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Soit S k = (−1)k Alors, n (n − k)2 k n =− 2 n−1 X Sk k=1 Ce est équivalent à n = 2 n−1 X (−1) k+1 k=1 ! n (n − k)2 . k Démonstration. Pour cela, on ajoute les termes S 0 et S n à la somme : − n−1 X Sk = S0 + Sn − n X S k. k=0 k=1 On a : ! n S n = (−1) (n − n)2 = 0. n ! 0 n S 0 = (−1) (n − 0)2 = n2 . 0 n La somme ! n X k n (−1) (x − k)2 k k=0 est égale à zéro, ce qui est facilement vérifiable pour n = 3 et pour tout x ∈ Z, incluant n. Par induction,  n  ! ! n+1 X X   n + 1 n + 1  (x − k)2 = x2 +  (−1)k (x − k)2  − (−1)n (x − n)2 (−1)k k k k=0  k=1  ! !! n X  n n 2 k 2 = x +  (−1) + (x − k)  − (−1)n (x − n)2 k k−1  k=1   n  ! ! n X X     n n    (x − k)2  − (−1)n (x − n)2 = x2 +  (−1)k (x − k)2  −  (−1)k k k−1 k=1 k=1 ! ! n X 2 k n k n = (−1) (x − k) − (−1) (x − 1 − k)2 k k k=0 k=0 n X = 0 − 0 = 0. Donc, 1  − n−1 X k=1 Sk = S0 + Sn − n X S k = n2 + 0 − 0 = n2 . k=0 Puisque l’induction a pour départ n = 3, cette relation n’est prouvée que pour n > 2 2