KV Diagramm Erklärung .pdf

188-270_FE_Kap09_D

23.04.2008

12:13 Uhr

Seite 234

KV-Diagramm

KV-Diagramm
Das KV1-Diagramm (Karnaugh-Veitch-Diagramm)
eignet sich zur grafischen Vereinfachung von
digitalen Schaltnetzwerken. Es enthält für jede Zeile
der Wertetabelle ein Feld. Für n Eingangsvariablen
sind 2n Felder nötig.
Jedes Feld des KV-Diagramms ist durch Randbeschriftung eindeutig einer Zeile der Wertetabelle zugeordnet.

A

A
B

B

B

Die Vereinfachung einer Funktionsgleichung beruht
auf der Anwendung des Distributivgesetzes und
der Regel A 4 苶
A = 1 (Bild 4).

D

C

B
D
c)

C

C

C

Bild 1: Randbeschriftung für KV-Diagramme mit
a) 2 Variablen, b) 3 Variablen, c) 4 Variablen

A
A
1
0
A B A B
0
1
B
A B A B

B A X
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

B

Bild 2: Zuordnung der Ausgangsvariablen zu den
Feldern des KV-Diagramms

A
B 0
B 1

A
0
1

A
A
B 0 1 0 0
B 0 1 1 1
C
C
C
X = (A C) (A B)

a)

X=B

A
A
0 1 0 0 D
0 1 0 0
D
1 1 1 1
B
0 1 0 0 D
C
C
C
X = (A C) (B D)

A
B 0
B 0
C

A
1
1

1
1
1
B
1
C
B

c)

1
1

C
X=C

A

B

b)

Die Funktionsgleichung X = (A $ B $ C) 4 (A $ B $ C) 4
(A $ B $ C) 4 (A $ B $ C) soll mithilfe des KV-Diagramms
vereinfacht werden.

A
D

C

b)

a)

Erscheint eine Variable in einem Block sowohl
in negierter als auch in nicht negierter Form,
entfällt sie beim Aufstellen der Funktionsgleichung.
Beispiel:

A

A
B

C

Die Randbeschriftung muss so festgelegt sein, dass
sich zwischen zwei benachbarten Feldern nur eine
Variable ändert (Bild 1). Die den Eingangsvariablen
zugeordnete Ausgangsvariable (X = 0 oder X = 1)
wird in das betreffende Feld des KV-Diagramms
übertragen (Bild 2).
Im KV-Diagramm lassen sich benachbarte Felder
mit gleichem Inhalt (1 bzw. 0) zu Blöcken zusammenfassen. Die Anzahl der zusammmengefassten
Felder muss immer einer Potenz von 2 entsprechen, z. B. 21 = 2, 22 = 4 oder 23 = 8. Eine Überlappung der Blöcke ist zulässig (Bild 3).

A

B

0
0
C

A
0
0
0
0

0
0
0
0

C
X=C

1 D
1
D
1
1 D
C

Bild 3: Zusammenfassen a) benachbarter Felder,
b) überlappender Blöcke,
c) randbenachbarter Felder

Lösung:
Bei drei Eingangsvariablen ist ein KV-Diagramm mit
acht Feldern erforderlich. In jedem Feld des KV-Diagramms, das einer Vollkonjunktion mit X = 1 zugeordnet ist, trägt man eine 1 ein, in alle anderen Felder eine
0 (Bild 5). Es lassen sich zwei Blöcke mit jeweils zwei Feldern bilden. Die Funktionsgleichung X = (A $ C) 4 (B $ C)
ergibt sich aus den beiden Teilfunktionen.

A A
B 1 0
B 1 0

1. Vollkonjunktion (A B)
2. Vollkonjunktion (A B)
X = (A B) (A B)
= A (B B) = A 1 = A

Bild 4: Vereinfachung einer Funktionsgleichung durch
das KV-Diagramm

Wiederholungsfragen
1 Geben Sie die Rechenregeln der a) UND-Verknüpfung,
b) ODER-Verknüpfung an.
2 Formen Sie die Funktionsgleichung
X = (A $ B) 4 (A $ C)
nach dem konjunktiven Verteilungsgesetz um.
3 Nennen Sie die beiden de morgan’schen Gesetze.
4 Welche beiden Gesetze werden bei der Schaltungsvereinfachung durch das KV-Diagramm angewendet?
1

KV nach Karnaugh und Veitch (engl. Mathematiker)

C
0
0
0
0
1
1
1
1

B
0
0
1
1
0
0
1
1

A
0
1
0
1
0
1
0
1

X
1
1
0
0
0
1
0
1

A C
A
A
B 0 1 0 0
B 1 1 0 1
C
C
C
X = (A C)

B C

(B C)

Bild 5: KV-Diagramm mit zusammengefassten Feldern