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Économie et management.
Licence 2.
Microéconomie 3.

Année
2014 - 2015

Chapitre :
Équilibre général
de Walras

Robert Jordan.

→ Agents de l'économie : aucune influence individuellement.
→ Système de prix : permettant de réaliser des échanges.
→ Conduisant à un état réalisable de l'économie.
→ Augmentation de la taille de l'économie : diminution des contrats.
→ Économie plus concurrentielle.
→ Théorie du noyau : branche de la théorie des jeux (jeux coopératifs).
→ Ré-allocation (x) : remise en cause par aucune alliance de l'économie.
→ Équilibre en concurrence pure et parfaite.
→ Limite de la courbe des contrats lorsque le nombre des agents devient grand.
→ Processus d'échangé réalisé à des prix annoncés et donnés pour tout les consommateurs.
→ Agents : price-takers.
→ Prix donnés par un commissaire-priseur.
→ Équilibre de Walras : allocation des ressources socialement efficace.
→ Équilibre général de Walras : définition.
 h= n
 i =l
→ {(x h )}h = 1 et {(pi )}i = 1 forment un équilibre de Walras : deux conditions.
→ (x h) : état réalisable de l'économie.


n

n

h= 1

h =1

∑ xhi ≤ ∑ ehi

∀ i = 1, ... , l .

→ (x h) : équilibre pour le consommateur h = 1 à n .
→ (x h)≥(x h) ∀ (x h) ∈ Bh (p  , (e h)) .

→ Application : deux consommateurs et deux biens.
→ Préférences convexes et monotones avec


(e 1) = (e 11 , e12)
.
(e 2) = (e 21 , e22)


x  = {(x 11 , x 12) , ( x21
, x 22)}
.



p = (p1 , p2 )

→ Pente de la droite joignant x  à e

:

p1

.
p2
→ Droite représentant une contrainte de budget pour chaque consommateur.
p  x  + p2 x 12 = p1 e11 + p2 e 12
→ 1 11
.



 
 
p1 x 21 + p2 x 22 = p1 e21 + p2 e 22

→ Réalisation de l'échange : deux conditions.
→ Échange d'un état réalisable vers un autre état réalisable.
→ Ré-allocation des ressources réalisable.
→ Vérifiant les contraintes de budget.
→ x

: tous les consommateurs sont au moins aussi bien qu'au point de dotation initiale.

→ Économie décentralisé : raisonnement en terme de niveau d'échange (et non de niveau de
satisfaction).
→ Demande nette de chaque consommateur : zhi .
→ Par définition : zhi = x hi −e hi .
→ Trois possibilités.
→ zhi > 0 : demandeur net de bien sur le marché.
→ zhi > 0 : non-consommation ou dotation initiale convenable.
→ zhi < 0 : offreur net de bien sur le marché.
→ Application précédente.
z <0
z >0
→ 11
et 21
.
z12 > 0
z22 < 0
→ p1 z11 + p2 z12 = 0 .
→ Montant des dépenses effectuées en allant sur le marché du bien 2 .
→ Ne pouvant excéder la recette de la vente sur le marché du bien 1 .
→ z11 et z12 : nécessairement de signe alternés.
l



∑ p i zhi = 0

∀h .

i =1

→ Propriétés : demandes nettes.
→ zhi (p , (e h)) = Χ hi (p , R h )−ehi .

l

→ Or, dans une économie d'échange : R h = ∑ p i e hi .
i =1

l

→ zhi (p , (e h)) = Χ hi (p ,



dzhi
dp j

∑ pi ehi)−e hi

.

i= 1

: redéfinition de la propriété de substituabilité ∀ i ≠ j .

dzhi dx hi
dx hi
=
+
e .

dp j
dpj
dR h hj

→ Propriété : biens i et j substituts bruts.
dzhi
≥0 .
→ Si :
dp j
dzhi
≥0 .
dp j
dx hi
dx hi
>0 ;
> 0 et ehj ≥0 .

dp j
dR h
→ Réciproque fausse.

→ Bien normal :

n

: Zi (p  ) = ∑ zhi = 0 .

→ Demande excédentaire de bien i


n

n

h= 1

h= 1

h= 1

∑ x hi = ∑ e hi

∀ i = 1, ... , l .
n

→ Condition générale d'un état réalisable : Zi (p  )≤0 ∀ i = 1, ... , l <=>

∑ zhi ≤0

.

h= 1

→ Trouver le système de prix menant à l'équilibre de Walras.
→ Vérification des prix : vérifiant Zi (p  )≤0 .
→ Système de tâtonnement.
→ Propriétés fondamentales de Zi (p  ) : deux.
→ Homogène de degré 0 par rapport aux prix : Zi (p) = Zi (λ p) ∀ i ∀ λ > 0 .
l

→ Loi de Walras :

∑ p i Zi (p) = 0

.

i =1

→ Homogène de degré 0 par rapport aux prix : Zi (p) = Zi (λ p) ∀ i ∀ λ > 0 .
n

Zi (p) = ∑ zhi (p)
h= 1

→ Démonstration :

n

Zi (p) = ∑ [Χ h (p , R h)−e hi ]

.

h =1

n

Zi (p) = ∑ [Χ h (p ,
h =1

n

∑ pi e hi)−e hi]

h= 1

→ Zi (p  )≤0 ∀ i = 1, ... , l .
→ Préférences monotones : Zi (p  ) = 0 .
l

→ Système pas totalement déterminé :

∑ p i Zi (p) = 0

.

i =1

→ l −1 équations indépendantes : formant le système d'équation.
→ p1 z1 + p2 z2 + ... + p l zl = 0 .
→ Si ∀ i = 1, ... , l−1 condition vérifiée.
→ Alors : dernière condition forcément vérifiée.
→ Zi (λ p ) = 0 ∀ λ > 0 .
→ Système de prix d'équilibre : à une multiplication λ près.
→ Vrai du fait de l'homogénéité de degré 0 par rapport aux prix.
→ Zi (p1, ... , pi , ... , pl ) = Z i (λ p1, ... , λ pi , ... , λ pl ) .
1
→ λ=
.
pl
p
p
→ Expression en prix relatifs : Zi ( 1 , ... , i , ... , 1) .
pl
pl
→ Résolution du problème de Walras : possible.

→ À l'équilibre : deux possibilités.
→ Si Zi (p  ) = 0 : alors pi > 0 .
→ Bien rare.
→ Si Zi (p  ) < 0 : alors pi = 0 .
→ Bien libre.
→ Démonstration : par la loi de Walras.
l



∑ pi xi = 0
i =1

.

→ Application.
→ Deux consommateurs : mêmes préférences.
→ Deux biens.
a

1− a

→ U h = x h1 . x h2

∀ h = {1 , 2} 0 < a < 1 .

→ Dotations : (e h) = (eh1 , e h2 )

→ Demandes de bien :


xh1
=a

Rh
p1

Rh
x = (1−a)
p2

.


h2



a

1 −a

Max U h = x h1 . x h2
.
S / C p1 x h1 + p 2 x h2 ≤R h
→ Préférences monotones : p1 e h1 + p2 eh2 = R h .

xh1
=a

p1 e h1 + p2 eh2

p1
.
p1 e h1 + p2 eh2

x h2 = (1−a)
p2
p
e
+
p

2 e h2
zh1
= a 1 h1
−e h1
p
1
→ Demandes nettes :
.
p1 e h1 + p2 eh2

zh2 = (1−a)
−eh2
p2
→ Demandes de bien :

Z1 (p1 , p2) = z11 + z21
.
Z2 (p1 , p2) = z12 + z22
p E + p2 E2
Z1 (p1, p2 ) = a 1 1
−E1 ≤0
p1
E = e11 + e21

avec 1
.
p1 E 1 + p2 E2
E2 = e12 + e22
Z2 (p1, p2) = (1−a)
−E 2 ≤0
p2
a p2 E 2 −(1− a) p1 E 1
Z1 (p1, p 2) =
≤0
p1

.
(1 −a) p1 E1 −a p 2 E2
Z2 (p1, p2) =
≤0
p2

→ Demandes excédentaires :

Z1 = 0
.
Z2 = 0
p1 
p1 
a E2
→ Trouver le prix relatif ( ) : ( ) =
.
p2
p2
(1 −a) E1
→ Bien 2 : numéraire.

→ À l'équilibre général de Walras :

→ Z1 et Z2 homogènes de degré 0 par rapport aux prix :

Z1 (

p1

, 1) = 0
p2
.
p1
Z2 ( , 1) = 0
p2

pi
= cst .
pj
→ Zi (α p) = Zi (p) ∀ α > 0 : car homogène de degré 0 par rapport aux prix.
1
→ α= l
.

→ Règle de normalisation :

∑ pi
i=1

→ Zi (p1, p2) = Z i (

p1
p2
,
) .
p1 + p2 p1 + p2
l

→ Condition supplémentaire : Zi (p1, ... , pi , ... , pl ) avec

∑ pi = 1

.

i =1

→ Numéraire : étalon composite comprenant une unité de chaque bien.
Z1 (p1, p2)≤0
Z (p , 1−p 1) = Z1 (p1)
→ Z2 (p1, p2)≤0 : soit 1 1
.
Z2 (1 −p2 , p 2) = Z2 (p2)
p1 + p2 = 1
→ Demandes excédentaires : fonctions continues.

→ Rapport des prix : dépendant uniquement (dans ce cas) des quantités totales de biens disponibles.
p 
a E2
→ ( 1) =
.
p2
(1 −a) E1
→ Différentes règles de normalisation.
p2 = 1
→ 
.
a E2
p1 =
(1−a) E 1
→ p1 + p2 = 1 .
a E2
p1 =
a E2 +(1− a) E1 .

(1− a) E 1

p2 =
a E2 +(1− a) E1

→ Échange au prix : (




x11
= a (e11 +(

p1 
a E2
) =
.
p2
(1 −a) E1

p2 
) e12 )
p1


p1
x = (1−a) (( ) e11 + e12)
p2

.


12

→ Prix d'équilibre : indépendant de la répartition initiale des ressources entre les consommateurs.


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