persistance additive (PDF)

Persistance additive
D´
efinitions
(

N 7→ N
la fonction associant `
a un
n → φ (n)
entier naturel la somme de l’ensemble de ses chiffres. Donnons quelques exemples :

Somme des chiffres d’un nombre. On d´efinit, ∀n ∈ N, φ :

(i)
(ii)
(iii)
(iv)

pour
pour
pour
pour

n = 9, φ (9) = 9
n = 23, φ (23) = 7
n = 79, φ (79) = 16
n = 78864, φ (78864) = 33

(
N 7→ N
la fonction associant `a un entier naturel son r´esidu
R´
esidu. On d´efinit aussi ∀n ∈ N, π :
n → π (n)
(ou racine num´erique), c’est `
a dire la somme des chiffres it´er´ee de ce nombre. Le r´esidu s’obtient en
additionnant tous les chiffres du nombre initial, puis en additionnant les chiffres du r´esultat, et ainsi de
suite jusqu’`
a l’obtention d’un nombre a` un seul chiffre. Donnons aussi quelques exemples :
(i)
(ii)
(iii)
(iv)

pour
pour
pour
pour

n = 9, π (9) = 9
n = 23, φ (23) = 7, donc π (23) = 7
n = 79, φ (79) = 16, puis φ (16) = 7 donc π (79) = 7
n = 78864, φ (78864) = 33, puis φ (33) = 6 donc π (78864) = 6
(



N 7→ N
avec ρ (n) = min k | φk (n) = π (n)
n → ρ (n)
la fonction associant `
a tout entier naturel sa persistance additive, c’est `a dire le nombre d’it´erations
n´ecessaires pour atteindre le r´esidu (donc le nombre de fois o`
u la somme des chiffres est appliqu´ee pour
atteindre le r´esidu). Reprenons les mˆemes exemples :

Persistance additive. On d´efinit enfin, ∀n ∈ N, ρ :

(i)
(ii)
(iii)
(iv)

pour
pour
pour
pour

n = 9, ρ (9) = 0
n = 23, φ (23) = 7, donc ρ (23) = 1
n = 79, φ (79) = 16, puis φ (16) = 7 donc ρ (79) = 2
n = 78864, φ (78864) = 33, puis φ (33) = 6 donc ρ (78864) = 2

Probl`
emes
R´
esidu. On cherche ici `
a d´eterminer le r´esidu de tout entier naturel n.
On peut d´emontrer facilement que le r´esidu de tout multiple de 9 est ´egal `a 9. D`es lors, le r´esidu de n
peut-ˆetre vu comme la distance entre n et le plus grand multiple de 9 inf´erieur ou ´egal `a n. Voir le r´esidu
ainsi permet d’obtenir la formule suivante :


n−1
π (n) = n − 9
9
Persistance additive. Quelle est alors la persistance additive de tout entier naturel n ?