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www.elektrotechnik-cau.de

Vorlesungsmitschrift
von Torsten Krause
zur Vorlesung Mathematik für Ingenieure I – III
bei Priv.-Doz. Dr. rer. nat. Peter Klopsch
WS 2005/06 – WS 2006/07

www.elektrotechnik-cau.de
Vorlesungsmitschrift
von Torsten Krause
zur Vorlesung Mathematik für Ingenieure I – III
bei Priv.-Doz. Dr. rer. nat. Peter Klopsch
WS 2005/06 – WS 2006/07.

Vorwort
Mitschrift zur Vorlesung „Mathematik für Ingenieure I“ (Wintersemester 05/06) von
Torsten Krause
auf Basis der Vorlesung von
Priv.-Doz. Dr. rer. nat. Peter Klopsch.
Das bedeutet, dass dieses Script nicht einhundertprozentig der Vorlesung entspricht. Ich ändere einige
Stellen so um, wie ich es für sinnvoll halte; soweit ich – ein einfacher Student – dies beurteilen kann. So
versuche ich z.B. Wiederholungen und Anmerkungen an den entsprechenden Stellen einzuarbeiten.
Fehler und Verbesserungsvorschläge bitte an zoidberg.tk@gmx.de
Für den Inhalt wird selbstverständlich keine Haftung übernommen. Zumal sich sowohl beim Mitschreiben in der Vorlesung, als auch beim Abschreiben am heimischen PC kleinere (und größere) Fehler
einschleichen könnten. Aus diesem Grund bitte ich alle, die einen Fehler finden oder auch nur vermuten,
eine kurze Nachricht an die oben genannten eMail-Adresse zu schicken. Ein herzlicher Dank soll an
dieser Stelle an
Jana Bork
gehen, die wie bereits im letzten Semester, stets sehr sorgfältig Korrektur liest. Zwar bin ich immer bemüht, das Script noch am Tag der entsprechenden Vorlesung in aktualisierter Fassung bereitzustellen,
doch kann selbstverständlich nicht immer gewährleistet werden, dass bereits eine gründliche Fehlerkorrektur durchgeführt wurde. Aus diesem Grund empfiehlt es sich, das Script immer mit ein paar Tagen
Verzögerung zu drucken. Als Anhaltspunkt notiere ich an dieser Stelle immer das Datum der letzten
Änderungen.
Gründliche Korrektur bis Abschnitt (I.9.31) und (II.6.6).
Letzte Änderung: 25. November 2006.

3

Vorwort

4

Inhaltsverzeichnis
Vorwort

3

I

Analysis

15

0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.10
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18

Mengen und Abbildungen
Elementbeziehung (∈-Relation) . . . . . . . . . . . . . .
Teilmengenbeziehung (Inklusion) . . . . . . . . . . . . .
Gleichheitsprinzip (Extensionalitätsprinzip) . . . . . . .
Aussonderungsprinzip (Komprehensionsprinzip) . . . . .
Definition: Leere Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Vereinigungsmenge . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Schnittmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Differenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Potenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Mächtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Geordnete Paare . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . .
Definition: n-Tupel, n-faches kartesisches Produkt . . . .
Definition: Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Begriffe im Zusammenhang mit Abbildungen
Definition: Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Russellsche Antinomie . . . . . . . . . . . . . . .
Satz von Kuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18

Eigenschaften der reellen Zahlen
Die Körpereigenschaften von R . . . . . . . . . . . . .
Satz: Erste Folgerungen aus den Körpereigenschaften .
Definition: Subtraktion und Division . . . . . . . . . .
Satz: Weitere Folgerungen aus den Körpereigenschaften
Die Anordnungseigenschaften von R . . . . . . . . . . .
Satz: Folgerungen aus den Anordnungseigenschaften . .
Definition: Betrag und Vorzeichen einer reellen Zahl . .
Satz: Rechenregeln für Beträge . . . . . . . . . . . . .
Definition: Maximum und Minimum . . . . . . . . . .
Definition: Obere Schranke und Untere Schranke . . .
Definition: Supremum und Infimum . . . . . . . . . . .
Die Eigenschaft der√Vollständigkeit von R . . . . . . .
Satz: Existenz von 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: ε-Kriterium des Supremums / Infimums . . . . .
Satz von Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Vollständigkeit der reellen Zahlen nach unten . .
Satz: Wohlordnungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Q und R \ Q liegen „dicht“ in R . . . . . . . . . .

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21
21
22
22
23
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26
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31
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33
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40
40
41
43
43
44
44
44

5

Inhaltsverzeichnis
Einschub: Logische Symbole und Beweismethoden

47

2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5

Vollständige Induktion, Potenzen, binomische Formel, Wurzeln
Prinzip der vollständigen Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Rechenregeln für Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Bernoullische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Fakultät, Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . .
Zwischenbemerkung: Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Satz: Binomische Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Satz: Dritte binomische Formel und geometrische Summenformel
2.8 Satz, Definition: p-te Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Satz: Rechenregeln für Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Satz: Monotonie der Wurzelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Bemerkung zur Monotonie der Wurzelfunktion . . . . . . . . . . .
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18

3.19
3.20
3.21
3.22
3.23
3.24
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8

6

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51
51
53
53
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55
56
56
57

Konvergenz
Definition: Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Konvergenz / Divergenz . . . . . . . . . . .
Satz: Eindeutigkeit des Grenzwertes . . . . . . . . . . .
Definition: Schranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Jede konvergente Folge in R ist beschränkt . . . .
Satz: Multiplikation mit Nullfolgen . . . . . . . . . . .
Satz: Vergleich von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Einschnürung von Folgen . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Betragsfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Grenzwertregeln für Folgen . . . . . . . . . . . .
Definition: Teilfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Konvergenz von Teilfolgen . . . . . . . . . . . . .
Definition: Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Konvergenz von monotonen, beschränkten Folgen
Satz, Definition: Die Eulersche Zahl e . . . . . . . . .
Satz: Monotone Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz von Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . .
Zwischenbemerkung: Geometrisches und arithmetisches
Zwischenbemerkung: Rekursive Folgendefinition . . . .
Definition: Cauchy-Folge . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Konvergenzkriterium von Cauchy . . . . . . . .
Zwischenbemerkung: Die erweiterte reelle Achse R . . .
Definition: Uneigentlicher Grenzwert . . . . . . . . . .
Satz: Wunderformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Grenzwertregeln für uneigentliche Grenzwerte . .
Satz: Grenzwert monotoner Folgen . . . . . . . . . . .

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Mittel
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64
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67
67
67
68
69
70
70
71
73
74
76
76
77
77
78

Komplexe Zahlen, Folgen und Reihen
Die Körpereigenschaften von C . . . . . . . .
Definition: Die imaginäre Einheit i . . . . . .
Satz, Definition: Realteil, Imaginärteil . . . .
Satz: Rechenregeln für komplexe Zahlen . . .
Zwischenbemerkung: Geometrische Bedeutung
Satz: Komplexe Wurzel . . . . . . . . . . . . .
Definition: Komplexe Wurzel . . . . . . . . . .
Definition: Komplexer Grenzwert . . . . . . .
Satz: Rechenregeln für komplexe Grenzwerte .

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79
80
80
81
83
83
84
85
85

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von C
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Inhaltsverzeichnis
Zwischenbemerkung: Anordnung von C . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz über geometrische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Monotoniekriterium für reelle Reihen . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Cauchysches Konvergenzkriterium für reelle Reihen . . . . . .
Satz: Konvergenzkriterium von Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Grenzwertregeln für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Dreiecksungleichung für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz, Definition: Majorantenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Wurzelkriterium von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Quotientenkriterium von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Grenzwertformen für das Wurzel- und das Quotientenkriterium
Definition: Cauchy-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz über das Cauchy-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zwischenbemerkung: Injektiv, Surjektiv und Bijektiv . . . . . . . . .
4.25 1. Umordnungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.26 2. Umordnungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24

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100
101
102
102

5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8

Exponentialfunktion, Sinus, Kosinus
Satz, Definition: Komplexe Exponentialfunktion . . .
Satz: Eigenschaften der Exponentialfunktion . . . . .
Satz: Reelle Exponentialfunktion . . . . . . . . . . .
Definition: Komplexe Potenzen von e . . . . . . . . .
Definition: Sinus, Kosinus . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: Eigenschaften von Sinus und Kosinus . . . . . .
Definition: Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus
Satz: Eigenschaften der Hyperbelfunktionen . . . . .

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112
112

6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9

Stetigkeit reeller Funktionen
Definition: Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Berührungspunkt . . . . . . . . . . . . .
Definition: Funktionengrenzwert . . . . . . . . . . .
Satz: Grenzwertregeln für Funktionen . . . . . . . .
Definition: Uneigentlicher Grenzwert . . . . . . . .
Satz: ε/δ-Kriterium für Funktionsgrenzwerte . . . .
Definition: Lokale und globale Stetigkeit . . . . . .
Satz: Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
Satz: ε/δ-Kriterium der Stetigkeit . . . . . . . . . .
Zwischenbemerkung: Gleichmäßige Stetigkeit . . . .
Satz: Vorstufe zum Zwischenwertsatz . . . . . . . .
Satz: Zwischenwertsatz von Bolzano . . . . . . . .
Satz vom Maximum und Minimum (Extremalsatz)
Satz: Intervalle auf stetigen Funktionen . . . . . . .

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126
127

Einschub: Ergänzungen zum Abbildungsbegriff
Satz, Definition: Umkehrfunktion . . . . . . . .
Definition: Kompositum von Abbildungen . . .
Satz: Bijektionskriterium . . . . . . . . . . . . .
Satz: Lokale Stetgkeit eines Kompositums . . .
Satz: Globale Stetgkeit eines Kompositums . . .

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