Intégration

‫ﳌﺰﻳﺪ ﻣﻦ ﺩﺭﻭﺱ ﺍﻟﺘﺎﻤﺭﻳﻦ ﺍﻻﻣﺘﺤﺎﻧﺎﺕ ‪ ...‬ﻣﻮﻗﻊ ﻗﻠﻤﻲ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم رﻳﺎﺿﻴﺔ‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 1‬‬ ‫ﺣﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‬ ‫أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و ‪dx‬‬ ‫‪−1 x + 2 x + 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∫‬ ‫‪(ln x) 4‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫و‬ ‫‪e‬‬ ‫∫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪π‬‬ ‫) ‪cos(t‬‬ ‫) ‪cos(t ) + sin(2t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∫ و ‪dt‬‬ ‫و ‪ ∫ 2 sin 3 ( x)dx‬و ‪dt‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫) ‪1 + 2sin(t‬‬ ‫) ‪1 + sin(2t‬‬ ‫‪ .2‬أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ∫ 6 cos( x) sin 3 ( x)dx‬و ‪ ∫ 2 sin( x) cos 2 ( x)dx‬و ‪x x − 2 dx‬‬ ‫‪π‬‬ ‫∫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪∫0 1 + e x dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∫و‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 2‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪= 2,5‬‬ ‫‪ .1‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪x2 + 2x + 2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 7‬‬ ‫‪1⎛ 2‬‬ ‫⎞ ‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫⎫‪⎧ 1‬‬ ‫;⎬ ‪∀x ∈ \ − ⎨−2,‬‬ ‫⎜ =‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ .1‬ﺑﻴﻦ أن‪⎟ :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠ ‪⎩ 2 ⎭ 2t + 3t − 2 5 ⎝ t + 2 2t −1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪tdt‬‬ ‫‪. I =∫ 2‬‬ ‫‪ .2‬أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪2t + 3t − 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. x ∈\ ; e +e‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪dx :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 8‬‬ ‫∫= ‪I‬‬ ‫⎤‬ ‫‪ .1‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪⎥ :‬‬ ‫⎦⎥‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ln 5‬‬ ‫‪(3 + e x ) e x − 1‬‬ ‫∫‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫= ‪J‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 3 π‬‬ ‫= ‪dx‬‬ ‫‪x + x +1‬‬ ‫‪3 12‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 3‬‬ ‫‪∫x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﺪد ﻋﻠﻰ \ داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪. x6‬‬ ‫‪1 + x2‬‬ ‫ﺟـ‪ -‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء ؛ أﺣﺴﺐ ‪dx :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∫‬ ‫=‪I :‬‬ ‫‪3 −1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∫‬ ‫‪1 + x2‬‬ ‫= ‪ t‬؛ أن ‪:‬‬ ‫‪ .2‬أ‪ -‬ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;*\ ∈ ‪∀x‬‬ ‫‪= −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪x (x + x +1) x 2(x + x +1) 2(x + x +1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∫ ‪.‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪x( x + x + 1‬‬ ‫‪3 −1‬‬ ‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫∫‬ ‫) ﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ ‪( t = e x − 1 :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 2−‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x (1 + x ) x‬‬ ‫‪1+ x 2‬‬ ‫*\ ∈ ‪. ∀x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫) ‪x (1 + x 2‬‬ ‫‪ .2‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∫= ‪. I‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .3‬أﺣﺴﺐ ؛ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء ؛ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(2 x + 1) ln( x‬‬ ‫∫ =‪K‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪3 −1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 9‬‬ ‫أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 4 − 3x3 + 2‬‬ ‫∫ = ‪ I‬و ‪ J = ∫ ( x + 1) x + 2 x + 5dx‬و‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π −2‬‬ ‫‪ .1‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء؛ أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪( x + 1) sin(2 x + 1)dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. I = ∫ ln x + x 2 + 1 dx‬‬ ‫‪ .2‬اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫⎞ ‪3 ⎡ ⎛ 2x + 1‬‬ ‫‪⎢1 +‬‬ ‫⎠⎟ ‪4 ⎢⎣ ⎜⎝ 3‬‬ ‫= ‪. ∀x ∈ \; x 2 + x + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪ .2‬أﺣﺴﺐ ‪dx :‬‬ ‫‪e 2 x − 2e x + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x +1‬‬ ‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺗﻐﻴﻴﺮ اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ؛ واﺿﻌﺎ‬ ‫‪3‬‬ ‫) ﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ ‪( t = e x − 1 :‬‬ ‫‪1 + x 2 dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫∫ ‪.‬‬ ‫‪0 2 x + 3x + 1‬‬ ‫‪ .3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .1‬ﺑﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∫‬ ‫=‪. K‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ اﺳﺘﻌﻤﺎل ﻣﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺘﻐﻴﻴﺮ اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ) ‪. ( t = 3x + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .3‬أ‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪dt :‬‬ ‫‪4 + t2‬‬ ‫‪ .1‬أ‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .2‬أﺣﺴﺐ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ‪:‬‬ ‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬اﻟﺤﻴﺎن‬ ‫)‬ ‫‪x 2 + 1 − x dx‬‬ ‫(‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. J = ∫ ln‬‬ ‫‪0‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 6‬‬ ‫‪ .1‬أ‪ -‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺘﻐﻴﻴﺮ اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ؛ أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∫ = ‪ ) I‬ﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ ‪( t = x + 1 + x :‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0 1+ x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. L=∫ 2‬‬ ‫= ‪ K‬و ‪dx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 10‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪. I =∫ 2‬‬ ‫‪ .1‬أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪dx :‬‬ ‫‪1 x +1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .2‬أوﺟﺪ داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪. x6 2‬‬ ‫‪( x + 1) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .3‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء؛ أﺣﺴﺐ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪− 2‬‬ ‫) ﻻﺣﻆ أن ‪:‬‬ ‫‪x x +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب‪ -‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء؛ اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‪J = ∫ 1 + x 2 dx :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-1-‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪x (x + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪x ln( x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪( x 2 + 1) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∫‬ ‫‪1‬‬ ‫; *\ ∈ ‪( ∀x‬‬ ‫‪.‬‬  ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 11‬‬ ‫‪2t‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪=a+‬‬ ‫‪ .2‬أ‪ -‬أوﺟﺪ اﻟﻌﺪدﻳﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮن‬ ‫‪1+ t‬‬ ‫‪1+ t‬‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ t‬ﻳﺨﺎﻟﻒ ‪. -1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب( أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪:‬‬ ‫∫= ‪J‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1+ 2 + x‬‬ ‫)ﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ ‪( t = 2+ x‬‬ ‫ﻟﻜﻞ ﻋﺪد‬ ‫‪π‬‬ ‫‪. I = ∫ (1 + sin(2 x) ) dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .1‬أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫∫= ‪. K‬‬ ‫‪0 1 + x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .2‬أ‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب‪ -‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء؛أﺣﺴﺐ‪J = ∫ x 2 Arc tan( x)dx :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 18‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 12‬‬ ‫‪ .1‬أﺣﺴﺐ ‪:‬‬ ‫‪ .2‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪x (1 + x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∫‬ ‫‪ .1‬ﺣﺪد داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‪:‬‬ ‫) ﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ ‪.( t = x :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e −2 x‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 + e −x‬‬ ‫‪1+ e x‬‬ ‫‪e −2 x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪1 + e− x‬‬ ‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪:‬‬ ‫∫‬ ‫ﺟـ‪ -‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء؛ أﺣﺴﺐ ‪e − x ln(1 + e − x )dx :‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ .1‬ﺗﺤﻘﻖ أن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t (t +1) t t + 1 (t +1)2‬‬ ‫‪∀t ∈ \ − {−1,0} :‬‬ ‫‪ .2‬أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪t (t + 1) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪dx :‬‬ ‫‪(e + 1) 2‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ .1‬ﺗﺤﻘﻖ أن ‪:‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= t −1+‬‬ ‫‪1+ t‬‬ ‫‪1+ t‬‬ ‫‪ .2‬أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪ .3‬ﺑﻴﻦ أن ‪dx = 2 I :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 21‬‬ ‫‪. ∀t ∈ \ − {−1} :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ .4‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء؛ أﺣﺴﺐ ‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪x dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1+ x −1‬‬ ‫‪ .2‬أﺣﺴﺐ ‪dx :‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫∫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫∫‬ ‫‪5‬‬ ‫) ﻳﻤﻜﻨﻚ وﺿﻊ ‪( t = x − 1 :‬‬ ‫∫‬ ‫‪−a‬‬ ‫∫‬ ‫‪−a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﺣﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻠﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻦ ‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪I = ∫ 2π sin( x) dx‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 1− x‬‬ ‫⎜ ‪J = ∫ cos( x) ln‬‬ ‫و ‪⎟ dx‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 1+ x‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 22‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ \ ودورﻳﺔ دورهﺎ ‪. T‬‬ ‫‪ .1‬ﺑﻴﻦ أن ‪f (x )dx = ∫ f (x )dx :‬‬ ‫‪α +T‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪∫α‬‬ ‫‪. ∀α ∈ \ :‬‬ ‫‪2008π‬‬ ‫‪. I = ∫20053 π sin( x) dx‬‬ ‫‪ .2‬أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. I = ∫ 2 x − 1 dx‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 23‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪e x + 3e − x‬‬ ‫‪ .2‬ﺑﻮﺿﻌﻚ ‪ t = e x‬؛ أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‪dx :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪e +e‬‬ ‫‪t2 + 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2t‬‬ ‫(‬ ‫) ﻻﺣﻆ أن ‪:‬‬ ‫‪= − 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t (t + 1) t t + 1‬‬ ‫أﺣﺴﺐ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ (u n )n‬ﻓﻲ آﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫∫= ‪. J‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أ‪-‬‬ ‫‪2n + p‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2 n −1‬‬ ‫∑‬ ‫‪p =1‬‬ ‫= ‪un‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ﺟـ‪sin ( p π ) -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p =0 n‬‬ ‫؛‬ ‫∑ = ‪. un‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 17‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln x dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪ .1‬أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪:‬‬ ‫‪ .2‬ﺑﻴﻦ أﻧﻪ إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ؛ ﻓﺈن‪f ( x)dx = 0 :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 16‬‬ ‫‪ .1‬أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ a > 0‬وﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل ] ‪. [ −a, a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‪: 15‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪dt = 1 + ln 2‬‬ ‫‪t −1‬‬ ‫‪ .1‬ﺑﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪. ∫ x‬‬ ‫‪0 (e + 1) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪xe x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪. ∫ x‬‬ ‫‪0 (e + 1) 3‬‬ ‫‪ .1‬ﺑﻴﻦ أﻧﻪ إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ زوﺟﻴﺔ؛ ﻓﺈن‪f (x)dx = 2∫ f (x)dx :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪∀x ∈ \ :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫) ﻳﻤﻜﻨﻚ وﺿﻊ ‪. ( t = x :‬‬ ‫‪∫ ln (1 +‬‬ ‫‪− ln 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .3‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﻣﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء؛ أﺣﺴﺐ ‪:‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫∫= ‪. I‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪0 1+ t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) ﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ ‪( t = e x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∫ 1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ .1‬ﺑﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪= 1− x‬‬ ‫‪− x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(e + 1‬‬ ‫‪e + 1 (e + 1) 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .2‬أﺣﺴﺐ ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 14‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∫= ‪J‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 20‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∫ = ‪ ) I‬ﻳﻤﻜﻨﻚ وﺿﻊ ‪( t = e − x‬‬ ‫‪ .2‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﻣﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء؛أﺣﺴﺐ‪e ln(1 + 2e )dx :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ .1‬أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪dx :‬‬ ‫‪−2 1 + 2e x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∫‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 19‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪( x + e x )e x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪(1 + e x ) 2‬‬ ‫‪ .2‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﻣﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء؛ أﺣﺴﺐ ‪:‬‬ ‫‪. ∀x ∈ \ :‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪. u:x 6‬‬ ‫‪(1 + e x ) 2‬‬ ‫‪. I = ∫1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪-2-‬‬ ‫ب‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4n 2 − p 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∑ = ‪un‬‬ ‫‪p =1‬‬  -3-