PDF Archive

Easily share your PDF documents with your contacts, on the Web and Social Networks.

Share a file Manage my documents Convert Recover PDF Search Help Contact



LaTeX .pdf


Original filename: LaTeX.pdf

This PDF 1.5 document has been generated by TeX / MiKTeX pdfTeX-1.40.14, and has been sent on pdf-archive.com on 25/02/2014 at 00:27, from IP address 89.71.x.x. The current document download page has been viewed 787 times.
File size: 79 KB (2 pages).
Privacy: public file




Download original PDF file









Document preview


I. Przestrzeń n-wymiarowa - Formy liniowe i dwuliniowe

Wyraźmy iloczyn skalarny dwóch wektorów x i y przez ich współrzędne ξ1 , ξ1 ,..., ξn i
η1 , η2 , ... , ηn w unormowanej bazie ortogonalnej. Mamy
x = ξ1 e1 + ξ2 e2 + ... + ξn en

i

y = η1 e1 + η2 e2 + ... + ηn en .

Wówczas
(x, y) = (ξ1 e1 + ξ2 e2 + ... + ξn en , η1 e1 + η2 e2 + ... + ηn en ) = ξ1 η 1 + ξ2 η 2 + ... + ξn η n .
(Por. przykład 1 tego paragrafu)
Wyraźmy współrzędne ξ1 wektora x w unormowanej bazie ortogonalnej przez wektory
bazy i przez sam wektor x. Mamy
x = ξ1 e1 + ξ2 e2 + ... + ξn en .
Mnożąc skalarnie obie strony równości przez ei otrzymamy
(x, ei ) = ξ1 (e1 , ei ) + ξ2 (e2 , ei ) + ... + ξi (ei , ei ) + ... + ξn (en , ei ) ,
czyli
(x, ei ) = ξi .
Tak samo jak w § 3 dowodzi się, że wszystkie przestrzenie euklidesowe zespolone o
danym wymiarze n są izomorficzne.
4. Formy dwuliniowe i formy kwadratowe. Wszystkie określenia (funkcji liniowej,
formy kwadratowej itd.) wprowadzone w § 4 (z wyjątkiem pojęcia dodatniej określoności)
mają sens dla przestrzeni liniowej nad dowolnym ciałem, w tym także nad ciałem liczb
zespolonych. Jednakże w przypadku przestrzeni liniowej zespolonej można jeszcze inaczej
wprowadzić te pojęcia; dla nas ten drugi sposób będzie istotniejszy.
Funkcje liniowe pierwszego i drugiego rodzaju. Funkcję przyporządkowującą
każdemu wektorowi liczbę zespoloną nazywamy funkcją liniową pierwszego rodzaju, jeżeli
spełnia ona następujące warunki:
1o
2o

f (x + y) = f (x) + f (y) ,
f (λx) = λf (x) .

To określenie pokrywa się z określeniem funkcji liniowej danym w § 4.
Funkcją liniową drugiego rodzaju nazywamy funkcję spełniającą warunki
1o
2o

f (x + y) = f (x) + f (y) ,
f (λx) = λf (x) .

Tak samo jak w § 4 można wykazać, że każdą funkcję liniową pierwszego rodzaju
można zapisać w postaci
f (x) = a1 ξ1 + a2 ξ2 + ... + an ξn ,
gdzie ξi są współrzędnymi wektora x w bazie e1 , e2 , ..., en , a ai są to stałe, ai = f (ei ).
Natomiast każdą funkcję liniową drugiego rodzaju można zapisać w postaci
1

f (x) = b1 ξ 1 + b2 ξ 2 + ... + bn ξ n .
Jest jasne, że jeżeli f (x) jest funkcją liniową pierwszego rodzaju, to f (x) jest funkcją
liniową drugiego rodzaju.
Zgodnie z przyjętym wyżej określeniem (ustęp 2, § 4), funkcją dwulinoową nazywamy
funkcję dwóch wektorów A(x; y) liniową ze względu na każdy z argumentów. Istnienie w
przestrzeni zespolonej dwóch typów funkcji liniowych prowadzi do istnienia aż czterech
typów funkcji dwuliniowych: liniowych pierwszego rodzaju ze względu na x i ze względu
na y, pierwszego rodzaju ze względu na x, a drugiego rodzaju ze względu na y, drugiego
rodzaju ze względu na x i pierwszego rodzaju ze względu na y i wreszcie drugiego rodzaju
ze względu na oba argumenty. Trzeci i czwarty typ są zespolone sprzężone odpowiednio z
typem drugim i pierwszym, a funkcje dwuliniowe typu pierwszego określa się w przestrzeni
zespolonej dosłownie tak samo jak w przestrzeni rzeczywistej. Dlatego zajmiejmy się bliżej
tylko formami dwuliniowymi drugiego typu. Formy te będziemy dalej nazywać krótko
formami dwuliniowymi. Wprowadzimy następujące określenie.
Określenie 1. Będziemy mówili, że A(x : y) jest funkcją (formą) dwuliniową wektorów
x i y, jeżeli
1o A(x; y) przy ustalonym y jest funkcją liniową pierwszego rodzaju wektora x;
2o A(x; y) przy ustalonym x jest funkcją liniową drugiego rodzaju wektora y.
Albo też, ujmując to wzorami:
1o

A(x1 + x2 py) = A(x1 ; y) + A(x2 ; y) ,
A(λx; y) = λA(x; y) ,

2o

A(x; y1 + y + 2) = A(x; y1 ) + A(x; y2 ) ,
A(x; µy) = µA(x; y) ,

Przykładem funkcji dwuliniowej jest iloczyn skalarny w przestrzeni euklidesowej zespolonej
A(x; y) = (x, y) ,
traktowany jako funkcja wektorów x i y. Innym przykładem formy dwuliniowej w przestrzeni zespolonej jest wyrażenie
A(x; y) =

n
P

aik ξi η k ,

i,k=1

traktowane jako funkcja wektorów
x = ξ1 e1 + ξ2 e2 + ... + ξn en
i
y = η1 e1 + η2 e2 + ... + ηn en .
Łatwo sprawdzić, że warunki określające funkcję dwuliniową są przy tym spełnione.

2


LaTeX.pdf - page 1/2
LaTeX.pdf - page 2/2

Related documents


latex
teoria do kol 3
20 02 16
pytania egzaminacyjne
wywy szona pozycja 1
ma e gry w treningu pi ki no nej


Related keywords