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Économie et management.
Licence 2.
Microéconomie 3.
Année
2014 - 2015
Chapitre :
Équilibre général
de Walras
Robert Jordan.
→ Agents de l'économie : aucune influence individuellement.
→ Système de prix : permettant de réaliser des échanges.
→ Conduisant à un état réalisable de l'économie.
→ Augmentation de la taille de l'économie : diminution des contrats.
→ Économie plus concurrentielle.
→ Théorie du noyau : branche de la théorie des jeux (jeux coopératifs).
→ Ré-allocation (x) : remise en cause par aucune alliance de l'économie.
→ Équilibre en concurrence pure et parfaite.
→ Limite de la courbe des contrats lorsque le nombre des agents devient grand.
→ Processus d'échangé réalisé à des prix annoncés et donnés pour tout les consommateurs.
→ Agents : price-takers.
→ Prix donnés par un commissaire-priseur.
→ Équilibre de Walras : allocation des ressources socialement efficace.
→ Équilibre général de Walras : définition.
h= n
i =l
→ {(x h )}h = 1 et {(pi )}i = 1 forment un équilibre de Walras : deux conditions.
→ (x h) : état réalisable de l'économie.
→
n
n
h= 1
h =1
∑ xhi ≤ ∑ ehi
∀ i = 1, ... , l .
→ (x h) : équilibre pour le consommateur h = 1 à n .
→ (x h)≥(x h) ∀ (x h) ∈ Bh (p , (e h)) .
→ Application : deux consommateurs et deux biens.
→ Préférences convexes et monotones avec
→
(e 1) = (e 11 , e12)
.
(e 2) = (e 21 , e22)
x = {(x 11 , x 12) , ( x21
, x 22)}
.
p = (p1 , p2 )
→ Pente de la droite joignant x à e
:
p1
.
p2
→ Droite représentant une contrainte de budget pour chaque consommateur.
p x + p2 x 12 = p1 e11 + p2 e 12
→ 1 11
.
p1 x 21 + p2 x 22 = p1 e21 + p2 e 22
→ Réalisation de l'échange : deux conditions.
→ Échange d'un état réalisable vers un autre état réalisable.
→ Ré-allocation des ressources réalisable.
→ Vérifiant les contraintes de budget.
→ x
: tous les consommateurs sont au moins aussi bien qu'au point de dotation initiale.
→ Économie décentralisé : raisonnement en terme de niveau d'échange (et non de niveau de
satisfaction).
→ Demande nette de chaque consommateur : zhi .
→ Par définition : zhi = x hi −e hi .
→ Trois possibilités.
→ zhi > 0 : demandeur net de bien sur le marché.
→ zhi > 0 : non-consommation ou dotation initiale convenable.
→ zhi < 0 : offreur net de bien sur le marché.
→ Application précédente.
z <0
z >0
→ 11
et 21
.
z12 > 0
z22 < 0
→ p1 z11 + p2 z12 = 0 .
→ Montant des dépenses effectuées en allant sur le marché du bien 2 .
→ Ne pouvant excéder la recette de la vente sur le marché du bien 1 .
→ z11 et z12 : nécessairement de signe alternés.
l
→
∑ p i zhi = 0
∀h .
i =1
→ Propriétés : demandes nettes.
→ zhi (p , (e h)) = Χ hi (p , R h )−ehi .
l
→ Or, dans une économie d'échange : R h = ∑ p i e hi .
i =1
l
→ zhi (p , (e h)) = Χ hi (p ,
→
dzhi
dp j
∑ pi ehi)−e hi
.
i= 1
: redéfinition de la propriété de substituabilité ∀ i ≠ j .
dzhi dx hi
dx hi
=
+
e .
→
dp j
dpj
dR h hj
→ Propriété : biens i et j substituts bruts.
dzhi
≥0 .
→ Si :
dp j
dzhi
≥0 .
dp j
dx hi
dx hi
>0 ;
> 0 et ehj ≥0 .
→
dp j
dR h
→ Réciproque fausse.
→ Bien normal :
n
: Zi (p ) = ∑ zhi = 0 .
→ Demande excédentaire de bien i
→
n
n
h= 1
h= 1
h= 1
∑ x hi = ∑ e hi
∀ i = 1, ... , l .
n
→ Condition générale d'un état réalisable : Zi (p )≤0 ∀ i = 1, ... , l <=>
∑ zhi ≤0
.
h= 1
→ Trouver le système de prix menant à l'équilibre de Walras.
→ Vérification des prix : vérifiant Zi (p )≤0 .
→ Système de tâtonnement.
→ Propriétés fondamentales de Zi (p ) : deux.
→ Homogène de degré 0 par rapport aux prix : Zi (p) = Zi (λ p) ∀ i ∀ λ > 0 .
l
→ Loi de Walras :
∑ p i Zi (p) = 0
.
i =1
→ Homogène de degré 0 par rapport aux prix : Zi (p) = Zi (λ p) ∀ i ∀ λ > 0 .
n
Zi (p) = ∑ zhi (p)
h= 1
→ Démonstration :
n
Zi (p) = ∑ [Χ h (p , R h)−e hi ]
.
h =1
n
Zi (p) = ∑ [Χ h (p ,
h =1
n
∑ pi e hi)−e hi]
h= 1
→ Zi (p )≤0 ∀ i = 1, ... , l .
→ Préférences monotones : Zi (p ) = 0 .
l
→ Système pas totalement déterminé :
∑ p i Zi (p) = 0
.
i =1
→ l −1 équations indépendantes : formant le système d'équation.
→ p1 z1 + p2 z2 + ... + p l zl = 0 .
→ Si ∀ i = 1, ... , l−1 condition vérifiée.
→ Alors : dernière condition forcément vérifiée.
→ Zi (λ p ) = 0 ∀ λ > 0 .
→ Système de prix d'équilibre : à une multiplication λ près.
→ Vrai du fait de l'homogénéité de degré 0 par rapport aux prix.
→ Zi (p1, ... , pi , ... , pl ) = Z i (λ p1, ... , λ pi , ... , λ pl ) .
1
→ λ=
.
pl
p
p
→ Expression en prix relatifs : Zi ( 1 , ... , i , ... , 1) .
pl
pl
→ Résolution du problème de Walras : possible.
→ À l'équilibre : deux possibilités.
→ Si Zi (p ) = 0 : alors pi > 0 .
→ Bien rare.
→ Si Zi (p ) < 0 : alors pi = 0 .
→ Bien libre.
→ Démonstration : par la loi de Walras.
l
→
∑ pi xi = 0
i =1
.
→ Application.
→ Deux consommateurs : mêmes préférences.
→ Deux biens.
a
1− a
→ U h = x h1 . x h2
∀ h = {1 , 2} 0 < a < 1 .
→ Dotations : (e h) = (eh1 , e h2 )
→ Demandes de bien :
xh1
=a
Rh
p1
Rh
x = (1−a)
p2
.
h2
→
a
1 −a
Max U h = x h1 . x h2
.
S / C p1 x h1 + p 2 x h2 ≤R h
→ Préférences monotones : p1 e h1 + p2 eh2 = R h .
xh1
=a
p1 e h1 + p2 eh2
p1
.
p1 e h1 + p2 eh2
x h2 = (1−a)
p2
p
e
+
p
2 e h2
zh1
= a 1 h1
−e h1
p
1
→ Demandes nettes :
.
p1 e h1 + p2 eh2
zh2 = (1−a)
−eh2
p2
→ Demandes de bien :
Z1 (p1 , p2) = z11 + z21
.
Z2 (p1 , p2) = z12 + z22
p E + p2 E2
Z1 (p1, p2 ) = a 1 1
−E1 ≤0
p1
E = e11 + e21
→
avec 1
.
p1 E 1 + p2 E2
E2 = e12 + e22
Z2 (p1, p2) = (1−a)
−E 2 ≤0
p2
a p2 E 2 −(1− a) p1 E 1
Z1 (p1, p 2) =
≤0
p1
→
.
(1 −a) p1 E1 −a p 2 E2
Z2 (p1, p2) =
≤0
p2
→ Demandes excédentaires :
Z1 = 0
.
Z2 = 0
p1
p1
a E2
→ Trouver le prix relatif ( ) : ( ) =
.
p2
p2
(1 −a) E1
→ Bien 2 : numéraire.
→ À l'équilibre général de Walras :
→ Z1 et Z2 homogènes de degré 0 par rapport aux prix :
Z1 (
p1
, 1) = 0
p2
.
p1
Z2 ( , 1) = 0
p2
pi
= cst .
pj
→ Zi (α p) = Zi (p) ∀ α > 0 : car homogène de degré 0 par rapport aux prix.
1
→ α= l
.
→ Règle de normalisation :
∑ pi
i=1
→ Zi (p1, p2) = Z i (
p1
p2
,
) .
p1 + p2 p1 + p2
l
→ Condition supplémentaire : Zi (p1, ... , pi , ... , pl ) avec
∑ pi = 1
.
i =1
→ Numéraire : étalon composite comprenant une unité de chaque bien.
Z1 (p1, p2)≤0
Z (p , 1−p 1) = Z1 (p1)
→ Z2 (p1, p2)≤0 : soit 1 1
.
Z2 (1 −p2 , p 2) = Z2 (p2)
p1 + p2 = 1
→ Demandes excédentaires : fonctions continues.
→ Rapport des prix : dépendant uniquement (dans ce cas) des quantités totales de biens disponibles.
p
a E2
→ ( 1) =
.
p2
(1 −a) E1
→ Différentes règles de normalisation.
p2 = 1
→
.
a E2
p1 =
(1−a) E 1
→ p1 + p2 = 1 .
a E2
p1 =
a E2 +(1− a) E1 .
→
(1− a) E 1
p2 =
a E2 +(1− a) E1
→ Échange au prix : (
→
x11
= a (e11 +(
p1
a E2
) =
.
p2
(1 −a) E1
p2
) e12 )
p1
p1
x = (1−a) (( ) e11 + e12)
p2
.
12
→ Prix d'équilibre : indépendant de la répartition initiale des ressources entre les consommateurs.
Equilibre Général de Walras.pdf (PDF, 200.77 KB)
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