Metody prob 2 .pdf

File information


Original filename: Metody prob 2.pdf
Title: Microsoft Word - Część 2 Zastosowanie Metod Probabilistycznych - pdfMachine from Broadgun Software, http://pdfmachine.com, a great PDF writer utility!

This PDF 1.3 document has been generated by pdfMachine from Broadgun Software, http://pdfmachine.com, a great PDF writer utility!, and has been sent on pdf-archive.com on 24/05/2017 at 12:37, from IP address 81.190.x.x. The current document download page has been viewed 433 times.
File size: 224 KB (20 pages).
Privacy: public file


Download original PDF file


Metody prob 2.pdf (PDF, 224 KB)


Share on social networks



Link to this file download page



Document preview


Materiaùy do zastosowañ metod probabilistycznych.
K.Lubnauer
Czêœã 2
Zmienna losowa
Teoria
Definicja 1
Niech , F, P  bêdzie przestrzeni¹ probabilistyczn¹. Zmienn¹ losow¹ nazywamy
ka¿d¹ funkcjê rzeczywist¹ X speùniaj¹c¹ jeden z poni¿szych warunków:
(i)
dla dowolnego a  R mamy    : X    a F
(ii)
dla dowolnego a  R mamy    : X    a F
(iii) dla dowolnego a  R mamy    : X    a F
(iv) dla dowolnego a  R mamy    : X    a F
(v)
dla dowolnego A   R  mamy X 1  A  F ,
gdzie  R   -ciaùo zbiorów borelowskich na R.
Uwaga
 -ciaùo zbiorów borelowskich na R to najmniejsze  -ciaùo zawieraj¹ce wszystkie
przedziaùy.
Definicja 2 (Rozkùad zmiennej losowej)
Rozkùadem zmiennej losowej X okreœlonej na przestrzeni , F, P  nazywamy miarê
prawdopodobieñstwa okreœlon¹ wzorem: dla dowolnego A   R 
PX  A  P   : X    A  P X 1  A .
Przykùad 1
Rzucamy 3 razy monet¹. Niech X iloœã wyrzuconych orùów. Znajdêmy rozkùad X.
  o, o, o , o, o, r , o, r , o , r , o, o , r , r , o , r , o, r , o, r , r , r , r , r . Mamy do
czynienia z modelem klasycznym czyli P A 

A

, gdzie   8 . Zmienna X przyjmuje



wartoœci 0,1,2,3 odpowiednio z prawdopodobieñstwem:
PX 0   PX 0  P X 1 0  P r , r , r  





1
8

PX 1  PX 1  P X 1 1  P r , r , o , r , o, r , o, r , r  





3
8

PX 2   PX 2  P X 1 2  P r , o, o , o, o, r , o, r , o  





PX 3  PX 3  P X 1 3  P o, o, o  





1
.
8

Co mo¿emy zapisaã te¿ w tabeli:

1

3
8

xi

0

1

2

3

PX  xi 

1
8

3
8

3
8

1
8

Twierdzenie 1
Rozkùad zmiennej losowej jest miar¹ prawdopodobieñstwa na R,  R  .
Dowód
Niech PX rozkùad zmiennej losowej X okreœlonej na przestrzeni , F, P  okreœlony
wzorem dla dowolnego A   R 
PX  A  P   : X    A  P X 1  A .
Poka¿emy, ¿e speùnia on aksjomaty z definicji 2 z czêœci 1.
(i)
oczywistym jest z definicji i¿ dla dowolnego A   R  mamy
PX  A  P X 1  A  0 .
(ii)
policzmy teraz PX R   PX 1 R   P   1 ,
(iii) Niech Ai   R , i  1,2,3,... oraz Ai  A j   dla i  j ,(czyli s¹ parami
rozù¹czne) to z wùasnoœci przeciwobrazu ( przeciwobraz sumy zbiorów
równy jest sumie przeciwobrazów i przeciwobrazy zbiorów rozù¹cznych s¹
rozù¹czne ) oraz z wùasnoœci P mamy


 
  
 n
 
PX   Ai   P X 1   Ai    P  X 1  Ai    P X 1  Ai    PX  Ai  .
i 1
 i 1 
 i 1  
 i 1
 i 1






Pokazaliœmy, ¿e rozkùad jest miar¹ probabilistyczn¹ na R,  R  , rodzi siê pytanie
odwrotne: czy ka¿da miara unormowana na R,  R  . jest rozkùadem pewnej zmiennej
losowej?
Okazuje siê, ¿e odpowiedê jest pozytywna.
Twierdzenie 2
Ka¿da miara unormowana na R,  R  jest rozkùadem pewnej zmiennej losowej.
Dowód
Niech P pewna miara unormowana (probabilistyczna) na R,  R  , przyjmijmy teraz
  R, F   R  oraz X zmienna losowa okreœlona wzorem X     . Oczywiœcie
X :   R oraz mamy dla dowolnego A   R  :
PX  A  P   : X    A  P   :   A  P A . St¹d P  PX , czyli P rozkùad
pewnej zmiennej losowej X
Uwaga
Dlatego miary probabilistyczne na R,  R  nazywamy rozkùadami.
Definicja 3(Dystrybuanta rozkùadu)
2

Niech P rozkùad na R,  R  , dystrybuant¹ rozkùadu P nazywamy funkcjê F okreœlon¹
nastêpuj¹co: F : X  0,1 , F  x   P , x  , x  R .
Przykùad 2
Rzucamy 2 razy monet¹. Niech X iloœã wyrzuconych orùów, X    0,1,2 i mamy:
0,
1
 ,
1
1
1
4
PX 0   , PX 1  , PX 2   , st¹d F  x   
4
2
4
1  1 ,
4 2
1,


x0
0  x 1

.
1 x  2
x2

Jest to przykùad dystrybuanty rozkùadu dyskretnego (patrz definicja 4), przykùad
dystrybuanty dla przypadku ci¹gùego(definicja 5) mamy po Twierdzeniu 5
Twierdzenie 3 ( wùasnoœci dystrybuanty )
Dystrybuanta F rozkùadu prawdopodobieñstwa P na R,  R  ma nastêpuj¹ce
wùasnoœci:
(i)
F niemalej¹ca,
(ii)
F lewostronnie ci¹gùa,
(iii)
lim F  x   0, lim F  x   1 .
x  

Dowód
(i)
(ii)

x  

Niech x1  x 2 wtedy  , x1    , x 2  i z monotonicznoœci P mamy:
F  x1   P , x1   P , x 2   F  x 2  , czyli F niemalej¹ca.
Poka¿emy, ¿e lim F x   F xO  , Poniewa¿ F niemalej¹ca wiêc
x  xO

granica lim F x  istnieje i mo¿emy wzi¹ã dowolny rosn¹cy ci¹g x n zbie¿ny
x  xO

lewostronnie do xO i zbadaã czy granica lim F x n   F xO  . Zauwa¿my, ¿e
xn  xO



lim F  xn   lim P  , x n   P   , x n   P  , xO   F xO  z
x n  xO
x n  xO
 n 1


(iii)

ci¹gùoœci P.
Poniewa¿ F monotoniczna i ograniczona wiêc niew¹tpliwie posiada
skoñczone granice w   i   , policzymy je wiêc dla ustalonych ci¹gów


lim F  n   lim P  ,n   P   , n   P    0 i analogicznie
n 
n 
 n 1




lim F n   lim P  , n   P   , n   P    1 .
n 
n 
 n 1


Wùasnoœã
F jako funkcja niemalej¹ca i ograniczona ma skoñczon¹ liczbê punktów nieci¹gùoœci.
Dowód
3

1
n




Rzeczywiœcie, niech dla n  N, E n   x  R : F x    F  x    (gdzie F x   oznacza
granicê prawostronn¹ w punkcie x), wtedy En  n . Istotnie przypuœãmy ¿e E n  m  n ,
wtedy mielibyœmy dla x1  x 2  x3  ...  x m nale¿¹cych do E n :

 


     F x   ....  F x   F x   1n  1n  ...  1n  1 bo m  n ,

1  F x1  F  x1   F x 2





2

m

m



czyli otrzymujemy sprzecznoœã. Tak wiêc E n  n , zatem E   E n jest przeliczalny.
n 1

Zauwa¿my jeszcze, ¿e E to zbiór punktów nieci¹gùoœci F i mamy tezê.
Twierdzenie 4
Ka¿da funkcja speùniaj¹ca warunki (i)-(iii) jest dystrybuant¹ pewnego, i jednego
rozkùadu na R,  R  .
Dowód
Poniewa¿ przedziaùy postaci  , x  generuj¹  R  wiêc mo¿emy zdefiniowaã miarê
jednoznacznie na R,  R  wzorem P , x   F  x  .
Wùasnoœci dystrybuanty:
Niech F bêdzie dystrybuant¹ rozkùadu P. Dla dowolnych a, b  R , a  b mamy:
(i)
P , b   F b  ,
(ii)
P  , b   F b   ,
(iii) Pa,    1  F a  ,
(iv)
P a,    1  F a  ,
(v)
Pa, b   F b   F a  ,
(vi)
P a, b   F b   F a   ,
(vii) Pa, b  F b    F a  ,
(viii) Pa, b  F b    F a  ,
(ix)
P a  F a    F a  .
Wùasnoœci te s¹ proste do wykazania i pozostawiam do samodzielnego dowodzenia.
Definicja 4
Rozkùad P nazywamy rozkùadem dyskretnym lub typu skokowego je¿eli istnieje zbiór
przeliczalny (mo¿e byã skoñczony) taki, ¿e E  R i PE   1 .
Je¿eli E  x1 , x 2 , x3 ,.... to aby zdefiniowaã rozkùad dyskretny wystarczy podaã
wartoœci P dla zbiorów jednopunktowych zawieraj¹cych elementy z E.


Jeœli Pxi   pi to oczywiœcie

p

i

 1.

i 1

Definicja 5

4

Rozkùad P nazywamy rozkùadem ci¹gùym lub typu ci¹gùego je¿eli istnieje taka funkcja
nieujemna f,  f t dt  1 , zwana gêstoœci¹ rozkùadu P taka, ¿e dystrybuanta F rozkùadu
R

P wyra¿a siê wzorem:
x

F x  

 f t dt


lub równowa¿nie dla dowolnego A   R  mamy:
P  A   f t dt .
A

Zauwa¿my, ¿e gêstoœã nie jest wyznaczona jednoznacznie i jest to pewna klasa funkcji
równych sobie poza zbiorem miary 0.

Podstawowe rozkùady prawdopodobieñstwa:
Dyskretne:
a. rozkùad jednopunktowy.
1, a  A
a  R, Pa  1 . Wtedy P  A  
.
0, a  A

b. rozkùad dwupunktowy.
a, b  R , Pa  p, Pb  q, p  q  1 . Rodzajem rozkùadu dwupunktowego

jest rozkùad 0-1 (zero-jedynkowy), gdy a=1, b=0
c. rozkùad dwumianowy, Bernouliego.
n
n  N , dla dowolnego k  0,1,2,..., n mamy P k   Pn k     p k q n  k , gdzie
k 
p  q  1 oraz zwyczajowo p nazywamy prawdopodobieñstwem sukcesu, a q
pora¿ki, zaœ Pn k  oznacza prawdopodobieñstwo k sukcesów w n próbach
n

(doœwiadczeniach). Oczywiœcie

 P k   1 .
n

k 0

d. rozkùad Poissona z parametrem   0 .
Dla dowolnego k  0,1,2,.... , mamy Pk   e 

k
. Oczywiœcie
k!



 Pk   1 .
k 0

e. geometryczny.
Dla dowolnego k  0,1,2,.... , mamy Pk   q k p , gdzie p  q  1 . Pk  oznacza
prawdopodobieñstwo k pora¿ek poprzedzaj¹cych pierwszy sukces. Oczywiœcie


 Pk   1 .
k 0

Ci¹gùe:
f. rozkùad jednostajny nad odcinkiem a, b .
 1
, x  a, b

Definiujemy go funkcj¹ gêstoœci f: f  x    b  a
.
0,
x  a, b 

g. rozkùad Couchiego.

5

Definiujemy go funkcj¹ gêstoœci f: f  x  

1
.
 1 x2





h. rozkùad normalny, Gaussa z parametrami m,   .( N m,   )
Definiujemy go funkcj¹ gêstoœci f: f  x  

1
2



e

 x  m 2
2 2

.

Dla rozkùadu Gaussa nie jesteœmy w stanie podaã wzoru na dystrybuantê, a
wartoœci dystrybuanty rozkùadu standardowego N 0,1 dla poszczególnych
punktów mo¿emy znaleêã w tablicach matematycznych. Aby móc z tego
skorzystaã zauwa¿my, ¿e jeœli X ma rozkùad N m,   to zmienna Y 

X m
ma


rozkùad N 0,1 i dziêki temu korzystamy z tablic dla dowolnego rozkùadu
Gaussa. Proces powy¿szy nazywamy standaryzacj¹ rozkùadu Gaussa.

Czasami stoimy przed odwrotnym problemem, zamiast na podstawie gêstoœci szukaã
dystrybuanty musimy znaj¹c dystrybuantê znaleêã gêstoœã, wtedy w okreœlonych
przypadkach mo¿emy zastosowaã wiedzê z analizy i otrzymujemy reguùê:
Twierdzenie 5
Je¿eli dystrybuanta F rozkùadu P jest funkcj¹ ci¹gù¹, ró¿niczkowaln¹ poza skoñczon¹
iloœci¹ punktów i jej pochodna jest ci¹gùa w swojej dziedzinie to funkcja f  F 
prawie wszêdzie (czyli poza zbiorem miary zero).
Dowód
Twierdzenie to jest wnioskiem z teorii caùki i pozostawiam je bez dowodu.
Przykùad 3
Z odcinka (-3,3) losujemy punkt. Niech zmienna X odlegùoœã punktu od 0.
Rys 1

Policzymy dystrybuantê zmiennej X i o ile istnieje jej gêstoœã. Zauwa¿my, ¿e
  A
   3,3, F   R , P  A 
, czyli mamy do czynienia z prawdopodobieñstwem
  

6

geometrycznym. Policzmy teraz
0, dla t  0

F t   P    : X    t   P  x   3,3 : X  x   t    P  t , t , dla 0  t  3 
1, dla t  3

0, dla t  0
0, dla t  0

 2t
   t , t 


, dla 0  t  3   , dla 0  t  3
   3,3
6
1, dla t  3
1, dla t  3

Zauwa¿my, ¿e funkcja F jest ci¹gùa i ró¿niczkowalna poza zbiorem {0,3}, liczymy jej
pochodn¹:
0, dla t  0  t  3

czyli jest ona ci¹gùa w dziedzinie i
F t    1
 3 , dla t  0,3
0, dla t  0  t  3

. Uzupeùniùam funkcjê tak aby byùa okreœlona na caùym R .
f t    1
 3 , dla t  0,3

Definicja 6
Wartoœci¹ oczekiwan¹ zmiennej losowej X nazywamy E  X    xPX d x  , o ile
R

 x P d x    .
X

R

My jednak bêdziemy korzystaã z wzorów wynikaj¹cych z tej definicji odnosz¹cych siê
jednak bezpoœrednio do zmiennych typu dyskretnego lub typu ci¹gùego.
Przypadek dyskretny:
Niech taki, ¿e E  R i PE   1 .


Je¿eli E  x1 , x 2 , x3 ,.... taki, ¿e Pxi   pi i

p

i

 1 , wtedy mamy

i 1

EX  

x

k

p k pod warunkiem, ¿e

k 1, 2 ,....

x

k

pk   .

k 1, 2 ,....

Przypadek ci¹gùy:
Niech f gêstoœã rozkùadu zmiennej X, mamy wtedy E  X    xf x d  x  , o ile
R

 x f x d x    .
R

Inne przypadki nie bêd¹ nas interesowaã.
Wùasnoœci wartoœci oczekiwanej
(i)
Jeœli X  c z prawdopodobieñstwem 1 to E  X   c .
7

Jeœli istnieje E  X  oraz a dowolna staùa rzeczywista to istnieje E aX  i
mamy równoœã: E aX   aE  X  .
Jeœli istniej¹ E  X  oraz E Y  to istnieje E  X  Y  i mamy równoœã:
E  X  Y   E  X   E Y  .

(ii)
(iii)

Powy¿sze wùasnoœci wynikaj¹ z podstawowych wùasnoœci caùki.
Ponadto oczywistymi ale przydatnymi wzorami s¹ wzory na wartoœã oczekiwan¹
funkcji zmiennych losowych E  g  X  mamy wtedy:
dla przypadku dyskretnego: E  f  X    g  x k  p k pod warunkiem, ¿e
k 1, 2 ,....

 g x  p
k

k

 .

k 1, 2 ,....

dla przypadku ci¹gùego: E  X    g x  f x d x  , o ile
R

 g x  f x d x    .
R

Wartoœci oczekiwane podstawowych rozkùadów:
Dyskretne:
a. rozkùad jednopunktowy.
a  R, Pa  1 . E  X   a
b. rozkùad dwupunktowy.
a, b  R , Pa  p, Pb  q, p  q  1 . E  X   ap  bq , dla rozkùadu 0-1
mamy E  X   p .
c. rozkùad dwumianowy, Bernouliego.
n
n  N , dla dowolnego k  0,1,2,..., n mamy P k   Pn k     p k q n  k ,
k 
n

EX   

 kp
n
k

k

q n  k . . Policzmy:

k 0

n

  p
n
k

k

k 0
n

  kp
n
k

n

q n  k   p  q  , ró¿niczkuj¹c teraz stronami po p mamy:

k 1

q n  k  n p  q 

k 0
n

  kp q
n
k

k

nk

n 1

n 1

 np  p  q 

, mno¿¹c teraz przez p otrzymujemy:
st¹d E  X   np , bo  p  q   1 .

k 0

d. rozkùad Poissona z parametrem   0 .
k
. Policzmy
k!


k
k 1
k
 e   
 e   
 e   e    , czyli
k  1!
k 1 k  1!
k  0 k!

Dla dowolnego k  0,1,2,.... , mamy Pk   e 


E  X    ke  
k 0


k
  e 
k! k 1

EX    .

e. geometryczny.
Dla dowolnego k  0,1,2,.... , mamy Pk   q k p , gdzie p  q  1 . ãwiczenie dla
studentów.
Ci¹gùe:
8

f. rozkùad jednostajny nad odcinkiem a, b .
 1
, x  a, b

Funkcja gêstoœci f: f  x    b  a
. Policzmy
0,
x  a, b 
b

E  X    xf  x d  x    x
R

a

b2  a2 b  a
1
dx 

.
ba
2b  a 
2

g. rozkùad Couchiego.
Gêstoœã f  x  

1
. Brak wartoœci oczekiwanej bo
 1 x2





1

 x  1  x  d x   
2

R

h. rozkùad normalny, Gaussa z parametrami m,   .( N m,   )
Funkcja gêstoœci f: f  x  

1
2



e

 x  m 2
2 2

. Po dùu¿szych wyliczeniach caùkowaniu

przez podstawienie i przez czêœci otrzymujemy E  X   m .
Mo¿na te¿ policzyã dla X standardowego (otrzymamy E  X   0 ). A nastêpnie
dla dowolnego N m,   mamy Y  X  m st¹d E Y   E  X   m  m .
Definicja 7
Wariancj¹ zmiennej losowej X posiadaj¹cej wartoœã oczekiwan¹ E  X  definiujemy
wzorem:
2
D 2  X   E  X  E  X  .
Odchyleniem standardowym nazywamy   D 2  X  .
£atwo widaã, ¿e D 2  X   E X 2   E  X 2 . Znowu zajmiemy siê tylko przypadkami:
dyskretnym i ci¹gùym.
Przypadek dyskretny:
Niech taki, ¿e E  R i PE   1 .


Je¿eli E  x1 , x 2 , x3 ,.... taki, ¿e Pxi   pi i

p

i

 1 , wtedy mamy

i 1

2



D  X    x p k    x k p k  .
k 1, 2 ,....
 k 1, 2,....

2

2
k

Przypadek ci¹gùy:
Niech f gêstoœã rozkùadu zmiennej X, mamy wtedy
2



D  X    x f  x d x     xf  x d  x  .
R
R

2

2

Wùasnoœci wariancji:
D 2  X   0  X  c z prawdopodobieñstwem 1.
(i)
9


Related documents


metody prob 2
wst p do logiki i teorii mnogo ci
metody prob 1
wyk rrc3 5 6
ss ogr zadania
plan zaj krdzfr 2015 16

Link to this page


Permanent link

Use the permanent link to the download page to share your document on Facebook, Twitter, LinkedIn, or directly with a contact by e-Mail, Messenger, Whatsapp, Line..

Short link

Use the short link to share your document on Twitter or by text message (SMS)

HTML Code

Copy the following HTML code to share your document on a Website or Blog

QR Code

QR Code link to PDF file Metody prob 2.pdf