PDF Archive

Easily share your PDF documents with your contacts, on the Web and Social Networks.

Share a file Manage my documents Convert Recover PDF Search Help Contact



Metody prob 2 .pdf



Original filename: Metody prob 2.pdf
Title: Microsoft Word - Część 2 Zastosowanie Metod Probabilistycznych - pdfMachine from Broadgun Software, http://pdfmachine.com, a great PDF writer utility!

This PDF 1.3 document has been generated by pdfMachine from Broadgun Software, http://pdfmachine.com, a great PDF writer utility!, and has been sent on pdf-archive.com on 24/05/2017 at 14:37, from IP address 81.190.x.x. The current document download page has been viewed 241 times.
File size: 224 KB (20 pages).
Privacy: public file




Download original PDF file









Document preview


Materiaùy do zastosowañ metod probabilistycznych.
K.Lubnauer
Czêœã 2
Zmienna losowa
Teoria
Definicja 1
Niech , F, P  bêdzie przestrzeni¹ probabilistyczn¹. Zmienn¹ losow¹ nazywamy
ka¿d¹ funkcjê rzeczywist¹ X speùniaj¹c¹ jeden z poni¿szych warunków:
(i)
dla dowolnego a  R mamy    : X    a F
(ii)
dla dowolnego a  R mamy    : X    a F
(iii) dla dowolnego a  R mamy    : X    a F
(iv) dla dowolnego a  R mamy    : X    a F
(v)
dla dowolnego A   R  mamy X 1  A  F ,
gdzie  R   -ciaùo zbiorów borelowskich na R.
Uwaga
 -ciaùo zbiorów borelowskich na R to najmniejsze  -ciaùo zawieraj¹ce wszystkie
przedziaùy.
Definicja 2 (Rozkùad zmiennej losowej)
Rozkùadem zmiennej losowej X okreœlonej na przestrzeni , F, P  nazywamy miarê
prawdopodobieñstwa okreœlon¹ wzorem: dla dowolnego A   R 
PX  A  P   : X    A  P X 1  A .
Przykùad 1
Rzucamy 3 razy monet¹. Niech X iloœã wyrzuconych orùów. Znajdêmy rozkùad X.
  o, o, o , o, o, r , o, r , o , r , o, o , r , r , o , r , o, r , o, r , r , r , r , r . Mamy do
czynienia z modelem klasycznym czyli P A 

A

, gdzie   8 . Zmienna X przyjmuje



wartoœci 0,1,2,3 odpowiednio z prawdopodobieñstwem:
PX 0   PX 0  P X 1 0  P r , r , r  





1
8

PX 1  PX 1  P X 1 1  P r , r , o , r , o, r , o, r , r  





3
8

PX 2   PX 2  P X 1 2  P r , o, o , o, o, r , o, r , o  





PX 3  PX 3  P X 1 3  P o, o, o  





1
.
8

Co mo¿emy zapisaã te¿ w tabeli:

1

3
8

xi

0

1

2

3

PX  xi 

1
8

3
8

3
8

1
8

Twierdzenie 1
Rozkùad zmiennej losowej jest miar¹ prawdopodobieñstwa na R,  R  .
Dowód
Niech PX rozkùad zmiennej losowej X okreœlonej na przestrzeni , F, P  okreœlony
wzorem dla dowolnego A   R 
PX  A  P   : X    A  P X 1  A .
Poka¿emy, ¿e speùnia on aksjomaty z definicji 2 z czêœci 1.
(i)
oczywistym jest z definicji i¿ dla dowolnego A   R  mamy
PX  A  P X 1  A  0 .
(ii)
policzmy teraz PX R   PX 1 R   P   1 ,
(iii) Niech Ai   R , i  1,2,3,... oraz Ai  A j   dla i  j ,(czyli s¹ parami
rozù¹czne) to z wùasnoœci przeciwobrazu ( przeciwobraz sumy zbiorów
równy jest sumie przeciwobrazów i przeciwobrazy zbiorów rozù¹cznych s¹
rozù¹czne ) oraz z wùasnoœci P mamy


 
  
 n
 
PX   Ai   P X 1   Ai    P  X 1  Ai    P X 1  Ai    PX  Ai  .
i 1
 i 1 
 i 1  
 i 1
 i 1






Pokazaliœmy, ¿e rozkùad jest miar¹ probabilistyczn¹ na R,  R  , rodzi siê pytanie
odwrotne: czy ka¿da miara unormowana na R,  R  . jest rozkùadem pewnej zmiennej
losowej?
Okazuje siê, ¿e odpowiedê jest pozytywna.
Twierdzenie 2
Ka¿da miara unormowana na R,  R  jest rozkùadem pewnej zmiennej losowej.
Dowód
Niech P pewna miara unormowana (probabilistyczna) na R,  R  , przyjmijmy teraz
  R, F   R  oraz X zmienna losowa okreœlona wzorem X     . Oczywiœcie
X :   R oraz mamy dla dowolnego A   R  :
PX  A  P   : X    A  P   :   A  P A . St¹d P  PX , czyli P rozkùad
pewnej zmiennej losowej X
Uwaga
Dlatego miary probabilistyczne na R,  R  nazywamy rozkùadami.
Definicja 3(Dystrybuanta rozkùadu)
2

Niech P rozkùad na R,  R  , dystrybuant¹ rozkùadu P nazywamy funkcjê F okreœlon¹
nastêpuj¹co: F : X  0,1 , F  x   P , x  , x  R .
Przykùad 2
Rzucamy 2 razy monet¹. Niech X iloœã wyrzuconych orùów, X    0,1,2 i mamy:
0,
1
 ,
1
1
1
4
PX 0   , PX 1  , PX 2   , st¹d F  x   
4
2
4
1  1 ,
4 2
1,


x0
0  x 1

.
1 x  2
x2

Jest to przykùad dystrybuanty rozkùadu dyskretnego (patrz definicja 4), przykùad
dystrybuanty dla przypadku ci¹gùego(definicja 5) mamy po Twierdzeniu 5
Twierdzenie 3 ( wùasnoœci dystrybuanty )
Dystrybuanta F rozkùadu prawdopodobieñstwa P na R,  R  ma nastêpuj¹ce
wùasnoœci:
(i)
F niemalej¹ca,
(ii)
F lewostronnie ci¹gùa,
(iii)
lim F  x   0, lim F  x   1 .
x  

Dowód
(i)
(ii)

x  

Niech x1  x 2 wtedy  , x1    , x 2  i z monotonicznoœci P mamy:
F  x1   P , x1   P , x 2   F  x 2  , czyli F niemalej¹ca.
Poka¿emy, ¿e lim F x   F xO  , Poniewa¿ F niemalej¹ca wiêc
x  xO

granica lim F x  istnieje i mo¿emy wzi¹ã dowolny rosn¹cy ci¹g x n zbie¿ny
x  xO

lewostronnie do xO i zbadaã czy granica lim F x n   F xO  . Zauwa¿my, ¿e
xn  xO



lim F  xn   lim P  , x n   P   , x n   P  , xO   F xO  z
x n  xO
x n  xO
 n 1


(iii)

ci¹gùoœci P.
Poniewa¿ F monotoniczna i ograniczona wiêc niew¹tpliwie posiada
skoñczone granice w   i   , policzymy je wiêc dla ustalonych ci¹gów


lim F  n   lim P  ,n   P   , n   P    0 i analogicznie
n 
n 
 n 1




lim F n   lim P  , n   P   , n   P    1 .
n 
n 
 n 1


Wùasnoœã
F jako funkcja niemalej¹ca i ograniczona ma skoñczon¹ liczbê punktów nieci¹gùoœci.
Dowód
3

1
n




Rzeczywiœcie, niech dla n  N, E n   x  R : F x    F  x    (gdzie F x   oznacza
granicê prawostronn¹ w punkcie x), wtedy En  n . Istotnie przypuœãmy ¿e E n  m  n ,
wtedy mielibyœmy dla x1  x 2  x3  ...  x m nale¿¹cych do E n :

 


     F x   ....  F x   F x   1n  1n  ...  1n  1 bo m  n ,

1  F x1  F  x1   F x 2





2

m

m



czyli otrzymujemy sprzecznoœã. Tak wiêc E n  n , zatem E   E n jest przeliczalny.
n 1

Zauwa¿my jeszcze, ¿e E to zbiór punktów nieci¹gùoœci F i mamy tezê.
Twierdzenie 4
Ka¿da funkcja speùniaj¹ca warunki (i)-(iii) jest dystrybuant¹ pewnego, i jednego
rozkùadu na R,  R  .
Dowód
Poniewa¿ przedziaùy postaci  , x  generuj¹  R  wiêc mo¿emy zdefiniowaã miarê
jednoznacznie na R,  R  wzorem P , x   F  x  .
Wùasnoœci dystrybuanty:
Niech F bêdzie dystrybuant¹ rozkùadu P. Dla dowolnych a, b  R , a  b mamy:
(i)
P , b   F b  ,
(ii)
P  , b   F b   ,
(iii) Pa,    1  F a  ,
(iv)
P a,    1  F a  ,
(v)
Pa, b   F b   F a  ,
(vi)
P a, b   F b   F a   ,
(vii) Pa, b  F b    F a  ,
(viii) Pa, b  F b    F a  ,
(ix)
P a  F a    F a  .
Wùasnoœci te s¹ proste do wykazania i pozostawiam do samodzielnego dowodzenia.
Definicja 4
Rozkùad P nazywamy rozkùadem dyskretnym lub typu skokowego je¿eli istnieje zbiór
przeliczalny (mo¿e byã skoñczony) taki, ¿e E  R i PE   1 .
Je¿eli E  x1 , x 2 , x3 ,.... to aby zdefiniowaã rozkùad dyskretny wystarczy podaã
wartoœci P dla zbiorów jednopunktowych zawieraj¹cych elementy z E.


Jeœli Pxi   pi to oczywiœcie

p

i

 1.

i 1

Definicja 5

4

Rozkùad P nazywamy rozkùadem ci¹gùym lub typu ci¹gùego je¿eli istnieje taka funkcja
nieujemna f,  f t dt  1 , zwana gêstoœci¹ rozkùadu P taka, ¿e dystrybuanta F rozkùadu
R

P wyra¿a siê wzorem:
x

F x  

 f t dt


lub równowa¿nie dla dowolnego A   R  mamy:
P  A   f t dt .
A

Zauwa¿my, ¿e gêstoœã nie jest wyznaczona jednoznacznie i jest to pewna klasa funkcji
równych sobie poza zbiorem miary 0.

Podstawowe rozkùady prawdopodobieñstwa:
Dyskretne:
a. rozkùad jednopunktowy.
1, a  A
a  R, Pa  1 . Wtedy P  A  
.
0, a  A

b. rozkùad dwupunktowy.
a, b  R , Pa  p, Pb  q, p  q  1 . Rodzajem rozkùadu dwupunktowego

jest rozkùad 0-1 (zero-jedynkowy), gdy a=1, b=0
c. rozkùad dwumianowy, Bernouliego.
n
n  N , dla dowolnego k  0,1,2,..., n mamy P k   Pn k     p k q n  k , gdzie
k 
p  q  1 oraz zwyczajowo p nazywamy prawdopodobieñstwem sukcesu, a q
pora¿ki, zaœ Pn k  oznacza prawdopodobieñstwo k sukcesów w n próbach
n

(doœwiadczeniach). Oczywiœcie

 P k   1 .
n

k 0

d. rozkùad Poissona z parametrem   0 .
Dla dowolnego k  0,1,2,.... , mamy Pk   e 

k
. Oczywiœcie
k!



 Pk   1 .
k 0

e. geometryczny.
Dla dowolnego k  0,1,2,.... , mamy Pk   q k p , gdzie p  q  1 . Pk  oznacza
prawdopodobieñstwo k pora¿ek poprzedzaj¹cych pierwszy sukces. Oczywiœcie


 Pk   1 .
k 0

Ci¹gùe:
f. rozkùad jednostajny nad odcinkiem a, b .
 1
, x  a, b

Definiujemy go funkcj¹ gêstoœci f: f  x    b  a
.
0,
x  a, b 

g. rozkùad Couchiego.

5

Definiujemy go funkcj¹ gêstoœci f: f  x  

1
.
 1 x2





h. rozkùad normalny, Gaussa z parametrami m,   .( N m,   )
Definiujemy go funkcj¹ gêstoœci f: f  x  

1
2



e

 x  m 2
2 2

.

Dla rozkùadu Gaussa nie jesteœmy w stanie podaã wzoru na dystrybuantê, a
wartoœci dystrybuanty rozkùadu standardowego N 0,1 dla poszczególnych
punktów mo¿emy znaleêã w tablicach matematycznych. Aby móc z tego
skorzystaã zauwa¿my, ¿e jeœli X ma rozkùad N m,   to zmienna Y 

X m
ma


rozkùad N 0,1 i dziêki temu korzystamy z tablic dla dowolnego rozkùadu
Gaussa. Proces powy¿szy nazywamy standaryzacj¹ rozkùadu Gaussa.

Czasami stoimy przed odwrotnym problemem, zamiast na podstawie gêstoœci szukaã
dystrybuanty musimy znaj¹c dystrybuantê znaleêã gêstoœã, wtedy w okreœlonych
przypadkach mo¿emy zastosowaã wiedzê z analizy i otrzymujemy reguùê:
Twierdzenie 5
Je¿eli dystrybuanta F rozkùadu P jest funkcj¹ ci¹gù¹, ró¿niczkowaln¹ poza skoñczon¹
iloœci¹ punktów i jej pochodna jest ci¹gùa w swojej dziedzinie to funkcja f  F 
prawie wszêdzie (czyli poza zbiorem miary zero).
Dowód
Twierdzenie to jest wnioskiem z teorii caùki i pozostawiam je bez dowodu.
Przykùad 3
Z odcinka (-3,3) losujemy punkt. Niech zmienna X odlegùoœã punktu od 0.
Rys 1

Policzymy dystrybuantê zmiennej X i o ile istnieje jej gêstoœã. Zauwa¿my, ¿e
  A
   3,3, F   R , P  A 
, czyli mamy do czynienia z prawdopodobieñstwem
  

6

geometrycznym. Policzmy teraz
0, dla t  0

F t   P    : X    t   P  x   3,3 : X  x   t    P  t , t , dla 0  t  3 
1, dla t  3

0, dla t  0
0, dla t  0

 2t
   t , t 


, dla 0  t  3   , dla 0  t  3
   3,3
6
1, dla t  3
1, dla t  3

Zauwa¿my, ¿e funkcja F jest ci¹gùa i ró¿niczkowalna poza zbiorem {0,3}, liczymy jej
pochodn¹:
0, dla t  0  t  3

czyli jest ona ci¹gùa w dziedzinie i
F t    1
 3 , dla t  0,3
0, dla t  0  t  3

. Uzupeùniùam funkcjê tak aby byùa okreœlona na caùym R .
f t    1
 3 , dla t  0,3

Definicja 6
Wartoœci¹ oczekiwan¹ zmiennej losowej X nazywamy E  X    xPX d x  , o ile
R

 x P d x    .
X

R

My jednak bêdziemy korzystaã z wzorów wynikaj¹cych z tej definicji odnosz¹cych siê
jednak bezpoœrednio do zmiennych typu dyskretnego lub typu ci¹gùego.
Przypadek dyskretny:
Niech taki, ¿e E  R i PE   1 .


Je¿eli E  x1 , x 2 , x3 ,.... taki, ¿e Pxi   pi i

p

i

 1 , wtedy mamy

i 1

EX  

x

k

p k pod warunkiem, ¿e

k 1, 2 ,....

x

k

pk   .

k 1, 2 ,....

Przypadek ci¹gùy:
Niech f gêstoœã rozkùadu zmiennej X, mamy wtedy E  X    xf x d  x  , o ile
R

 x f x d x    .
R

Inne przypadki nie bêd¹ nas interesowaã.
Wùasnoœci wartoœci oczekiwanej
(i)
Jeœli X  c z prawdopodobieñstwem 1 to E  X   c .
7

Jeœli istnieje E  X  oraz a dowolna staùa rzeczywista to istnieje E aX  i
mamy równoœã: E aX   aE  X  .
Jeœli istniej¹ E  X  oraz E Y  to istnieje E  X  Y  i mamy równoœã:
E  X  Y   E  X   E Y  .

(ii)
(iii)

Powy¿sze wùasnoœci wynikaj¹ z podstawowych wùasnoœci caùki.
Ponadto oczywistymi ale przydatnymi wzorami s¹ wzory na wartoœã oczekiwan¹
funkcji zmiennych losowych E  g  X  mamy wtedy:
dla przypadku dyskretnego: E  f  X    g  x k  p k pod warunkiem, ¿e
k 1, 2 ,....

 g x  p
k

k

 .

k 1, 2 ,....

dla przypadku ci¹gùego: E  X    g x  f x d x  , o ile
R

 g x  f x d x    .
R

Wartoœci oczekiwane podstawowych rozkùadów:
Dyskretne:
a. rozkùad jednopunktowy.
a  R, Pa  1 . E  X   a
b. rozkùad dwupunktowy.
a, b  R , Pa  p, Pb  q, p  q  1 . E  X   ap  bq , dla rozkùadu 0-1
mamy E  X   p .
c. rozkùad dwumianowy, Bernouliego.
n
n  N , dla dowolnego k  0,1,2,..., n mamy P k   Pn k     p k q n  k ,
k 
n

EX   

 kp
n
k

k

q n  k . . Policzmy:

k 0

n

  p
n
k

k

k 0
n

  kp
n
k

n

q n  k   p  q  , ró¿niczkuj¹c teraz stronami po p mamy:

k 1

q n  k  n p  q 

k 0
n

  kp q
n
k

k

nk

n 1

n 1

 np  p  q 

, mno¿¹c teraz przez p otrzymujemy:
st¹d E  X   np , bo  p  q   1 .

k 0

d. rozkùad Poissona z parametrem   0 .
k
. Policzmy
k!


k
k 1
k
 e   
 e   
 e   e    , czyli
k  1!
k 1 k  1!
k  0 k!

Dla dowolnego k  0,1,2,.... , mamy Pk   e 


E  X    ke  
k 0


k
  e 
k! k 1

EX    .

e. geometryczny.
Dla dowolnego k  0,1,2,.... , mamy Pk   q k p , gdzie p  q  1 . ãwiczenie dla
studentów.
Ci¹gùe:
8

f. rozkùad jednostajny nad odcinkiem a, b .
 1
, x  a, b

Funkcja gêstoœci f: f  x    b  a
. Policzmy
0,
x  a, b 
b

E  X    xf  x d  x    x
R

a

b2  a2 b  a
1
dx 

.
ba
2b  a 
2

g. rozkùad Couchiego.
Gêstoœã f  x  

1
. Brak wartoœci oczekiwanej bo
 1 x2





1

 x  1  x  d x   
2

R

h. rozkùad normalny, Gaussa z parametrami m,   .( N m,   )
Funkcja gêstoœci f: f  x  

1
2



e

 x  m 2
2 2

. Po dùu¿szych wyliczeniach caùkowaniu

przez podstawienie i przez czêœci otrzymujemy E  X   m .
Mo¿na te¿ policzyã dla X standardowego (otrzymamy E  X   0 ). A nastêpnie
dla dowolnego N m,   mamy Y  X  m st¹d E Y   E  X   m  m .
Definicja 7
Wariancj¹ zmiennej losowej X posiadaj¹cej wartoœã oczekiwan¹ E  X  definiujemy
wzorem:
2
D 2  X   E  X  E  X  .
Odchyleniem standardowym nazywamy   D 2  X  .
£atwo widaã, ¿e D 2  X   E X 2   E  X 2 . Znowu zajmiemy siê tylko przypadkami:
dyskretnym i ci¹gùym.
Przypadek dyskretny:
Niech taki, ¿e E  R i PE   1 .


Je¿eli E  x1 , x 2 , x3 ,.... taki, ¿e Pxi   pi i

p

i

 1 , wtedy mamy

i 1

2



D  X    x p k    x k p k  .
k 1, 2 ,....
 k 1, 2,....

2

2
k

Przypadek ci¹gùy:
Niech f gêstoœã rozkùadu zmiennej X, mamy wtedy
2



D  X    x f  x d x     xf  x d  x  .
R
R

2

2

Wùasnoœci wariancji:
D 2  X   0  X  c z prawdopodobieñstwem 1.
(i)
9


Related documents


metody prob 2
wst p do logiki i teorii mnogo ci
metody prob 1
plan zaj krdzfr 2015 16
pismo stojaki rowerowe kopia
teoria do kol 3


Related keywords