусть –матрица линейного оператора в базисе f.
Пусть Q – матрица преобразования координат от базиса e к базису f.
Тогда, как известно, матрицы одного и того же оператора связаны соотношением: , Q – невырожденная
матрица, тогда
Т.о. числа , удовлетворяющие уравнению (2), не зависят от выбора базиса в линейном пространстве X.
Рассмотрим оператор A: X  X, , и в X задан базис e1 , e2 ,..., em , в котором матрица оператора А выглядит

    


 
следующим образом: A e   
 ...
...

  m1  m2

...  1m 

...   m 
.
... ... 

...  mm 

E  A e является многочленом степени m относительно , т.е. можно записать:

E  A e   0  1   2 2 ... m m.
   11  12 ...  1m
 21    22 ...  2 m
E  A e 
...
...
...
...
 m1
 m2 ...    mm
Легко видеть, что наивысшая степень  достигается только при умножении элементов главной
диагонали, откуда видно, что коэффициент при m равен 1.
Определение: Функция f ()   0  1   2 2 ... m1m1  m (3) называется характеристическим
многочленом оператора. Таким образом, с каждым линейным оператором А связывается
характеристический многочлен. Верно и обратное, что всякий многочлен вида (3) является
характеристическим многочленом некоторого оператора.
1. Пусть f ()   0  1  2 .

  
Рассмотрим A e  
 

E  A e 

  
 – эта матрица определяет линейный оператор. Посчитаем
 

  1  0
  0   1  2 .
1


   2 1   0 


0
0 .
2. f()   0  1   2    , Ae   1
 0
1
0 

2

3

   2  1  0
E  Ae   1

0   0  1   2 2  3
0
1 
3. f ()   0  1   2 2 ... m1m1  m

   m1  m2 ...

 1
0
0

Ae   0
1
0
 ...
... ...

0
...
 0

 1m1 1

(1) m  0 

...
0

...
0


...
...

1
0

Для того, чтобы элемент  поля Р был собственным значением оператора А, необходимо и достаточно,
чтобы он был корнем характеристического многочлена, т.е. удовлетворял уравнению:
 0  1   2 2 ... m1m1  m  0 (4). Уравнение (4) называется характеристическим уравнением. Не
в любом поле Р любой многочлен с коэффициентами из Р имеет хотя бы 1 корень.
Пример: 2  1 в поле R корней не имеет.
11.1
Наклонная, перпендикуляр и проекция в евклидовом пространстве.
Рассмотрим сначала эти понятия в пространстве радиус–векторов, закрепленных в точке О (V3). Пусть
дана плоскость L. Выберем на плоскости точку О и рассмотрим множество всех радиус–векторов,
закрепленных в этой точке.
Из некоторой точки М опустим на эту плоскость перпендикуляр. М L– основание этого перпендикуляра.
Построение перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость L сводится к разложению вектора OM
в сумму:
OM  OML  ML M (1), где OM L  L, M L M  L.
Так как из точки М можно провести только один перпендикуляр, на плоскость L, то такое разложение
существует и единственно.
Пусть теперь Е – произвольное евклидово пространство, и пусть L – некоторое его подпространство.
Возьмем произвольный вектор f  E и представим его в виде суммы: f  g  h (2), где
g  L, h  L .
Определение: Вектор g в разложении (2) называется проекцией вектора f на подпространство L, вектор

h

называется перпендикуляром, опущенным из f на L, а сам вектор f называется наклонной к
подпространству L.
Заметим также, что условие h  L эквивалентно условию h  L , а так как евклидово пространство Е
представимо в виде E  L  L  L  L , то разложение (2) существует и единственно. Векторы g и h в
2

2

2

разложении (2) ортогональны, и тогда по теореме Пифагора f  g  h , откуда вытекает, что
f



h

, т.е. длина наклонной не меньше длины перпендикуляра.

f



h

тогда и только

тогда, когда f  L. Рассмотрим введенное понятия наклонной, перпендикуляра и проекции с
алгебраической точки зрения: при фиксированном подпространстве L любой вектор f евклидова
пространства Е однозначно определяет по отношению к этому подпространству две своих компоненты, а
именно: компоненту g , которая называется проекцией и компоненту h , называемую перпендикуляром,
следовательно, можно считать, что разложение (2) определяет две функции g  prL f и h  ort L f .
Аргументами этих функций служат все векторы из Е, значением функции g 
вектор из L, а значением функции h  ort L f является вектор, принадлежащий L .

prL f

является

Так как  L   L , то проекция вектора prL f  ort L f , а ort L f  prL f . Возьмем произвольные






векторы x и y , принадлежащие Е.
x  prL x  ort L x

y  prL y  ortL y
x  y  ( prL x  prL y)  (ort L x  ort L y)
x    prL x    ort L x

Откуда следует, что
prL (x  y)  prL x  prL y
 (7)
prL (   x)    prL x


Аналогично выводятся соответствующие выражения для функции ort:
ort L(x  y)  ort L x  ort L y
 (8)
ort L(   x)    ort L x

Заметим, что для любого вектора z , принадлежащего L, ort z  0 . Из первого равенства системы (8)
следует, что z  L , ort L ( x  z)  ort L ( x ) следовательно, значение функции орт не меняется, если к
аргументу прибавить любой вектор из подпространства L, в частности, если взять в качестве z –
prL x , то получим ort L (ort L x)  ort L x , аналогично ortL (ortL x )  ortL x .
Пусть теперь подпространство L является ортогональной суммой L1 и L2. Произвольный вектор x
евклидова пространства Е можно представить в виде: x  prL x  prL x  ( x  prL x  prL x ), где
1

2

1

2

prL1 x  prL2 x  a  L1  L2  L , а x  prL1 x  prL2 x  b  L  L  L .

1


2



Таким образом, prL1L2 x  prL1 x  prL2 x .
Перпендикуляр, опущенный из вектора x на подпространство L1  L2 , равен одному из выражений

b  x  prL1 x  prL2 x  ort L1 x  prL2 x  ort L2 x  prL1 x .
Если x  L1 , то ort L1L2 x  ort L2 x .
11.2 Алгебраически замкнутые поля. Основная теорема алгебры. Следствие.
Определение: Поле Р называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен с коэффициентами
из поля Р имеет хотя бы один корень, принадлежащий этому полю. Т.о., если линейный оператор
действует в X над алгебраически замкнутым полем Р, то он имеет хотя бы один собственный вектор.
Теорема : Основная теорема алгебры.
Поле C алгебраически замкнуто, т.е., другими словами, каждый многочлен с комплексными
коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.
Следствие: Любой линейный оператор, действующий в комплексном линейном пространстве, имеет
хотя бы один собственный вектор.
Доказательство: По основной теореме алгебры, оператор А имеет хотя бы одно собственное значение ,
откуда и следует утверждение следствия.
12.1 Унитарные пространства.
Определение: Комплексное линейное пространство U называется унитарным, если любой паре векторов
x, y из U поставлено в соответствие комплексное число ( x, y) , называемое скалярным произведением,
причем выполнены следующие аксиомы:
1) ( x, y)  ( y, x )
2) (  x, y)    ( x, y)
3) ( x  y, z)  ( x, z)  ( y, z)
4) ( x, x )  0

 0,0  0

Примером унитарного пространства может служить Сn (арифметическое пространство n-мерных
векторов), если для векторов x  (1 ,  2 ,...,  n ) и y  (1, 2 ,..., n ) скалярное произведение выполняется по
формуле:
n

( x, y)    i  i
i 1

В унитарном пространстве U, так же, как и в вещественном, вводится понятие длины: x   ( x, x ) .
У любого ненулевого вектора длина больше 0, а длина нулевого вектора равна 0.
Для произвольного комплексного числа  и любого вектора, принадлежащего U   x    x . Также, как
и в Rn, в Сn выполняется неравенство Коши–Буняковского: ( x, y)  ( x. x )  ( y, y) .
12.2 Инвариантное подпространство.
Оператор А действует в комплексном линейном пространстве X.
Определение: Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным по отношению к
оператору А, если (x  L)(A( x)  L) . Нулевое подпространство и все пространство X являются
инвариантными относительно любого линейного оператора, действующего в X. Эти подпространства
называются тривиальными инвариантными подпространствами.
Примеры:
1. Пусть L  X , X  L  L . Рассмотрим A  pr: X  X , L – инвариантно относительно этого оператора.
2. Пусть A: X  X, N A – ядро оператора, TA – образ этого оператора, X  N A  TA , N A и TA –
инвариантны относительно А. Эти подпространства ( N A и TA ) тривиальны тогда, и только тогда, когда
оператор А либо невырожден, либо нулевой.
3. Для любого оператора A: X  X , любое его собственное подпространство является инвариантным
относительно этого оператора.
Так как в комплексном линейном пространстве любой оператор имеет хотя бы один собственный вектор,
то каждый оператор в этом пространстве имеет хотя бы одно не тривиальное инвариантное
подпространство.
Пусть dimX  m, L  X , dimL  n , и пусть L – инвариантное подпространство. Выберем в L базис
e1 , e2 ,..., en и дополним его до базиса X векторами en1 , en2 ,..., em . Построим матрицу оператора А в этом
базисе:
A( e1 )   11 e1   21 e2 ... n1 e n  0  e n1 ...0  e m
A( e2 )   12 e1   22 e2 ... n 2 e n  0  e n1 ...0  e m
.....................................................................
A( e n )   1n e1   2 n e2 ... nn e n  0  e n1 ...0  e m
A( e n1 )   1n1 e1   2 n1 e2 ... nn1 e n   n1n1  e n1 ... mn1  e m
............................................................................................
A( e m )   1m e1   2 m e2 ... nm e n   n1m  e n1 ... mm  e m
    

    
 ...
...

  n1  n2
Ae  




 
 ...
...


 
 A11
Ae  
 A 21

... 1n
...  2n
... ...
...  nn
... 
... 
... ...
... 

 1n 1
1n  2
 2n 1
 2n  2
...
...
 nn 1
 nn  2
 n 1n 1  n 1n  2
 n  2n 1  n  2n  2
...
...
 mn 1
 mn  2

A12 
 A11
 , A 21  0, A e  
A 22 
 0

A12 

A 22 

...  1m 

...  2m 
...
... 

...  nm 
...  n 1m 

...  n  2m 
...
... 

...  mm 

Пусть линейное пространство представимо в виде прямой суммы X  L  M и L, M – инвариантны
относительно оператора А. В этом случае говорят, что X разложимо в прямую сумму своих
инвариантных подпространств.
Выберем e1 , e2 ,..., en – базис L, en1 , en2 ,..., em – базис M. В этом случае матрица оператора имеет вид:
 A11
Ae  
 0

0 .

A 22 

Определение: Пусть A: X  X, L – инвариантно относительно А. Оператор A L , действующий на
инвариантном подпространстве L называется индуцированным оператором, порожденным оператором А,
если (x  X)(A L ( x)  A( x)) .
Так как A L имеет по крайней мере, один собственный вектор, и A L совпадает с оператором А на
подпространстве L, то любой линейный оператор в каждом инвариантном подпространстве имеет хотя
бы один собственный вектор.
13.1
Действия над матрицами. Определители. Линейные уравнения.
Пусть М – произвольное множество. Под матрицей размера m  n мы будем понимать прямоугольную
таблицу A, составленную из элементов множества M:
 a11 a12 ... a1n 


a 21 a 22 ... a 2n 
i 1,m

A

a
M
ij
j1,n
...
... ... ... 


 a m1 a m2 ... a mn 

 

Если m=n, то матрицу A называют квадратной.
Если в М определена операция сложения, то сложение можно определить и на множестве матриц вида
m  n:

A  B  (a ij  b ij )ij11,,mn (1)
Если множество М ассоциативно, то ассоциативным будет и сложение матриц.
Если сложение в М коммутативно, то коммутативным будет и соответствующее множество матриц.
Если в множестве М есть нейтральный элемент 0, то в множестве матриц вида m  n также будет
нейтральный элемент.
Если в множестве М для каждого элемента существует противоположный, то и в множестве матриц с
введенной операцией сложения существует противоположный.
Таким образом, если множество M,"" – абелева группа, то множество всех матриц вида m  n с
операцией сложения, определенной по формуле (1) также является абелевой группой.
Пусть на М определена еще операция умножения и М – поле. Тогда для любого числа ,
принадлежащего М и любой матрицы А вида m  n можно определить умножение матрицы на число.

  A  ( a ij )ij11,,mn (2)
Легко проверить, что помимо четырех аксиом абелевой группы, которые выполняются на множестве всех
матриц вида m  n , выполняются также следующие свойства:
(  M)(A, B)(  ( A  B)  A  B)

(,   M)(A)(  (  A)  (  )  A)
(,   M )(A )((  )  A  A  A)
(A )(1  A  A )

Относительно введенных операций (1) и (2) множество всех матриц является линейным пространством.
Умножение матриц.

 a11

a 21
Пусть даны матрица A  
 ...

 a m1

... a1n 
 b11


... a 2n 
b 21
вида m  n и матрица B  
 ...
... ... 


... a mn 
 b n1

a12
a 22
...
a m2

Тогда произведением матриц будет матрица вида m  k и обозначаемая

b12
b 22
...
b n2

... b1k 

... b 2k 
вида n  k .
... ... 

... b nk 

  , где коэффициенты cij

A  B  c ij

i 1,m
j1,k

вычисляются по формулам:
c11  a 11  b11  a 12  b 21  a 13  b 31 ... a 1n  b n1

(1строка) c12  a11  b12  a12  b 22  a13  b 23 ... a1n  b n2


.........................................................

c1k  a11  b1k  a 12  b 2k  a 13  b 3k ... a 1n  b nk
c 21  a 21  b11  a 22  b 21  a 23  b 31 ... a 2 n  b n1

(2 строка) c 22  a 21  b12  a 22  b 22  a 23  b 23 ... a 2n  b n2


.........................................................

c 2 k  a 21  b1k  a 22  b 2 k  a 23  b 3k ... a 2 n  b nk

............................................................................
c m1  a m1  b11  a m2  b 21  a m3  b 31 ... a mn  b n1
c  a  b  a  b  a  b ... a  b
 m2
m1
12
m2
22
m3
23
mn
n2

.........................................................

c mk  a m1  b1k  a m2  b 2 k  a m3  b 3k ... a mn  b nk

Умножение матриц вида m  n на матрицы вида n  k не коммутативно.
В случае, когда для матиц А, В, С имеет смысл A  B и B  C, то выполняется ассоциативность.
Рассмотрим множество квадратных матриц порядка n. В этом множестве определены операции
сложения и умножения. Относительно этих операций множество квадратных матриц образует кольцо.
Пусть

 a11

a 21
A  
...

 a n1

a12
a 22
...
a n2

1
... a1n 

,
0
... a 2n 
0
E

... ... 


 ...
... a nn 

0

0
1
0
...
0

0
0
1
...
0

...
...
...
...
...

0

0 .
0

...

1

A E  E A  A

Сложение и умножение связаны дистрибутивными законами:
A  ( B  C)  A  B  A  C

( A  B)  C  A  C  B  C

Рассмотрим матричное уравнение A  X  B. Если бы для матрицы А существовала матрица A 1 , такая
что A  A 1  A 1  A  E , то умножая слева обе части этого матричного уравнения на A 1 , мы бы
получили:
A 1  ( A  X)  A 1  B
( A 1  A )  X  A 1  B
E  X  X  A 1  B
Пусть Х – произвольная квадратная матрица порядка n, положим по определению X 0  E , так как
умножение X  X всегда определено, и в результате получается также матрица порядка n, то можно
говорить о возведении в степень X n  X  X...X, n  N  {0}.

Для степеней имеет место соотношения: X n  X m  X nm ,  X n   X nm .
m

В более общем случае для любых двух квадратных матриц одного и того же порядка, если A  B  B  A ,
то ( A  B)n  A n  Bn .
Рассмотрим множество всех многочленов всех степеней с коэффициентами из поля Р. Известно, что в
множестве всех многочленов P[x] определены операции умножения и сложения:
Если

f ( x )  a 0  a1  x...a n  x n
g( x )  b 0  b1  x... b m  x m
Тогда

, n  m,

f ( x)  g( x)  c0  c1  x...c n  x n , ci  a i  b i , i  1, m , причем если m  n , то b m1 ...  b n  0 .
f ( x)  g( x)  d 0  d1  x..d n m  x nm , d i 

a

j k i

j

 bk .

Множество P[x] относительно таким образом введенных операций является кольцом.
Пусть f ( x) – произвольный многочлен, а А – произвольная квадратная матрица, тогда рассмотрим
выражение: f ( A )  a 0  E  a1  A  a 2  A 2 ...a n  A n (2). Выражение (2) называется матричным
многочленом. f ( A ) – матрица того же порядка, что и А. Если любому многочлену f ( x) поставить в
соответствие матричный многочлен f ( A ) , то получим множество всех матричных многочленов P[A],
поскольку P[x] является коммутативным кольцом с единицей, то и множество P[A] также является
коммутативным кольцом с единицей.
13.2 Операторный многочлен.
Пусть линейный оператор А действует в комплексном линейном пространстве X и пусть
( z)   0  1 z... p z p (1) – произвольный многочлен над полем комплексных чисел. Рассмотрим
линейный оператор:
(A)   0 E  1A   2 A 2 ... p A p (2) – этот оператор (A) тоже действует в X. Определение: Оператор
(2) называется операторным многочленом от оператора А. Пусть Р – произвольное поле. Рассмотрим
множество P[ z] всевозможных многочленов от одной переменной с коэффициентами из поля Р. Как
известно, в P[ z] можно определить операцию сложения f ( z)  g( z) , умножения f ( z)  g( z) и относительно
этих операций множество P[ z] будет являться коммутативным кольцом с единицей.Пусть P  C – поле
комплексных чисел. Тогда C[ z] – множество всех многочленов от одной переменной с комплексными
коэффициентами. Зафиксируем некоторый оператор A: X  X и каждому многочлену f ( z)  C[ z]
поставим в соответствие операторный многочлен f (A) . Мы получим множество всех операторных
многочленов, соответствующих оператору А и это множество также является коммутативным кольцом с
единицей. В этом кольце в частности выполняется равенство:
(A)  A  A  (A) Лемма 1: Пусть линейный оператор А действует из X в X, ( z) – некоторый
многочлен с комплексными коэффициентами, (A) – операторный многочлен и пусть T – область
значений операторного многочлена (A) .
Область значений T является подпространством линейного пространства X, инвариантным
относительно оператора А.
Доказательство: Пусть вектор y  T , это означает, что существует вектор x  X, такой, что y  (A)( x) ,
проверим, будет ли A( y)  T .
A( y)  A((A)( x))  (A)(A( x))  A( y) T
Лемма 2: Пусть линейный оператор А действует из X в X, ( z) – некоторый многочлен с
комплексными коэффициентами, (A) – операторный многочлен и пусть N  – ядро операторного
многочлена является подпространством линейного пространства X, инвариантного относительно
оператора А.
Доказательство:
x  N   (A)( x)  0, A((A)( x))  A( 0)  0 

(A)(A( x))  0  A( x)  N 
Лемма 3: Пусть линейный оператор A: X  X, ( z)   0  1 z... n z n – произвольный многочлен с
комплексными коэффициентами. Если собственное значение оператора А является корнем многочлена

( z) , то все собственные векторы оператора А, соответствующие этому собственному значению,
принадлежат ядру операторного многочлена (A) .

A( z)    z, ()  0  (A)( z)  0, z  N 
Доказательство: (A)   0 E  1A   2 A 2 ... n A n
A( x)    x

A 2 ( x)  2  x
,
...................
A n ( x)  n  x
тогда (A)( x)  ( 0 E  1A   2 A 2 ... n A n )( x) 
  0 x  1x   2 2 x... n n x  x  ( 0  1 ... n n )  0
Лемма 4: Пусть линейный оператор A: X  X ( z)   0  1 z... n z n – произвольный многочлен с
комплексными коэффициентами. Если собственное значение оператора А не является корнем
многочлена ( z) , то все собственные векторы оператора А, соответствующие этому собственному
значению, принадлежат образу операторного многочлена (A) .
A( x)    x, ()  0  x T

Доказательство (A)( x)  ()  x, ()  0  x 

1
(A)( x),
(  )

 x 
x  ( A)
  x  T
 (  ) 
14.1 Определители n-го порядка.
Пусть дана матрица
 a11

a 21
A  
...

 a n1

a12
a 22
...
a n2

... a1n 

,
... a 2n 
 (a ij ) ij1,n
1,n
... ... 

... a nn 

причем a ij  P .

Определение: Определителем n-го порядка

a11 a12
a 21 a 22
A  det A 
... ...
a n1 a n 2

... a1n
... a 2 n
... ...
... a nn

называется алгебраическая сумма n!

слагаемых, каждое из которых является произведением n сомножителей, взятых по одному из каждой
строки и каждого столбца матрицы А. Знак перед слагаемым определяется по правилу знаков:
Определение: Пусть 1 ,  2 , 3 ,...,  i ,...,  j ,...,  n – произвольная перестановка чисел 1,2,3...n. Говорят, что
элементы  i и  j образуют инверсию (нарушение порядка), если i  j , а  i   j . Перестановка

1 ,  2 , 3 ,...,  n чисел 1,2,3...n называется четной, если число инверсий, образованных ее элементами,
четно, в противном случае она называется нечетной.
Чтобы определить знак перед слагаемым, нужно расположить сомножители, в него входящие, в порядке
возрастания первых индексов и рассмотреть перестановку, образованную вторыми индексами. Если эта
перестановка четная, то ставим +, если нечетная, то –.
Определение: Рассмотрим перестановку:
A  (1 ,  2 ,...,  i1 ,  i ,  i1 ,...,  j1 ,  j ,  j1 ,...,  n ) .
Поменяем местами  i и  j, получим перестановку:
B  (1 ,  2 ,...,  i1 ,  j ,  i1 ,...,  j1 ,  i ,  j1 ,...,  n ) .

Говорят, что перестановка В получается из А транспозицией элементов  i и  j .

Утверждение: Всякая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.
Доказательство: Частный случай: транспозиция соседних элементов меняет четность перестановки.

A  (1 ,  2 ,...,  i1 ,  i ,  i1 ,  i2 ,...,  n )
B  (1 ,  2 ,...,  i1 ,  i1 ,  i ,  i2 ,...,  n )

Все элементы перестановок А и В, кроме  i и  i1, образуют одни и те же инверсии. Элемент  i с
элементами 1 ,  2 ,...,  i1 и  i2 ,...,  n в перестановках А и В образует одни и те же инверсии. Элемент
 i1 с элементами 1 ,  2 ,...,  i1 и  i2 ,...,  n в перестановках А и В образует одни и те же инверсии. Если
элементы  i и  i1 в перестановке А не образовывали инверсии, то в В – образуют, если в А –
образовывали, то в В уже не будут образовывать. Таким образом, в результате транспозиции соседних
элементов число инверсий либо увеличилось, либо уменьшилось на единицу. Четность поменялась.
Общий случай. Чтобы совершить транспозицию двух произвольных элементов перестановки, будем
последовательно переставлять соседние элементы. Для того, чтобы поменять местами элементы  i и
, сначала k раз меняем элемент  i  k с  ik 1,  ik2 ,  i  k 3 , ...,
 i , затем k 1 раз меняем  i до ik . Таким образом, перестановка совершается 2k1 раз. Четность
меняется на противоположную.

 i k

Утверждение: Рассмотрим все перестановки n символов 1,2,3,...,n. Число четных перестановок равно
числу нечетных перестановок и равно

n!
.
2

Доказательство: Выпишем все четные перестановки A1,A2,. ,Ak и зададим отображение с нечетными по правилу:
A  (1 ,  2 , 3 ,...,  n )  B  ( 2 , 1 , 3 ,...,  n ) .
Все перестановки B1, B2 ,..., Bk являются нечетными согласно предыдущей теореме.
Указанное нами отображение является биекцией множества всех четных перестановок на множество
всех нечетных перестановок, в самом деле, по указанному правилу каждой четной перестановке ставится
в соответствие единственная нечетная, т.е. это отображение, очевидно, инъективно: A i  A j  Bi  B j .
Указанное отображение сюрьективно, в самом деле, каждая нечетная перестановка В является образом
той четной перестановки А, которая получается из В заменой в В местами первого и второго символов,
следовательно, отображение биективно, следовательно, число четных перестановок равно числу
нечетных равно n ! .
2

Определение: Всякое биективное отображение множества на себя называется подстановкой.
Подстановку, заданную на множестве 1,2,3,...,n удобно записывать виде:  1 2 ... n  или     ...


 1  2 ...  n 

 



 n  , где

...  n 

первая и вторая строчки – подстановки.
Подстановка определяется с точностью до расположения столбцов: если в подстановке поменять
местами любые два столбца, то получится та же подстановка.
Определение: Подстановка A   1

 

2 ... n  называется четной, если перестановки, записанные в

 2 ...  n 

первой и второй строчках либо обе четные, либо обе нечетные. В противном случае подстановка
называется нечетной. Четность подстановки не изменится, если поменять в ней любые два столбца,
следовательно, число четных подстановок равно числу нечетных, равно n ! .
2

Теперь правило знаков в определении определителя можно сформулировать так:

a 11  a 22 ...a nn

– произведение n сомножителей, взятых по одному из различных строчек

1, 2,. ,n и различных столбцов 1 , 2 ,...,  n . Рассмотрим подстановку

слагаемым ставится знак +, если нечетная, то –.

   2 ...  n 
A 

 1  2 ...  n 

. Если она четная, то перед

Пример:
 a11

1) Пусть дана матрица A   a 21
 ...

 a n1

a12
a 22
...
a n2

...
...
...
...

a1n 

a 2n 
, тогда через A T обозначим

...

a nn 

транспонированную матрицу:

AT

 a11

a12

 ...

 a1n

a 21
a 22
...
a 2n

...
...
...
...

a n1 

a n2 
...  . Докажем, что определитель

a nn 

A T равен определителю А. (

A  A T ).
Доказательство: Рассмотрим слагаемое a  a11 a 22 ...a nn входящее в det A. Элемент а является
произведением сомножителей, принадлежащих разным строкам и столбцам матрицы А, и,
следовательно, разным строкам и столбцам матрицы A T , следовательно, каждый элемент detA является
слагаемым и в detAT и наоборот. Знак элемента а в определителе det A определяется четностью подстановки
 1

 

2
2

...
...

n 

n

, а в det A

T

 1
 1

– четностью подстановки 

2
2

...
...

n 
 .
n 

Но эти две подстановки одновременно либо четные либо нечетные.
2) Если в определителе все элементы какой-либо, скажем i-ой строки равны 0, то этот определитель
равен 0.
Доказательство: В самом деле, по определению определителя все элементы нулевой строки будут
входить в каждое слагаемое, из которых состоит определитель, следовательно, определитель есть сумма
n! нулей.
3) Если в определителе поменять местами i и j строчки, то его значение изменится на противоположный.
В самом деле, пусть

A' получена из матрицы а заменой двух строк: i и j. Все слагаемые вида

a  a11 a 2 2 ... a n n

входят и в определитель матрицы А и в определитель матрицы A' , знак

 1 2 ... i ... j ... n 
перед этим слагаемым определяется с помощью подстановки: 
 , а знак перед этим же
 1   ...  i ...  j ...  n 

слагаемым в

A' определяется с помощью подстановки

 1 2 ... j ... i ... n  . Эти подстановки различной четности.


     ...  i ...  j ...  n 

14.2 Теорема о вхождении инвариантного подпространства в ядро операторного многочлена φ k(A).
Теорема : Пусть линейный оператор A: X  X, L – произвольное подпространство линейного
пространства X, инвариантное относительно оператора А. Если все собственные значения оператора,
индуцированного оператором А на подпространство L являются корнями многочлена ( z) , то
подпространство L содержится в ядре операторного многочлена  k (A) для всех достаточно больших
k.
(x  L)(A( x)    x)& ()  0  L  N  k ( A )
Доказательство:
1. Пусть T1 – область значений оператора, индуцированного на подпространство L операторным
многочленом (A) , т.е. T1  (A)( L) . Оператор (A) вырожден на подпространстве L, т.к. если x –

собственный вектор оператора А, принадлежащий L, т.е. A( x)   1  x , то, по условию, ()  0 , а тогда,
по лемме 3 x  N ( A ) . Т.о., существуют ненулевые векторы x , принадлежащие ядру оператора (A) , а
тогда T1 содержится в L, потому что (A)( L) инвариантно относительно оператора А (по лемме 1), и
dim T1  dim L.
2. T1 является подпространством линейного пространства L, если это подпространство нулевое, то
доказывать нечего, т.к. в этом случае ( A(L))  0 , а тогда L  N ( A ) , k=1.
Пусть T1 – ненулевое. Согласно лемме 1, T1 (равное (A)( L) ) является инвариантным относительно
оператора A: L  L. По следствию из основной теоремы алгебры, оператор А, действующий из T1 в T1
имеет, по крайней мере, одно собственное значение  2 , а так как характеристический многочлен
индуцированного оператора A: T1  T1 , является делителем характеристического многочлена
порождающего оператора A: L  L , то  2 , будучи собственным значением последнего, является корнем
многочлена ( z) , т.е. ( 2 )  0 , а тогда индуцированный оператор (A) , действующий из T1 в T1 ,
вырожден (по лемме 3) и тогда T2  (A)(T1 )  T1 и dim T2  dim T1 . Имеем последовательность:
T2  T1  L , где T1  (A)( L) , T2   2 (A)( L)
Продолжая рассуждение в том же духе, получим последовательность:
Tk  Tk 1 ...  T2  T1  L. Так как dimTk не может бесконечно уменьшатся с ростом k, то существует k
такое, что Tk – нулевое подпространство, а тогда  k (A)( L)  Tk  {0} , а тогда это и означает, что
L  N k (A) .
Теорема 14: Любой линейный оператор А, действующий в m-мерном комплексном пространстве X,
имеет по крайней мере одно инвариантное подпространство размерности m-1.
Доказательство: Т.к. линейное пространство X рассматривается над полем комплексных чисел, то по
основной теореме алгебры этот линейный оператор имеет по крайней мере один собственный вектор
x  0 . Пусть этот вектор соответствует собственному значению , т.е. A( x)    x . Рассмотрим
операторный многочлен A  E  f (A) , соответствующий многочлену f ( z)    z. По лемме 1, область
значений операторного многочлена f (A)  A  E , которую мы обозначили T , является
подпространством, инвариантным относительно оператора А. По лемме 3 оператор f (A)  A  E
вырожден, следовательно dimT  m .
Пусть L – произвольное подпространство линейного пространства X, имеющее размерность dimL  m 1
и содержащее T в себе в качестве подпространства.
Покажем, что пространство L – искомое, т.е., что оно инвариантно относительно А. Рассмотрим
произвольный вектор x  L . ( A  E)( x)  x1 T  L , но с другой стороны,

(A  E)( x)  A( x)    x  x1  L , где   x  L  A( x)  x1    x  L  L – инвариантно относительно
А.
15.1 Ранг матрицы. Теорема: базисные строки образуют базу векторов-строк.
Линейная зависимость и определители.
Пусть дана прямоугольная матрица вида m  n :
 a11

a 21
A  
...

 a m1

a12
a 22
...
a m2

... a1n 

... a 2n 
 a ij
... ... 

... a mn 

 

i 1,m

. Если матрица А имеет не только нулевые элементы, то наивысший порядок

j1,n

отличных от нуля миноров матрицы А называется рангом матрицы ( r( A ) ).
Каждый минор порядка r, отличный от нуля называется базисным минором, а строки и столбцы,
захваченные базисным минором, называются базисными.
Теорема: Все базисные строки образуют базу векторов строк матрицы А.

Доказательство: Нужно показать, что базисные строки линейно независимы и любая строка матрицы
через них линейно выражается.
1) Линейная независимость.
Базисный минор расположен на строках с номерами 1 ,  2 ,...,  r . Если бы эти строки были линейно
зависимы, то и части этих строк, входящие в определитель, также были бы линейно зависимы, что
невыполнимо, так как базисный минор, по определению, отличен от 0.
2) Докажем теперь, что любая строка определителя линейно выражается через базисные строки.
Доказательство будем проводить от противного.
Предположим, что в матрице А нашлась строка, не принадлежащая к базисным, и не выражающаяся
линейно через них. Пусть эта строка имеет номер  r1 , тогда в арифметическом пространстве n-мерных
векторов нашлись векторы 1 ,  2 ,...,  r ,  r1, образующие линейно независимую систему. По теореме о
расширении до базиса их можно дописать векторами 1 ,...,  nr1 до базиса всего пространства. Из этих
базисных векторов построим матрицу B и вычислим ее определитель. Так как все строки, входящие в det
B, являются базисными det B отличен от нуля, но с другой стороны, по теореме Лапласа, этот
определитель равен сумме произведений всевозможных миноров порядка r  1, расположенных в
строках 1 ,  2 ,...,  r ,  r1 на их алгебраические дополнения. Но эти строки являются строками матрицы А
и , так как ранг матрицы А равен r, все миноры, расположенные на этих r+1 строках, равны 0, а тогда и
сам det B равен 0. Полученное противоречие показывает, что любая строка матрицы А представляется в
виде линейной комбинации базисных строк. Так как определитель матрицы А совпадает с
определителем A T , теорема справедлива и для системы векторов столбцов, откуда следует, что ранг
системы векторов столбцов матрицы А равен рангу системы векторов строк.
15.2 Приведение матрицы оператора к треугольному виду.
Пусть dimL  m 1.
Теорема 15: Для произвольного линейного оператора А, действующего в m-мерном линейном
пространстве X, существуют инвариантные относительно этого оператора подпространства

L P , p  1, m , размерности 0,1,..., m соответственно, такие, что L0  L1  L2 ...  L m .
Доказательство: Существование L 0 и L m очевидно: L0  {0}, L m  X. По теореме 14, в L m  X
существует инвариантное относительно оператора А подпространство L m1  L m . Рассмотрим оператор
A m1, индуцированный оператором А на подпространство L m1 , и к этому оператору опять применим
теорему 14, в соответствии с которой этот оператор обладает инвариантным подпространством
размерности m  2 . Аналогично доказывается существование L m3 ... L1 . Теорема доказана.
Матричная интерпретация теоремы 15.
Построим базис линейного пространства X e1 , e2 ,..., em1 , em следующим образом: e1 – произвольный
ненулевой вектор подпространства L ( 0  e1  L1 ), e2 – любой вектор из L 2 \ L1 , e3  L3 \ L2 , ...
Построим матрицу оператора в этом базисе:
A(e1 )  11  e1  0  e2  ...  0  em

A(e2 )  12  e1   22  e2  0  e3  ...  0  em
A(e3 )  13  e1   23  e2   33  e3  ...  0  em
...........................................................
A(em )  1m  e1   2 m  e2   3m  e3  ...   mm  em
  


A e  
...

 

 
 
...


...  1m 

...  2m 
... ... 

...  mm 

Матрица A e называется правой треугольной матрицей.
Следствие: Любая квадратная матрица подобна правой треугольной матрице.
Доказательство: Пусть A f – произвольная квадрантная матрица вида m  m. Если в пространстве X
зафиксирован базис f1 , f 2 ,..., f m , то матрица A f является матрицей некоторого линейного оператора А,
действующего из X в X. По доказанному выше, в линейном пространстве X существует базис e1 , e2 ,..., em ,
для которого матрицей оператора А является правая треугольная матрица A e . A e и A f – матрицы одного
и того же оператора в разных базисах, которые, как известно, подобны.
Лемма: Если оператор А в некотором базисе имеет треугольную матрицу A e , то диагональные
элементы матрицы совпадают с собственными значениями оператора А с учетом их кратности.
m

Доказательство: E  A e   (  a ii )
i 1

16.1 Определитель Грамма и линейная зависимость.
Пусть Е – евклидово пространство, x1 , x 2 ,..., x n – система векторов этого пространства. Рассмотрим
( x1 , x1 ) ( x1 , x 2 )
( x 2 , x1 ) ( x 2 , x 2 )
G( x1 , x 2 ,..., x n ) 
....
....
( x n , x1 ) ( x n , x 2 )

... ( x1 , x n )
... ( x 2 , x n ) . Этот определитель называется
...
....
... ( x n , x n )

определителем Грама

Теорема: Система векторов евклидова пространства Е линейно зависима тогда и только тогда,
когда соответствующий ей определитель Грама равен 0.
Доказательство: Пусть система x1 , x 2 ,..., x n (1) – линейно зависима, тогда найдутся такие действительные
числа, не все равные 0, такие, что:
1x1   2 x 2 ... n x n  0 .
Умножим обе части равенства (2) скалярно на x1 , x 2 ,..., x n :
 1 (x1 , x1 )   2 (x1 , x 2 )... n (x1 , x n )  0 
 1 (x 2 , x1 )   2 (x 2 , x 2 )... n (x 2 , x n )  0 


.............................................

 1 (x n , x1 )   2 (x n , x 2 )... n (x n , x n )  0


(3)

Систему (3) можно переписать в виде:
( x1 , x1 )
( x1 , x 2 )
( x1 , x n )
( x 2 , x1 )
(x2 , x2 )
(x2 , xn )
1 
 2 
... n 
0
...
...
...
( x n , x1 )
(x n , x2 )
(xn , xn )

(4)

откуда следует, что система векторов столбцов определителя Грама линейно зависима, следовательно,
он равен 0.
Пусть теперь определитель Грама равен 0. Тогда система векторов столбцов линейно зависима, т.е.
найдется последовательность чисел 1 ,  2 ,...,  n , не всех равных 0, такая, что выполнено условие (4), а
тогда справедливо и условие (3).
Систему равенств (3) можно переписать в виде:
(x1 ,  1 x1   2 x 2 ... n x n )  0 
(x 2 ,  1 x1   2 x 2 ... n x n )  0


.......................................

(x3 ,  1 x1   2 x 2 ... n x n )  0 


(5)

Умножая первое равенство системы (5) на 1, второе на  2 , ... , последнее на  n , получим:
(1x1   2 x2 ... n x n , 1x1   2 x2 ... n x n )  0, следовательно
1x1   2 x 2 ... n x n  0 , т.е. система векторов (1) линейно зависима.
16.2 Прямая сумма операторов и ее свойства.
Пусть X  L  M. Пусть линейные операторы B: L  L , а C: M  M.
Тогда существует единственное разложение: x  x L  x M , x L  L,x M  M .

Отображение А, определяемое равенством A( x)  B( x L )  C( x M ) называется прямой суммой операторов
В и С. Если одно из подпространств L или М – тривиально, то и прямая сумма в этом случае называется
тривиальной.
Свойства прямой суммы операторов.
1. Отображение А, является линейным оператором.
Доказательство: Пусть x  x L  x M , y  y L  y M и пусть , – любые числа.
Тогда:

A(x  y)  A(x L  x M  y L  y M )  A(x L  y L  x M  y M ) 
 B(x L  x L )  C(x M  x M )  B( x L )  B( y L )  C( x M )  C( y M ) 
 ( B( x L )  C( x M ))  ( B( y L )  C( y M ))  A( x)  A( y)

2. Единственность представления оператора в виде прямой суммы.
(x  L)(A( x)  B( x)) , то есть, B  A L – индуцированный оператор А на L.
(y  M)(A( y)  C( y)) , то есть, C  A M – индуцированный оператор А на М.
3. Пусть А – произвольный оператор, действующий в линейном пространстве X. Если X  L  M и
подпространства L и М – инвариантны относительно оператора А, то оператор А всегда разложим в
прямую сумму.
В этом случае характеристический многочлен оператора А равен произведению характеристических
многочленов операторов A L и A M , индуцированных оператором А на подпространства L и М
соответственно.
17.1 Теорема Кронекера – Капелли.
Пусть дана система линейных уравнений:
a11 x1  a12 x2 ... a1n x n  b1
a x  a x ... a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...................................


a k1 x1  a k2 x2 ... a kn x n  b k

(1)

Из коэффициентов этой системы можно составить две матрицы:
 a11

 a 21
 ...

 a k1

a12
a 22
...
a k2

... a1n 

... a 2n  (2) и
... ... 

... a kn 

 a11

 a 21
 ...

 a k1

a12
a 22
...
a k2

... a1n
... a 2n
... ...
... a kn

b1 

b2 
... 

bk 

(3)

Матрица (2) называется матрицей системы, а (3) – расширенной матрицей системы.
Утверждение: Система (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен
рангу расширенной матрицы.
Доказательство: Пусть система (1) совместна. Это означает, что равенства (1) будут выполняться для
некоторого набора значений неизвестных, т.е. будет выполнятся равенство:
 a11 
 
a 21
       
...
 
 a k1 

 a12 
 
a 22
   ... n
...
 
 a k2 

 a1n   b1 
   ,
a 2n
b2
     
...
...
   
 a kn   b k 

пусть

a1  (a11 , a 21 ,..., a k1 )
a2  (a12 , a 22 ,..., a k 2 )

.............................

an  (a1n , a 2n ,..., a kn )
b  ( b1 , b 2 ,..., b k )

Так как вектор b является линейной комбинацией векторов a1 , a2 ,..., an , то системы векторов
{a1 , a2 ,..., an } и {a1 , a2 ,..., a n , b} эквивалентны, следовательно, они имеют одинаковый ранг, и поэтому ранг
матрицы (2) равен рангу матрицы (3).

Пусть теперь ранг матрицы (2) равен рангу матрицы (3). Тогда база векторов столбцов матрицы (2)
является базой и для векторов столбцов матрицы (3). А тогда вектор b представим в виде линейной
комбинации векторов a1 , a2 ,..., an , т.е. найдутся такие 1 ,  2 ,...,  n , что b  1  a1   2  a2 ... n  an а это
означает, что система (1) совместна, поскольку 1 ,  2 ,...,  n являются ее решением.
17.2 Теорема о разложении оператора в прямую сумму с помощью операторного многочлена.
Теорема : С помощью любого операторного многочлена (A) можно осуществить разложение
оператора А в прямую сумму.
Доказательство: Рассмотрим последовательность операторов
(A),  2 (A),  3 (A),...,  k (A),...
Этим операторам соответствуют ядра N1  N 2  N 3 ...  N k ....
1. Покажем сначала, что если существует k  Z  , такое, что
N k  N k 1  N k  N p , p  k .
Доказательство:
Пусть x  N p   k (A)( x)  0   k 1 (A)( p k 1 (A)( x)  0 
 p k 1 (A)( x)  N k 1   p k 1 (A)( x)  N k 

 k (A)( p k 1 (A)( x)  0   p1 (A)( x)  0  x  N p1
Np  Nk  Np  Nk

2. Рассмотрим для операторов (A),  2 (A),  3 (A),... их образы T1 , T2 , T3 ,..., Tk , т.е. Tk – область значений
оператора  k (A) , мы знаем, что X  N k  Tk .
Пусть q – наименьшее целое положительное число, такое, что N q  N q 1 , ему соответствует образ Tq ,
X  N q  Tq . В самом деле, если вектор

x  N q  Tq   k (A)( x)  0, x   k (A)( y), y  X 
y  N 2q , N 2q  N q  y  N q  x   q (A)( y)  0
Каждый из корней характеристического многочлена оператора, индуцированного оператором А на
подпространство N q является корнем многочлена ( z) . Ни один из корней характеристического
многочлена оператора, индуцированного оператором А на подпространство Tq , не является корнем
многочлена ( z) , в самом деле, нам известно, что все собственные векторы оператора А должны
находиться в подпространствах N q и Tq , при этом в N q находятся те из них, которые соответствуют
собственным значениям, совпадающим с какими-то корнями многочлена ( z) , а в Tq находятся те из них,
для которых собственные значения не совпадают ни с какими корнями многочлена ( z) .
18.1 Теорема об общем решении приведенной однородной системы уравнений. Общее решение не
однородной системы. Нормальное решение.
Определение: Система алгебраических уравнений называется неоднородной, если среди ее свободных
членов b1 , b 2 ,..., b k есть отличные от нуля. В противном случае она однородна.
Однородная система линейных уравнений всегда совместна, поскольку нулевое решение всегда является
ее решением.
a11 x1  a12 x2 ... a1n x n  b1
a x  a x ... a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...................................

a k1 x1  a k2 x2 ... a kn x n  b k

Система линейных уравнений, получающаяся из системы (1) заменой в каждом уравнении правой части
нулем называется приведенной однородной системой, соответствующей данной системе уравнений.
Если система (1) совместна, то любое ее решение называется частным решением, а совокупность частных
решений системы называется общим решением этой системы уравнений.

Теорема: Общее решение приведенной однородной системы уравнений, соответствующее системе
(1) образует в арифметическом пространстве n-мерных векторов подпространство размерности n –
r, где r – ранг матрицы системы. Любой базис этого пространства называется фундаментальным
решением однородной системы.
Доказательство: Рассмотрим однородную систему:
a 11 x1  a 12 x 2 ... a 1n x n  0
a x  a x ... a x  0 , и
 21 1
22 2
2n n

...................................


a k1 x1  a k2 x 2 ... a kn x n  0

a1  (a11 , a 21 ,..., a k1 )
пусть: a 2  (a12 , a 22 ,..., a k2 )
..................
a n  (a1n , a 2n ,..., a kn )

Пусть L  L (a1 , a 2 ,..., a k ) . Мы знаем, что dim L = r.
Пусть вектор c  (  1 ,  2 ,...,  n ) . Он будет решением системы тогда и только тогда, когда c  L . Таким
образом, общим решением однородной системы является L , а ее размерность n – r. ( E  L  L )
Разность двух частных решений неоднородной системы линейных уравнений является, очевидно,
решением однородной системы линейных уравнений.
Отсюда следует, что среди частных решений неоднородной системы есть только одно, которое
ортогонально всем решениям приведенной. Это решение называют нормальным.
В самом деле, если x1 и x 2 – два нормальных решения, то x1 ортогонально ко всем векторам общего
решения однородной системы и x 2 также ортогонально ко всем векторам общего решения, но сам
вектор x1  x 2 является одним из решений однородной системы, следовательно, он ортогонален сам
себе, значит, x1  x 2 .
Общее решение неоднородной системы получается прибавлением к каждому вектору общего решения
приведенной системы какого–либо частного решения неоднородной системы.
Для того, чтобы совместная система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы системы равнялся числу неизвестных.
Для того, чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы системы был меньше числа неизвестных.
Пусть матрица системы квадратная. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда,
когда определитель этой матрицы равен нулю.
Рассмотрим систему:
a11 x1  a12 x2 ... a1n x n  b1 Предположим, что определитель этой системы отличен от нуля. Тогда ранг
a x  a x ... a x  b
матрицы системы равен n, а ранг расширенной матрицы тоже равен n, и тогда
 21 1
22 2
2n n
2

по теореме Кронекера – Капелли эта система совместна, более того, она
...................................
a n1 x1  a n2 x2 ... a nn x n  b n имеет единственное решение.
18.2 Теорема о существовании и единственности разложения оператора A в прямую сумму операторов
B и C характеристическими многочленами φ(z) и ψ(z).
Теорема : Пусть характеристический многочлен f ( z) оператора A: X  X представим в виде
произведения двух многочленов: f ( z)  ( z)  ( z) , не имеющих общих корней. Тогда оператор А можно
единственным образом разложить в прямую сумму операторов В и С ( A  B  C), так, что оператор В
имеет характеристический многочлен ( z) , а оператор С – ( z) .
Доказательство:
1. Рассмотрим разложение оператора А в прямую сумму, получающуюся с помощью многочлена ( z) .
Так как произведение характеристических многочленов операторов, определяющее прямую сумму,
совпадает с многочленом f ( z) , то существование такого разложения вытекает из теоремы 16.
2. Пусть X  N  T, где подпространства N и T инвариантны относительно оператора А и при этом
оператор, индуцированный оператором А на подпространство N, имеет в качестве характеристического
многочлена ( z) , а оператор, индуцированный оператором А на подпространство Т, имеет в качестве

характеристического многочлена ( z) . Тогда, по теореме 13, N  N k для всех достаточно больших k, но
отсюда следует, что N k  N q . Оператор (A) является невырожденным на Т, так как ( z) –
характеристический многочлен оператора, индуцированного оператором А на T, и ( z) и ( z) не имеют
общих корней, следовательно, множество образов векторов из T по отношению к оператору (A)
совпадает с T, но тогда T  Tk для k . Подпространства N и T и N q и Tq в прямой сумме образуют все
пространство X. Мы имеем, что N  N q , T  Tq , и N  T  N q  Tq  N  N q , T  Tq .
Пусть оператор A: X  X, dimX  m. Пусть f ( z) – характеристический многочлен оператора А. Так как
все происходит на комплексном линейном пространстве С, то f ( z)  ( z   1 ) k   ( z   2 ) k ...( z   r ) k , где
 1 ,  2 ,...,  r – собственные значения (попарно различные), k 1  k 2 ... k r  m. Рассмотрим многочлены
( z   1 ) k ,( z   2 ) k ,...,( z   r ) k . Они являются делителями характеристического многочлена f ( z) , и
никакая пара из них не имеет общих корней. По теореме 17 существуют инвариантные подпространства
относительно оператора А R1 , R 2 ,..., R r такие, что X  R1  R 2  ... R r , при этом размерности dimR1  k 1,
1

1

2

2

r

r

dim R 2  k 2 ,...,dim R r  k r . Характеристический многочлен оператора, индуцированного оператором А на
подпространство R i – это ( z   i ) k .
i

19.1 Правило Крамера.
Если определитель системы отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное
решение. Пусть d – определитель этой системы.
11 12
 21  22
d
... ...
 n1  n 2

11 12
 21  22
dj 
... ...
 n1  n 2

... 1 j
...  2 j
... ...
...  nj

... 1n
...  2 n
... ...
...  nn

,

... 1 j1 b1 1 j1
...  2 j1 b 2  2 j1
... ...
...
...
...  n j1 b n  n j1

... 1n
...  2 n
... ...
...  nn

.

Единственное решение этой системы вычисляется по формулам:
x1 

d1
d
d
, x 2  2 ,..., x n  n
d
d
d

Доказательство:
Утверждение: Сумма произведений элементов каждой строки определителя (скажем, i-ой) на
алгебраические дополнения элементов какой–либо другой строки (скажем, j-ой) равна нулю.
Доказательство:
11
12
...
...
 i11  i1 2
x1
x2
 i1 2  i1 2
...
...
 n1  n 2

... 1n
... ...
...  i1 n
Вычислим этот определитель, применяя теорему Лапласа к i-ой строке
... x n 
x1  A i1  x 2  A i 2 ...x n  A in (1)
...  i1 n
Подставим вместо x1 , x 2 ,..., x n в обе части выражения (1) элементы j-ой строки, и
... ...
получим:
...  nn
11
12
...
...
 i11  i1 2
 j2
0   j1
 i1 2  i1 2
...
...
 n1  n 2

... 1n
... ...
...  i1 n
...  jn   j1  A i1   j2  A i 2 ... jn  A in
...  i1 n
... ...
...  nn

Пусть A ij – алгебраическое дополнение элемента  ij в определителе d. Раскладывая определитель d с
индексом d j по элементам j-того столбца, получим:

11
 21
dj 
...
 n1

...
...
...
...

b1
b2
...
bn

... 1n
n
...  2 n
  b i  A ij
... ...
i 1
...  nn

Подставим выражения x j 
n


j 1

kj



dj
d



dj
, j  1, n в какое-нибудь, скажем, k-ое выражение системы. Будем иметь:
d

n
 1 n n
 1 n n

1  n
    kj   b i A ij       kj  b i  A ij      b i   kj  A ij  
d  j 1
d


 d  i 1 j 1

i 1
j 1 i 1



n

1 n
  b i    kj  A ij   b k
d  i 1

j 1

19.2 Корневые подпространства. Теорема Гамильтона-Кэли.
Определение: Подпространства R i называются корневыми подпространствами оператора А,
соответствующими собственному значению  i . Векторы корневого подпространства называются
корневыми векторами.
Т.о., оператор А может быть разложен в прямую сумму операторов, индуцированных этим оператором на
корневых подпространствах. Корневое подпространство R i совпадает с ядром оператора ((A   i E) k ) q
при некотором целом положительном q. В действительности, в данном случае можно считать q  1. В
самом деле, рассмотрим операторы (A   i E) p , где p  1,2,.... Пусть pi – это наименьшее число, для
которого ядро оператора (A   i E) pi совпадает с ядром оператора (A   i E) pi 1. Тогда корневое
подпространство R i будет совпадать с ядром оператора (A   i E) pi , т.к. размерность ядер операторов
(A   i E) p при p  1,2,... монотонно возрастает, а размерность корневого подпространства dimRi  k i , то
pi  k i , т.е. q  1.
Т.о., корневое подпространство R i , соответствующее собственному значению  i кратности k i совпадает с
ядром оператора (A   i E) ki .
Теорема : (Теорема Гамильтона-Кэли)
Если f ( z) – характеристический многочлен оператора А, то f (A) – нулевой оператор (оператор
является корнем своего характеристического многочлена).
Доказательство: Пусть f ( z)  ( z  1 ) k1  ( z   2 ) k 2 ...( z   r ) k r . Так как линейное пространство X
представимо в виде прямой суммы корневых подпространств X  R1  R2  ... R r , то вектор x X
единственным образом представим в виде: x  x1  x2 ... xr , где x1 R1 , x2 R2 ,..., xr R r .
f (A)  (A  1E) k1  (A   2 E) k 2 ...(A   i E) ki ...(A   r E) pr
i

i

f (A)( x)  f (A)( x1  x2 ... xr )  f (A)( x1 )  f (A)( x2 )...f (A)( xr )

f (A)( xi )  ((A  1E) k1  (A   2 E) k 2 ...(A   i E) k i ...(A   r E) pr )( xi )  0,
так как (A   i E) k i ( xi )  0 .

20.1 Обратная матрица.
Пусть А – невырожденная матрица, т.е. det A  0 , тогда существует матрица, обозначаемая A 1 , такая, что
A  A 1  A 1  A  E .
Используя понятие определителя, можно указать явный вид элементов обратной матрицы через миноры
матрицы А.
 A 11

  11 ...  1n 


 d
A   ... ... ...  , A 1   ...


 A 1n
 n1 ...  nn 
 d


A n1 

d .
... ... 
A nn 
...
d 
...

Для доказательства достаточно перемножить А и A 1 .
20.2
Жорданова форма матрицы.

Пусть f ( z)  ( z  1 ) k1  ( z   2 ) k 2 ...( z   r ) k r – характеристический многочлен оператора А и пусть
X  R1  R2  ... R r , где R i – ядро оператора (A   i E) ki .
Займемся выбором базиса в каждом из корневых подпространств. Рассмотрим корневое подпространство
Ri .
Определение: Высотой h( x) корневого вектора x  Ri называется наименьшее число n, такое, что
(A   i E) n ( x)  0 .
Все корневые векторы, соответствующие собственному значению  i имеют высоты, не превосходящие
кратности корня k i , т.е. имеют высоты, меньше, либо равные k i .
Пусть t – максимальная высота корневых векторов из R i , t  k i .
Если вектор x имеет высоту k, то вектор (A   i E)( x) имеет высоту k 1. Поэтому в корневом
подпространстве R i имеются векторы всех высот от 0 до t.
Для любого k  t буквой H k обозначим множество всех векторов x  Ri , таких, что h( x)  k . (
H k  {x Ri | h( x)  k})
Лемма 1: H k является подпространством корневого пространства R i .
Доказательство: Пусть x, y H k  (A   i E) k ( x)  (A   i E) k ( y)  0
Возьмем произвольные ,  C, тогда:
(A   i E) k (x  y)    (A   i E) k ( x)    (A   i E) k ( y)  H k – подпространство корневого пространства R i .
Очевидно, что справедлива лемма:



Лемма 2: 0  H1 ...  H t 1  H t  R i , dimHi  mi .
Пусть f1 , f2 ,..., fp1 – произвольные линейно независимые векторы из H t , линейная оболочка которых в
прямой сумме с подпространством H t1 дает все подпространство H t , которое совпадает с R i . Ясно, что
это будут корневые векторы высоты t, p1  mt  mt 1 , и никакая линейная комбинация векторов f1 , f2 ,..., fp1
не принадлежит подпространству H t1.
Лемма 3: Рассмотрим следующую систему векторов:
f1
f2
(A   i E)(f1 )
(A   i E)(f 2 )
(A   i E) 2 (f1 ) (A   i E) 2 (f 2 )
...
...
t 1
(A   i E) (f1 ) (A   i E) t 1 (f 2 )

...
f p1
(h  t) 

... (A   i E)(f p1 ) (h  t  1) 

... (A   i E) 2 (f p1 ) (h  t  2)

...
...
...

... (A   i E) t 1 (f p1 ) (h  1) 

(1)

Система (1) линейно независима.
Доказательство: Пусть
 01f1 ... 0p1 f p1  11 (A   i E)(f1 )...1p1 (A   i E)(f p1 ) 

... t 1,1 (A   i E) t 1 ( f1 )... t 1,p1 (A   i E) t 1 ( f p1 )  0

Применим к обеим частям последнего равенства оператор (A   i E) t 1.
В силу указанных высот линейная комбинация  01f1 ... 0p1 f p1 под действием оператора (A   i E) t 1
отобразится в нулевой вектор. Т.о., высота вектора  01f1 ... 0p1 f p1 меньше или равна t  1. Это может
быть лишь тогда, когда все коэффициенты 01 ...  0p  0 .
1

Подействуем на обе части этого же равенства оператором (A   i E) t 2 и, аналогичным образом, получим,
что 11 ...  1p1  0 и т.д.
В силу выбора векторов f1 , f2 ,..., fp1 никакая ненулевая линейная комбинация векторов, стоящих в i-ой
строке таблицы (1) не принадлежит подпространству H t1.
Дополним векторы (A   i E)(f1 ) , ... , (A   i E)( fp1 ) такими векторами f p1 1, ..., f p2 из подпространства H t1,
чтобы вся совокупность была линейно независимой и ее линейная оболочка в прямой сумме с
подпространством H t2 давала H t1. Это будут корневые векторы высоты t 1, p2  mt 1  mt 2 .

Никакая линейная комбинация построенной системы векторов не принадлежит подпространству H t2 .
Рассмотрим совокупность векторов:

f p1 1
f p1  2
(A   i E)(f p1 1 )
(A   i E)(f p1  2 )
...
...
t 2
(A   i E) (f p1 1 ) (A   i E) t  2 (f p1  2 )


...
f p2

... (A   i E)(f p2 ) 

...
...

... (A   i E) t  2 (f p2 )

(2)
По лемме 3 система (2) линейно независима, кроме того, никакая ненулевая линейная комбинация
векторов i-ой строки таблицы (2) не принадлежит подпространству H t 1i .
Аналогичным образом переходим к подпространствам H t2 , H t3 и т.д. Мы получили систему из k i
векторов, принадлежащих корневому подпространству R i . Таблицы 1, 2, ... заканчиваются таблицей,
состоящей из одной строки:
(A   i E) t 1 ( f1 ),..., fpt1 1 ,..., fpt . Эти векторы принадлежат пространству H1, т.е. являются собственными,

p t  m1  m0 .

Расположим таблицы последовательно слева направо и введем переобозначение:
e1t
e1t 1
e1t  2
...
e11

... e pt1
... e pt1 1
... e pt1 2
... ...
... e1p1

e
e

t 1
p1 1
t 2
p1 1

...
e1p1 1

t 1
p2
t 2
p2

... e
... e
... ...
... e1p2

..................... e 1p t 1 1








1
... e p t 
(4)

Векторы, стоящие в первой строке, имеют высоту h  t , во второй – t  1, и т.д., в последней – 1. Т.е.
векторы, стоящие в 1 последовательной строке оператором A   i E переводятся в нулевой вектор.
Каждый столбец таблицы определяет инвариантное подпространство оператора A   i E , и,
следовательно, инвариантное подпространство оператора А. Это подпространство называется
циклическим.

Первые p1 столбцов таблицы определяют p1 циклических подпространств размерности t, следующие

p2  p1 столбцов определяют p2  p1 инвариантных относительно оператора А циклических
подпространств размерности t 1, и т.д. Последние столбцы определяют одномерные циклические
подпространства. Их pt  pt 1 . Все корневое подпространство R i является прямой суммой циклических
подпространств.
Напишем матрицу оператора, индуцированного оператором А в циклическом подпространстве: пусть
1
2
3
t
1
2
1
например, в качестве базиса взяты векторы e1 , e1 , e1 ,..., e1 . Найдем: (A   i E)(e1 )  0 , (A   i E)(e1 )  e1 ,

(A   i E)(e13 )  e12 , ..., (A   i E)(e1t )  e1t 1 , откуда следует, что

A( e11 )   i  e11
A( e12 )   i  e12  e11
A( e13 )   i  e13  e12
..........................
A( e1t )   i  e1t  e1t 1 ,

A1,t

 i 1 0

 0 i 1
  0 0 i

 ... ... ...

0 0 0

... 0 

... 0 
... 0 

... ... 

...  i 

Определение: Матрица вида A 1,t называется жордановой клеткой или жордановым ящиком.
Построим матрицу оператора А, действующего в линейном пространстве X, беря в качестве базиса
последовательное объединение базисов корневых подпространств R1 , R 2 ,..., R r , а в качестве базиса
каждого корневого подпространства R i возьмем векторы таблицы (4), упорядоченные подряд снизу вверх
и слева направо. Такой базис корневого подпространства называется корневым, а объединение корневых
базисов, т.е. базис пространства X, построенный таким образом, называется каноническим. В
каноническом базисе матрица оператора имеет вид:

  

 



















































  

Она называется жордановой формой матрицы.

21.1 Определитель произведения квадратных матриц.
Теорема: Определитель произведения квадратных матриц одного и того же порядка равен
произведению определителей этих матриц.
Доказательство: Пусть
 b11 ... b1n 
   ...  1n 

.

,
A   ... ... ...  B   ... ... ... 




 b n1 ... b nn 
  n1 ...  nn 

Рассмотрим определитель порядка 2n  2n :
11 12 ... 1n 0
0 ... 0
Вычислим этот определитель, используя теорему Лапласа, применяя
 21  22 ...  2 n 0
0 ... 0
ее к первым n строкам определителя.
... ... ... ... ... ... ... ...


 n1  n 2 ...  nn
1 0 ... 0
0
1 ... 0
... ... ... ...
0
0 ... 1

0
0
b11 b12
b 21 b 22
... ...
b n1 b n 2

... 0
 AB
... b1n
... b 2 n
... ...
... b nn

Вычислим определитель другим способом: преобразуем его так,
чтобы в правом нижнем углу стояли 0. К n 1-му столбцу прибавим
первый, умноженный на b11 , второй, умноженный на b 21 и т.д., n-й,
умноженный на b n1 . К n  2 -му столбцу прибавим первый, умноженный на b12 , второй, умноженный на
b 22 и т.д., n-й, умноженный на b n2 и т.д. К столбцу с номером 2n прибавим первый, умноженный на b1n ,
второй, умноженный на b 2 n и т.д., n-ый, умноженный на b nn . Получим определитель:
11 12
 21  22
... ...
   n1  n 2
1 0
... ...
0
0

... 1n
...  2 n
... ...
...  nn
... 0
... ...
... 1

c11 c12
c21 c22
... ...
c n1 c n 2
0
0
... ...
0
0

... c1n
... c2 n
... ...
... c nn
... 0
... ...
... 0

Преобразуем полученный определитель следующим образом: поменяем местами первую строку с n 1,
и т.д., n-ую с 2n -ой. В результате получится определитель:
 E
  ( 1) n  
 A

O  (1)
C

n

 ( 1) n  C  A  B

21.2 Ортогональные матрицы. Ортогональность матрицы перехода от одного орто-нормированного
базиса к другому.
Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами,
результат умножения которой на AT равен единичной матрице:

или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице:

Свойства
 Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то
есть:
и

где
, n — порядок матрицы, а
— символ Кронекера.
Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку —
0. Так же и для столбцов.
 Определитель ортогональной матрицы равен +1, что следует из свойств определителей:





Множество ортогональных матриц порядка над полем образует группу по умножению, так
называемую ортогональную группу которая обозначается
или
(если опускается,
то предполагается
).
Ортогональные матрицы соответствуют линейным операторам,
переводящим ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с
блоками вида

и
Примеры


— единичная матрица




— пример матрицы поворота



— пример перестановочной матрицы

22.1 . Теорема о произведении невырожденных матриц.
Произведение A  B двух невырожденных матриц А и В является невырожденной матрицей, причем
( A  B)1  B1  A 1.
Обратная матрица A 1 для невырожденной матрицы так же является невырожденной и ( A 1 )1  A .
Доказательство: По условию, A  0, B  0 , но A  B  A  B  0 , т.о. A  B – невырожденная матрица.
( A  B)  ( B1  A 1 )  E
( A  B)  ( B1  A 1 )  A  ( B  B1 )  A 1  A  E  A 1  A  A 1  E
Так как d  A  0 , то матрица A 1 для А существует, и

1  E  A  A 1  A  A 1 , следовательно, A 1 

1
.
d

Матрица А, очевидно, удовлетворяет уравнению: A 1  X  E, так что А является обратной для A 1 ,
следовательно, ( A 1 )1  A .
Теорема: Множество невырожденных квадратных матриц порядка N является группой по умолчанию. В
самом деле. Замкнутость очевидна, так как доказано ранее, что произведение невырожденных матриц
есть невырожденная матрица. В лекции №7 была доказана ассоциативность произведения матриц. Кроме
того невырожденная матрица обратная и обратная является невырожденной (доказано выше). Е является
невырожденной матрицей. Таким образом аксиомы выполнены и теорема доказана.
Теорема. Множество степеней невырожденной матрицы образует абелеву группу относительно
умножения матриц.
Доказательство.
Невырожденность произведения доказана ранее. Имеет место равенство Аn∙Аm= Аn+m . В самом деле:
Аn∙Аm= (А∙.…∙А)∙(А∙….∙А) =А∙….∙А=Аn+m.
nmm+n
Из этого следует произведение степеней матрицы, т.е. имеет место замкнутость. Единичная матрица
может интерпретироваться как А0. (Все свойства Епри такой интерпретации сокращаются).
Ассоциативность вытекает из свойств матричного умножения. А-n определим как (А-1)n
(невырожденность обратной доказана ранее). Тогда (Аn)-1 = (А-1)n. Таким образом аксиом группы
выполнены. Множество невырожденных матриц вида Аnявляется циклической группой конечного, либо
бесконечного порядка. Например матрицы вида
порядка. Матрицы вида

порождают циклическую группу бесконечного

образуют циклическую группу второго порядка .

22.2.Ортогональные преобразования: сохранение ими скалярного произведения. Необходимое и
достаточное условие ортогональности преобразования. Группа ортогональных операторов.
Ортогональное преобразование — линейное преобразование евклидова пространства ,
сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для
любых двух векторов
выполняется равенство
где треугольными скобками обозначено скалярное произведение
в пространстве . Свойства
 Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный
базис евклидова пространства в другой.
 Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования
является
равенство
где
— сопряжённое, а
— обратное преобразования.
 В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им)
соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы
является равенство (*), где
— транспонированная, а
— обратная матрицы.
 Собственные значения ортогональных преобразований равны по модулю 1, а собственные
векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям,
ортогональны.
 Определитель ортогонального преобразования равен 1 (собственное ортогональное
преобразование) или -1 (несобственное ортогональное преобразование).
 В произвольном n-мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является
композицией конечного числа отражений.
 Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу
относительно операции композиции —ортогональную группу данного евклидова пространства.

Собственные ортогональные преобразование образуют нормальную подгруппу в этой группе
(специальную ортогональную группу).
23.1 Определение линейного оператора. Ядро и дефект линейного оператора.
Определение: Пусть даны линейные пространства X и Y над одним и тем же полем Р. Отображение
A: X  Y называется линейным оператором, действующим из X в Y, если для
(,  P)(x1 , x2 X)(A(x1  x2 )  A( x1 )  A( x2 )) .
Примеры:
~ L . (Всякий изоморфизм –
1. Пусть L1 , L2 – два линейных пространства над полем Р. :L1  L2 , L1 
2
линейный оператор)
2. Пусть Е – евклидово пространство над, L – произвольное его подпространство. ort L: x  ort L ( x) и
prL: x  prL ( x) – изученные нами свойства данных функций позволяют утверждать, что это - два
линейных оператора, действующих между L и L , L и L.
3. Отображение, ставящее в соответствие каждому вектору x линейного пространства X нулевой вектор
пространства Y, очевидно, является линейным оператором. ( (x X)( O( x)  0Y ) ).
4. Поставим в соответствие каждому вектору x линейного пространства X этот же вектор. Это тоже
линейный оператор: E( x)  x. Он называется тождественным, или единичным линейным оператором.
5. Пусть A: X  Y . Введем новый оператор В по следующему правилу: B( x)  A( x) . Этот оператор
называется противоположным для А. ( B  A )
6. Зафиксируем элемент  поля Р и поставим в соответствие x  X вектор   x . Полученный таким
образом оператор также является линейным, действующим из X в X. Этот оператор называется
скалярным оператором.

 n
 n
Из определения линейного оператора следует, что A   i  x i     i  A(xi ) , для xi  X, i  P .
 i1
 i1
Каждый линейный оператор нулевой вектор переводит в нулевой.

Лемма 1: Пусть A: X  Y . Множество TA    y  Y|(  x  X)( A(x)  y – (множество всех значений
оператора А) является подпространством линейного пространства Y.
Доказательство: Пусть y1 TA , y2 TA .

y1 TA   x1 X:( y1  A( x1 )
y2 TA   x2 X:( y2  A( x2 )
(1 , 2 P)(1y1  2 y2  1A( x1 )  2A( x2 )  A(1x1  2 x2 )) .
1y1  2 y2  A( x3 )  1y1  2 y2 TA
Определение: Пусть A: X  Y . Размерность подпространства TA называется рангом оператора А. (
rA  dim TA )

Лемма 2: Пусть A: X  Y . Множество N A   x  X| A(x)  0Y  – ядро линейного оператора А. Ядро
линейного оператора А является подпространством линейного пространства X.
Доказательство: Пусть x1 NA , x2 NA .
x1  N A : A( x1 )  0Y
x2  N A : A( x2 )  0Y
Для (1 , 2 P)(A(1x1  2 x2 )  1A( x1 )  2A( x2 )  0Y  0Y  0Y )
 1x1   2 x2  N A .
Определение: Размерность ядра называется дефектом оператора А и обозначается nA  dim NA .
Теорема 1: Пусть dimX  m. Представим X в виде: X  NA  MA , где M A – любое подпространство,
дополнительное к ядру. Тогда A: MA  TA , и это соответствие – изоморфизм.
Доказательство: Рассмотрим произвольный вектор y TA   x X:( y  A( x) ). x  xNA  xMA .
y  A( x)  A( x NA  x MA )  A( x NA )  A( x MA )  0Y  A( x MA )  A( x MA )

Этим мы установили, что отображение A: MA  TA сюрьективно.
Установим инъективность этого отображения, т.е. докажем, что y TA является образом единственного
вектора x MA . Пусть x1 MA , x2 MA .
A( x1 )  A( x2 )  y .
Тогда x1  x2 MA  x1  x2 NA  MA  x1  x2  0X , x1  x2 .
Инъективность доказана.
То, что это – изоморфизм, следует из определения линейного оператора.
~ T :dim M  dim T  r , кроме того, мы знаем, что dim X  dim N  dim M (в силу
Таким образом, MA 
A
A
A
A
A
A
определения прямой суммы), откуда следует, что dimX  nA  rA , m  nA  rA .
Линейный оператор А устанавливает изоморфное соответствие между подпространством TA и любым
подпространством M A линейного пространства X, которое в прямой сумме с ядром дает все пространство
X. Любой линейный оператор А порождает целое семейство линейных операторов, каждый из которых на
своей области определения совпадает с А.
Примеры:
1. Пусть в линейном пространстве задан базис. Оператор А ставит каждому вектору x из X его
n

координату с фиксированным номером. Пусть дано X – конечномерное, e1 , e2 ,..., en – базис X, x    i ei ,
i 1

A( x)  i .

2. В евклидовом пространстве Е зафиксируем вектор x0 , а оператор А ставит в соответствие вектору x0
число x  ( x, x0 )
23.2 Определение квадратичной формы. Примеры. Линейные преобразования переменных.
Канонический вид квадратичной формы.
Понятие квадратичной формы. Определение: Квадратичной формой от переменных x1 , x 2 ,..., x n
называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных.
Переменные x1 , x 2 ,..., x n можно рассматривать как аффинные координаты точки M( x1 , x 2 ,..., x n )
арифметического пространства Аn или как координаты вектора x  ( x1 , x 2 ,..., x n ) n-мерного пространства
Vn. Будем обозначать квадратичную форму от переменных x1 , x 2 ,..., x n как f ( x1 , x 2 ,..., x n ) .
Пример 1:
1. f ( x1 , x 2 )  x12  6x1 x 2  2x 22
2. f ( x1 , x 2 , x 3 )  3x12  x 22  x 23  4x1 x 2  5x 2 x 3
Если в квадратичной форме уже выполнено приведение подобных членов, то коэффициенты при x 2i
обозначаются cii , а при x i x j ( i  j ) – 2cij . Т.о., 2cij xi x j  cij xi x j  c ji x jxi , считается, что cij  c ji .
Квадратичную форму можно записать следующим образом:
n

n

n

f ( x1 , x2 ,..., x n )    cij xi x j   (ci1xi x1  ci 2 xi x2 ...cin xi x n ) 
i 1 j1

i 1

 c11 x1 x1  c12 x1 x 2 ... c in x1 x n  
 c 21 x 2 x1 ................. c 2n x 2 x n 


........................................... 

 c n1 x n1 x1 ................ c nn x n x n 
2

(1)

2

2

Пример 2: f ( x1 , x 2 )    c ij x i x j   (c i1 x i x1  c i 2 x i x 2 ) 
i 1 j1

i 1

 c11x1 x1  c12 x1 x 2  c 21x 2 x1  c 22 x 2 x 2  c11x12  2c12 x1 x 2  c 22 x 22
Матрица системы (1):
 c11

c 21
C  
...

 c n1

c12
c 22
...
c n2

... c1n 

... c 2n 
... ... 

... c nn 

– называется матрицей квадратичной формы.

Пример: Матрицы квадратичных форм примера 1 имеют вид:
 3 2 0 

1 3  

 ,   2  1 2.5
 3  2 

 0 2.5 1 

 c11
Матрица квадратичной формы примера 2: 
 c 21

c12 

c 22 

Линейные преобразования переменных.
Линейным преобразованием переменных называют такой переход от системы переменных x1 , x 2 ,..., x n к
системе переменных y1 , y 2 ,..., y n , при котором старые переменные выражаются через новые с помощью
форм:
n

x i   a ij y i , i  1, n , или
i 1

x1  a 11 y1  a 12 y 2 ...a 1n y n
x 2  a 21 y1  a 22 y 2 ...a 2 n y n
, (2)
.....................................
x n  a n1 y1  a 22 y 2 ...a nn y n
где коэффициенты a ij образуют невырожденную матрицу.
Если переменные x1 , x 2 ,..., x n рассматривать как координаты вектора в евклидовом пространстве
относительно некоторого базиса e1 , e2 ,..., en , то линейное преобразование (2) можно рассматривать как
переход в этом пространстве к новому базису e'1 , e' 2 ,..., e' n , относительно которого этот же вектор имеет
координаты y1 , y2 ,..., y n .
Канонический и нормальный вид квадратичной формы.
В дальнейшем мы будем рассматривать квадратичные формы только с действительными
коэффициентами. Будем считать, что и переменные принимают только действительные значения. Если в
квадратичной форме (1) переменные подвергнуть линейному преобразованию (2), то получится
квадратичная форма от новых переменных y1 , y2 ,..., y n . В дальнейшем мы покажем, при надлежащем
выборе преобразования (2) квадратичную форму (1) можно привести к виду, содержащему только
квадраты новых переменных, т.е. f ( x1 , x2 ,..., x n )  c1y12  c2 y22 ...cn y2n . Такой вид квадратичной формы
называется каноническим. Матрица квадратичной формы в таком случае диагональная:

 c1 0

 0 c2
 ... ...

0 0

... 0 

... 0  .
... ... 

... c n 

Если все коэффициенты сi могут принимать лишь одно из значений: -1,0,1 соответствующий вид
называется нормальным.
Пример: Уравнение центральной кривой второго порядка c11x2  2c12 xy  c22 y2  c33  0 с помощью
перехода к новой системе координат

x  x' cos  y' sin 
можно привести к виду: c'11 ( x' ) 2  c'22 ( y' ) 2  c33  0 , а квадратичная форма в этом
y  x' sin   y' cos

случае примет вид: f ( x, y)  c11 ( x' ) 2  c22 ( y' ) 2
24.1 Теорема о биективном соответствии образа ТА и дополнительного к ядру подпространства
МА.
Теорема 1: Пусть dimX  m. Представим X в виде: X  NA  MA , где M A – любое подпространство,
дополнительное к ядру. Тогда A: MA  TA , и это соответствие – изоморфизм.
Доказательство: Рассмотрим произвольный вектор y TA   x X:( y  A( x) ). x  xNA  xMA .

y  A( x)  A( x NA  x MA )  A( x NA )  A( x MA )  0Y  A( x MA )  A( x MA )
Этим мы установили, что отображение A: MA  TA сюрьективно.

Установим инъективность этого отображения, т.е. докажем, что y TA является образом единственного
вектора x MA . Пусть x1 MA , x2 MA .
A( x1 )  A( x2 )  y .
Тогда x1  x2 MA  x1  x2 NA  MA  x1  x2  0X , x1  x2 .
Инъективность доказана.
То, что это – изоморфизм, следует из определения линейного оператора.
~ T :dim M  dim T  r , кроме того, мы знаем, что dim X  dim N  dim M (в силу
Таким образом, MA 
A
A
A
A
A
A
определения прямой суммы), откуда следует, что dimX  nA  rA , m  nA  rA .
Линейный оператор А устанавливает изоморфное соответствие между подпространством TA и любым
подпространством M A линейного пространства X, которое в прямой сумме с ядром дает все пространство
X. Любой линейный оператор А порождает целое семейство линейных операторов, каждый из которых на
своей области определения совпадает с А.
Примеры:
1. Пусть в линейном пространстве задан базис. Оператор А ставит каждому вектору x из X его
n

координату с фиксированным номером. Пусть дано X – конечномерное, e1 , e2 ,..., en – базис X, x    i ei ,

A( x)  i .

i 1

2. В евклидовом пространстве Е зафиксируем вектор x0 , а оператор А ставит в соответствие вектору x0
число x  ( x, x0 )
24.2 Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.
Теорема: Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью
преобразования переменных.
Доказательство: Проведем индукцию по числу переменных. Квадратичная форма от xi имеет вид: cii x2i ,
которое уже является каноническим. Предположим, что теорема верна для квадратичной формы от n-1
переменных и докажем, что она верна для квадратично формы от n переменных.
Если f не содержит квадратов переменных, то по лемме 1 ее можно привести к виду, содержащему
квадрат хотя бы одной переменной, по лемме 2 полученную квадратичную форму можно представить в
виде (2). Т.к. квадратичная форма является зависимой от n-1 переменных y1 , y2 ,..., yi 1 , yi 1 ,..., y n , то по
индуктивному предположению она может быть приведена к каноническому виду с помощью линейного
преобразования этих переменных к переменным z1 , z2 ,..., zi 1 , zi 1 ,..., z n , если к формулам этого перехода
еще добавить формулу yi  zi , то мы получим формулы линейного преобразования, которое приводит к
каноническому виду квадратичную форму d ii y2i  g , содержащуюся в равенстве (2). Композиция всех
рассматриваемых преобразований переменных является искомым линейным преобразованием,
приводящим к каноническому виду квадратичную форму (1).
Если квадратичная форма (1) содержит квадрат какой-либо переменной, то лемму 1 применять не нужно.
Приведенный способ называется методом Лагранжа.
От канонического вида c1v12 ...c m v2m , где m  n , c1 , c2 ,..., c m  0 можно перейти к нормальному виду,
1w12   2 w 22 ... m w 2m , где  i  1 , если ci  0 , и  i  1, если ci  0 , с помощью преобразования:
1
1
1
v1 
w1 , v2 
w 2 ,..., v m 
w m , v m1  w m1 ,..., v n  w n .
c1
c2
cm
Пример: Привести к каноническому виду методом Лагранжа квадратичную форму:
f  x12  11x 23  2 x1x 2  4 x1x 3  6x 2 x 3 (1)
Т.к. квадратичная форма f уже содержит квадраты некоторых переменных, то лемму 1 применять не
нужно.
f  ( x12  2 x1x2  4 x1x3 )  11x23  6x2 x3
i  1, c11  1, c12  1, c13  2

y1  c11x1  c12 x 2  c13x 3  x1  x 2  2 x 3

y12  x12  x22  4 x23  2 x1x2  4 x1x3  4 x2 x3

1
 1, f  y12   x 22  7 x 23  2 x 2 x3
c11

y1  x1  x2  2x3
(2)
y2  x2
y3  x3
f  y12  (  y22  7y23  2y2 y3 )

2. g   y22  7y23  2y2 y3
Выделяем члены, содержащие
g  (  y  2y2 y3 )  7y
2
2

y2 :

2
3

i  2, d 22  1, d 23  1
v 2  d 22 y 2  d 23y 3 , v 2   y 2  y 3

v22  y22  y23  2y2 y3

1
 1, g  v22  8y23
d 22

v1  y1
v2   y2  y3 (3)
v3  y3
g   v22  8v23

f  y12  g
f  v12  v22  8v23

(4)
3. Чтобы получить линейное преобразование, непосредственно приводящее форму f к виду (4), найдем
сначала преобразования, обратные преобразованиям (2) и (3).
x1  y1  y 2  2y3

,
x 2  y 2
x  y
3
 3

y1  v1

y 2   v 2  v 3
y  v
3
 3

Теперь, с помощью этих преобразований построим их композицию:
x1  v 1  v 2  3v 3

x 2   v 2  v 3
x  v
3
 3

Если подставить полученные значения (5) в (1), мы сразу же получим представление квадратичной
формы в виде (4).
От канонического вида (4) с помощью преобразования
v  w
1
 1
можно перейти к нормальному виду:
v 2  w 2

1
v 3  2 2 w 3
f  w12  w 22  w 23

Линейное преобразование, приводящее квадратичную форму (1) к нормальному виду, выражается
формулами:
x 1  w 1  w 2  3 w 3
2 2


1
x 2   w 2  2 2 w 3

1

x 3  2 2 w 3

25.1 Линейное пространство линейных операторов.

Рассмотрим два линейных пространства X и Y, заданных над одним и тем же полем Р и рассмотрим
множество всех линейных операторов, действующих из X в Y и обозначим его WXY .
Определение:
Пусть A WXY , B WXY. Будем говорить, что A  B  (x X)(A( x)  B( x)) .
Оператор C WXY называется суммой А и В и обозначается C  A  B, если (x X)(C( x)  A( x)  B( x)) .
Теорема 2: Множество WXY относительно введенной операции сложения является абелевой группой.
Доказательство:
1. Замкнутость. Пусть A WXY , B WXY . Рассмотрим C  A  B.

(x1 , x2 X)(1 , 2 P)(C(1x1  2 x2 )  A(1x1  2 x2 )  B(1x1  2 x2 ) 
 1A( x1 )  2A( x2 )  1B( x1 )  2 B( x2 )  1 (A( x1 )  B( x1 ))  2 (A( x2 )  B( x2 ))  1C( x1 )  2C( x2 ) .
Таким образом C WXY .

2. Ассоциативность.
(A  B)( x)  C( x)  (A( x)  B( x))  C( x)  A( x)  ( B( x)  C( x)) 
 A( x)  ( B( x)  C( x))  A( x)  ( B  C)( x)
3. Нейтральным элементом является нулевой оператор.
(A  0)( x)  A( x)  0( x)  A( x)
4. Симметричным элементом будет противоположный оператор.
(A  (A))( x)  A( x)  (A)( x)  A( x)  A( x)  0( x)
5. Коммутативность.
(A  B)( x)  A( x)  B( x)  B( x)  A( x)  ( B  A)( x)
Определение: Оператор D: X  Y называется произведением  A и обозначается
D    A  (x X)( D( x)    A( x)) .
Теорема : Относительно операций сложения линейных операторов и умножения линейных операторов
на элемент поля множество WXY является линейным пространством.
Доказательство сводится к проверке аксиом линейного пространства.
25.2 Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенная квадратичная форма.
Одну и ту же квадратичную форму можно привести к каноническому виду несколькими способами, но
число членов с положительными коэффициентами, также, как и число членов с отрицательными
коэффициентами во всех канонических формах квадратичной формы будет одинаковым. Это свойство
называется законом инерции квадратичных форм, т.е. справедлива теорема:
Если данная квадратичная форма f ( x1 , x 2 ,..., x n ) с помощью двух различных линейных преобразований
приводится к каноническому виду, то число положительных коэффициентов при квадратах новых
переменных, также, как и число отрицательных, в обоих случаях будет одним и тем же.
26.1 Кольцо операторов.
Рассмотрим три линейных пространства X, Y, Z над одним и тем же полем Р. Пусть линейный оператор
A: X  Y , B: Y  Z. Отображение С, действующее из X в Z, называется произведением операторов В и А
и обозначается C  B A, если (x  X)(C( x)  B(A( x))) .
Покажем, что отображение С является линейным оператором.

(1 ,  2  P)(x1 , x 2  X)(C(1x1   2 x 2 )  B(A(1x1   2 x 2 )) 
 B(1A( x1 )   2 A( x 2 ))  1  B(A( x1 ))   2  B(A( x 2 ))  1  C( x1 )   2  C( x 2 )

Заметим, что введенная операция умножения не является алгебраической, поскольку произведение
операторов определено не для каждой пары, но в случае, когда о произведении операторов говорить
имеет смысл, справедливы следующие свойства:
1. (A  B)  C  A  ( B  C)
2.   ( B  A)  (  B)  A  B  (  A)
3. (A  B)  C  AC  BC
4. A( B  C)  AB  AC

Эти свойства выполняются для A, B, C и  P.
Доказательство: Пусть C: X  Y, B: Y  Z, A: Z  U , x  X и поскольку
((A  B)  C)( x)  (AB)(C( x))  A( B(C( x)))
(A  ( B  C))( x)  A  ( B  C)( x)  A( B(C( x))) ,
то первое свойство доказано. Аналогично доказываются остальные свойства.
Рассмотрим множество WXX всех линейных операторов, действующих из X в X. Тогда для любых двух
операторов, принадлежащих WXX , определена и сумма и произведение. Согласно свойствам 3 и 4, обе эти
операции связаны дистрибутивными законами, кроме того, умножение ассоциативно, существует
единичный оператор (Е), относительно сложения это множество – абелева группа., следовательно,
справедлива теорема.
Теорема : Множество WXX является ассоциативным кольцом с единицей.
Определение: Если для некоторых элементов А и В из множества WXX выполняется A  B  B  A , то
операторы А и В называются перестановочными, или коммутативными. В частности, единичный
оператор перестановочен с любым оператором.
Так как кольцо линейных операторов WXX является также и линейным пространством, то для разности
двух линейных операторов справедлива формула: A  B  A  (1)  B.
26.2 Положительно определенные квадратичные формы.
Число всех ненулевых членов в каноническом виде квадратичной формы называется рангом этой
квадратичной формы. Число положительных членов называется ее положительным индексом.
Практически возможно найти ранг и положительный индекс квадратичной формы.
Квадратичная форма называется положительно определенной, если при любых, неравных одновременно
нулю значениях переменных, ее значение положительно.
Пример:
1. 2x12  3x 22 – положительно определенная квадратичная форма.
2. x12  2x1 x 2  x 22 – не является положительно определенной квадратичной формой.
Справедлива теорема:
Для того, чтобы квадратичная форма от n переменных была положительно определена, необходимо и
достаточно, чтобы ее положительный индекс равнялся n.
Имеет место критерий Сильвестра.
Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры ее
матрицы положительны.

27.1 Группа невырожденных операторов.
Определение: Линейный оператор A WXX называется невырожденным, если его ядро состоит только из
нулевого вектора. В противном случае оператор называется вырожденным.
Примеры:
1. Тождественный оператор является невырожденным.
2. Скалярный оператор при   0 является невырожденным оператором.
3. Произвольный линейный оператор A: X  X раскладывает X  N A  TA . Оператор А порождает новый
оператор, A': TA  TA . Оператор A' определяется по такому правилу: на своей области определения он
совпадает с оператором А. ( A' – сужение А на TA ). A' – невырожденный оператор.
Для невырожденных операторов дефект равен 0, а так как:
dimX  m  rA  n A , следовательно, для невырожденных линейных операторов, действующих из X в X,
ранг совпадает с размерностью всего пространства X. Если оператор A WXX является невырожденным,
следовательно, TA  X , т.е. любой вектор линейного пространства X является образом некоторого
вектора из этого же пространства, т.е. невырожденный оператор всегда является сюръективным
отображением.

Важным свойством невырожденного оператора является единственность прообраза для любого вектора
x  X. В самом деле, если A( x1 )  x, A( x 2 )  x , то A( x1  x 2 )  A( x1 )  A( x 2 )  0 , x1  x 2 .
Таким образом, множество невырожденных операторов, принадлежащих WXX – множество
изоморфизмов, действующих из X в X.
Рассмотрим WXX , пусть W WXX – множество всех невырожденных операторов.
Теорема 5: Множество W является группой по умножению.
Доказательство: Проверим справедливость аксиом группы.
1. Замкнутость. Нужно показать, что произведение двух невырожденных операторов есть
невырожденный оператор.
Пусть A, B W. Рассмотрим x  X.
(A  B)( x)  0  A( B( x))  0  B( x)  0  x  0

2. Ассоциативность уже доказана для любых линейных операторов.
3. Существование нейтрального элемента. Тождественный оператор Е, выполняющий роль единицы
относительно операции умножения операторов, очевидно, невырожден.
4. Существование обратного. Пусть A W, A( x)  y , тогда положим, что A 1 ( y)  x . Так как оператор А
– изоморфизм, то А – биективное отображение X на X, и, в частности, оно сюрьективно, следовательно,
оператор A 1 – определен. Так как А – инъективен, то A 1 – также является отображением.
Докажем, что A 1 – линейный и невырожденный оператор.
Покажем сначала, что A  A 1  A 1  A  E : y :
(A  A 1 )( y)  A  (A 1 ( y))  A( x)  y
(A 1  A)( x)  A 1  (A( x))  A 1 ( y)  x

Покажем, что A 1 – линейный оператор.
Для ( ,   P)(x , x  X)( z  A ( x   x )   A
1

1

2

1

2

1

1

2

2

1

1

( x1 )   2 A 1 ( x 2 ))

A( z)  A(A 1 (1 x1   2 x 2 )  1A 1 ( x1 )   2 A 1 ( x 2 ))   (A  A 1 )(1 x1   2 x 2 )  1 (A  A 1 )( x1 )   2 (A  A 1 )( x 2 ) 
 1 x1   2 x 2  1 x1   2 x 2  0 Так как А – невырожденный, то A( z)  0  z  0 
A 1 (1 x1   2 x 2 )  1A 1 ( x1 )   2 A 1 ( x 2 ) .

Осталось показать, что A 1 – невырожденный.
Рассмотрим y  N A 1  A 1 ( y)  0 . A(A 1 ( y))  A( 0)  0 , y  0 .

Пусть A WXX . Для любого целого положительного числа p можно говорить о степени:
A P  A  A  A...A . Для любых целых положительных p и q: A p  A q  A pq . По определению будем
считать, что A 0  E .
Пусть А – невырожденный оператор, тогда для любого целого положительного числа r, A r – тоже
невырожденный оператор, а тогда для него существует обратный оператор:
(A r ) 1  (A 1 ) r  A 1  A 1 ...
По определению положим, что A  r  (A 1 ) r .
Рассмотрим произвольный невырожденный оператор А и множество WA  {A p | p  Z}. Произведение любых
двух элементов из множества WA является элементом из этого же множества, т.е. это множество замкнуто
относительно операции умножения операторов, выполняются все аксиомы группы и эта группа – абелева.
Все элементы этой группы являются степенями фиксированного элемента А, поэтому WA – циклическая
группа, порожденная оператором А.
27.2
Квадрики в аффинном пространстве
Квадрикой в аффинном пространстве называется множество точек, координаты которых в
некоторой аффинной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени:

где ,
Теорема 113. Если множество точек задано в некоторой аффинной системе координат уравнением
второй степени, то оно будет определятся уравнением второй степени и в любой другой аффинной
системе.
Доказано при переходе от уравнения (1) к уравнению от новых переменных при котором формы (3)
в § 84 (или обратных им формы при обратном переходе от к ) степень уравнения не может ни
увеличиваться, ни уменьшаться.
Теорема 114. При соответствующем выборе аффинной системы координат уравнение любой
квадрики может быть приведено к одному из следующих видов:

,



Определение. Уравнения (2) – (4) называются нормальными видами уравнения квадрики.
Определение. Точка S называется центром симметрии (центром квадрики),
симметрична любой точке квадрики относительно S, тоже принадлежит квадрике.

если

точка

Теорема 115. Если уравнение квадрики имеет вид (2) или (3), то S(), для которой является центром
квадрики, m n.
Следствие. Все точки -мерной плоскости Пn-m, имеющей общее уравнение , (5) являются центрами
квадрики (2) или (3); других центров квадрика не имеет.
Теорема 116. Квадрика вида (4) не имеет центров.
Согласно теоремам 115 и 116 для любой квадрики имеет место один и только один из следующих
трех случаев:
1. либо квадрика не имеет центра;
2. либо квадрика имеет бесконечное множество центров, являющееся плоскостью центров Пn-m;
3. либо квадрика имеет единственный центр – точку S (тогда она называется центральной).
28.1 Прямая сумма линейных пространств. Теорема об эквивалентности условий представления
пространства в виде прямой суммы подпространств.


Related documents


inl mningsuppgift 2 instruktioner
physik formelsammlung 2010
declarations 1 image marked
tg   va ha 11x23 et35 nb 741
tg   va ha 11x23 et35 va ds 5mm nb 741 ha ds 30mm nb 726
formul rio

Link to this page


Permanent link

Use the permanent link to the download page to share your document on Facebook, Twitter, LinkedIn, or directly with a contact by e-Mail, Messenger, Whatsapp, Line..

Short link

Use the short link to share your document on Twitter or by text message (SMS)

HTML Code

Copy the following HTML code to share your document on a Website or Blog

QR Code

QR Code link to PDF file 2.pdf