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Sistema de Números Reales

11:11:11:11111111:':jlllllljll

El sistema de los números reales de los cuales ahora disponemos,

es el resultado

de

una enorme cantidad de reflexión por parte del hombre.
Los enteros positivos, es decir: 1,2,3, ... , pueden encontrarse desde el comienzo de nuestra
civilización.

Los enteros tan grandes como 100,000 se usaban en Egipto en fechas tan

tempranas como es 300 A.c.
Los antiguos Egipcios y Babilonios desarrollaron una aritmética con los enteros positivos
con los cuales podían efectuarse las operacíones de adición y multiplicación,

aunque la

división no se desarrolló por completo.
Estos antiguos

pueblos

usaron, ciertas fracciones,

tenemos

pues,

que los números

racionales aparecieron también en una temprana etapa de nuestra civilización (un número
racional es cociente de dos enteros).
Los Babilonios fueron los que más éxito tuvieron en el desarrollo

del aritmética

y el

álgebra por que tenían una notación para los números muy superior a la de los Egipcios.
Esta notación en principio, análoga a nuestro sistema decimal, excepto por el hecho de
que su base es 60 en lugar de 10. Una buena notación es el pre-requisito para el desarrollo
de los matemáticos.
Nuestro sistema decimal con los números

llamados

arábigos

fue inventado

por los

Hindúes e introducido en Europa occidental en el siglo XII a través de las traducciones de
textos Arabes. Sin embargo, ,la aceptación generalizada de esta notación demoró mucho
en llegar.

2

Eduardo Espinoza Ramo s
La espera fue aun mayor para la aceptación

de los números negativos,

incluso hasta

finales del siglo XVI se descartaban las raíces negativas de las ecuaciones.
La aritmética y el álgebra se desarrollaron

bajo él estimulo de problemas

prácticos en

contradicción de' la' geometría que desarrollaron los griegos solamente para su satisfacción
intelectual yen un modelo del sistema lógico.
Sin embargo. con el desarrollo del cálculo, los números reales especialmente
irracionales

fundamentación
Disponemos

.fi. tt ; V5 ,

tales como

tuvieron

que sustentarse

sobre

los números
una firme

lógica. esto se logro en la ultima parte del siglo XIX.

ahora de un sistema de axiomas que describen completamente

reales partiendo de estos axiomas podemos derivar todas las propiedades

los números

de los números

reales.
Esto es el método usado en la geometría
proposiciones.

Euclidiana, se acepta un cierto número de

a las que se llama axiomas o postulados o hipótesis y basándose en esas

axiomas se prueban todos los teoremas de la geometría.

Llamaremos sistema de los números reales a un conjunto R, provisto de dos operaciones
adición (+) y multiplicación

(.) (leyes de composición

intema) y una relación de orden

denotado por "<". es decir:
1° LEY DE COMPOSICIÓN

INTERNA:
+: RxR---.;R
(a.b) ---.;

+(a,b)

=a+b

Además debe cumplirse los axiomas siguientes:
R => a + b

~I

Cerradura:

V a, b

Al

Conmutatividad:

a -+- b = b + a,

A2

Asociatividad:

(a + b) +

E

C

V a.b

E

E

= a + (b + e),

R

R
V a.b.c

E

R

Sistema de Números Reales

3

A3

Identidad aditiva:

Va

E

R. 3 O

A4

Opuesto Aditivo:

Va

E

R. 3 - a

r

R/a+O

E

E

=O+a=a

R. yes único, tal que: a + (-a)

LEY DE COMPOSICIÓN' INTERNA:

-:

= (-a) + a = O

RxR~R

Además debe cumplirse los axiomas siguientes:
M o Cerradura:

V a, b s R ~

MI Conmutativa:

a.b

M 2 Asociativa:

(a.b).c

= b.a,

M 3 Identidad Multiplicativa:

a.b

V a,b

= a.(b.c),
Va

E

E

E

R

R

v a.b,c
R, 3

E

R

1 *- O. l s R, tal que:

l.a

=a

M 4 Inverso Multiplicativo:
3° RELACIÓN DE ORDEN:
01

V a.b

E

R una y solamente una de las relaciones se cumple a < b, a

= b, b < a (ley de

tricotomía).
O2

Sí a < b Y b < e entonces

03 Si a < b ~

a < e (transitiva).

a + e < b+ e, V a,b,c

E

R.

04 Sí a < b. e > O entonces a.c < b.c
OBSERVACIÓN:
i)

A los números ~ y Q los llamaremos sumando. y al número a + b suma de

ii)

En a.b; a los números

ª

y Q.

y Q los llamaremos factores y al número a.b producto de

Q.
iii)

ª

El opuesto es único, así mismo cuando existe el inverso es único.

ª

y

Eduardo Espinoza Ramos

4

Si a y b pertenecen



sustituir al elemento

a)

b)

Sí a

a un

= a.b + a.e,
(a + b).c = a.e + b.c,

a+e

h

por el elemento

a.(b + e)

= b entonces

conjunto B y si a

= b.

20.

Sí a

V a, b. e

E

R

distributiva a izquierda

Va, b, e

E

R

distributiva a derecha

= b.¡,. e, p.ara roooa,

b. e

E

= b, por hipótesis.
a + e = a + e, propiedad
a

reflexiva.

= b entO])lcesa.e = b.c. pama lOilID a, b. ~ E R

20.

= b pOlihipótesis.
a,c = a.e, propiedad

1e

a+

20.

a+c+f-cj=

Ie

a

C

= b + c.

en toda

Iídl'exiva.

por hipótesis.
b e c+f-c),

r-

relación

se puede

sin que altefe el significado de la relación.

Demosuaóón
1e

entonces

Y' teonema l.

R

5

Sistema de Números Reales

= b + (e + (-e»,



a + (e + (-e»)



a + 0= b + U, 3° axioma A4

Sean a.b,c

E

2° y A2

R; Si a.e = b.e y e"# O. entonces a = b
Demostración

a.e = b.c,

... por hipótesis.

e "#0.

. .. por hipótesis

1
3. -

E

e

R/ (a.e).-

1

1

e

e

l

e

= (b.e).-,1
e

... 3° Y axioma M2

a.(c.-) = b.(c.-),

a.l

= b.l ,

... 4° Y axioma M4

a= b,

DEFINICION.-

... 5° Y axioma M)

Para cualquier números reales

a.b

E

R, definiremos a la sustracción

de números reales por:

DEFINICION.-

Para cualquier números reales a.b
cociente de números reales por:

111¡IIIIIIII¡i~I¡111

E

R. donde b "# O. definiremos

al

Eduardo Espinoza Ramos

6

1::I~I:I::::::::'::::::_I;IJIJII':III.íll.l~i:::::::1

o

Para cada número real a

R, demostrar que a + a

E

= 2a

Demostración

(3)

= a.l



a

Por M 3



a + a = a.l + a.l

1° Y axioma lA



a + a = a.(l + 1)

2° Y axioma 1 .a



a + a = a.2



a+a

= 2a

3° y por M 3
4° y por M

Para cada número real a

3

R, demostrar que a.O

E

=O

Demostración

0



a.O

= a.O + ()

Por A3



a.O

= a.O + (a + (-a»

1° Y por A4



a.O

= (a.O + a) + (-a)

2° y por Al



a.O

= (a. O + a.l)

3° y por M3



a.O

= a(O + J) + (-a)

4° y por axioma 1.3.a



a.O

= a.l

5° y por A3



a.O

= a + (-a)

6° y por M3



a.O

=O

T" y por A4

+ (-a)

+ (-a)

Para cada número real a

E

R, demostrar que:

-a

= (-I).a

Demostración
Basta demostrar que a + (-l)a

= O, porque

(-1).a. y-a son inversos aditivos de a por A4

7

Sistema de Números Reales
Luego

a + (-I)a = l.a + (-1 )a,

por axioma 1.3

a + (-l)a = (l + (-1 »a,

por axioma

-lib.

a + (-l)a = O.a,
a+(-l)a=O,

por ejercicio 2.
..

o

Para cada número real a

E

-a=(-l)a

R. demostrar que -(-a) = a
Demostración

o



a + (-a) = O

... por A4



(-a) + (-(-a» = O

... por A4



(-a) + (-(-a» = a + (-a)

1° ,2°



-(-a) = a

3° y por teorema 1.6

Para cada número real a.b

E

R, demostrar que (-a).(-b) = a.b
Demostración

@



(-a).(-b) = [(-l)a][(-l)b]

por el ejercicio 3



(-a).(-b) = (-l)[a«-l)b)]

l° y M2



(-a).(-b) = (-l)[(-l)a].b

2° y MI' M2



(-a).(-b) = (-l)[(-a)].b

3° Y ejercicio 3



(-a).(-b) = [(-l)(-a)].b

4° y M2



(-a).(-b)=a.b

5° Y ejercicio 4

'Ii

a.b

E

R. demostrar que a.(-b) = -(a.b)
Demostración



a.t-b)

= a.«-l

).b)

. .. por ejercicio 3

Eduardo Espinoza Ramos

(2)



a.(-b) = (a.(-l».b



a.(-b)

= «-l)a).b



a.(-b)

= (-l)(a.b)

3° Y por M2



a.(-b)

= -(a.b)

4° Y ejercicio 3



-(a-b)

= (-l)(a.b)

Por el ejercicio 3



-(ab)

= «-l)a).b



-(ab)

= (-a).b



a(-b)

= -(ab) = (-a).b

V a.b

E

1° Y por M]

7° Y ejercicio 3.

R, demostrar que a.(b - e)

= a.b -

a.c

Demostración


a.(b - e)

= a.(b + (-e»

definición de sustracción



a.(b - e)

= a.b + a.(-c)

] ° y axioma l.3.a



a.(b - e)

= a.b + (-(a.e»

2° ejercicio 6



a.(b - e)

= a.b -a.c

3° definición de sustracción

Para a

E

R, demostrar

. a:t: O ,entonces

a -1

SI

=_.1

a

Demostración
por M3


0-1

_1

a

= l.(a-l)

1° Y MI

1

=-

'"

2° definición de división

a



r

9

Sistema de Números Reales

(2)

a.b

\¡¡I

E

R, a.b;t: O, demostrar que (a.b)-1 = a--1.b-1
Demostración



1

(a.b).-=l
(ab)

... por M4

(a.b).(ah)-1

1° y definición de división

=l

(a.b).(a-] .h -]) = (a).(a) -] .(b).(b

(a.h).(a

-]

.b

(a.b).(a--1.b--1)

1

1

1

a

b

) = (a.-).(h.-)

... por M2

-i )

'"

M 2 Ydefinición de división.

= (1)(1) = I



\¡¡I

}O,

. .. 7° Y teorema 1.7

a.b.c.d

E

R, b;t: O, d;t: O, demostrar que:

a C
a.d +bc
¡;+-;¡
=
b.d

Demostración

... por definición de división

-

a e iaL
1
(d-1
-+-=
ao -i ) ..(d -)+
c.
) ..(b -)1
b d
d
b

}O

!!.. + ~

)0

h

d

= (a.h -t ).(d.d-1)

+ (c.r1

).(b.b

...

-1 )

l° Y por M4

... 2° Y definición por división.


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