Vegyes feladatok I uj tum (PDF)

Halmos Mária–Pósa Lajos

VEGYES FELADATOK 1.
tanri tmutat

Műszaki Könyvkiadó, Budapest

A könyv a Soros Alapítvány támogatásában részesülő
Matematika-módszertani Kutatócsoport közreműködésével,
az először 1981-ben megjelent jegyzet alapján készült.

A rajzokat készítette: Halmos Mária

c


c Pósa Lajos, 1981, 1998

Hungarian edition Műszaki Könyvkiadó

ISBN 963 16 2229 0

Kiadja a Műszaki Könyvkiadó
Felelős kiadó: Bérczi Sándor ügyvezető igazgató
Felelős szerkesztő: Halmos Mária
Műszaki vezető: Abonyi Ferenc
Borítóterv: Biró Mária
Műszaki szerkesztő: Ihász Viktória
A könyv terjedelme: 1,79 (A/5) ív
Azonossági szám: MK 0901501

Nhny sz a knyvsorozatrl

A Matematika-módszertani Kutatócsoport középiskolai matematikatankönyv-sorozata,
melynek ez a könyv is része, egy 1973-tól mintegy másfél évtizeden keresztül folyt
tanítási kísérlet eredménye.
Ezúton mondunk köszönetet azoknak a tanároknak, akik részt vettek a kísérletben és
minden munkatársunknak, akik értékes tapasztalataikkal, beszámolóikkal, megjegyzéseikkel nagyon sokat csiszoltak, javítottak az anyagokon.
Köszönetet mondunk Surányi Jánosnak, aki két évtizedig vezette a kutatócsoport sok
nehézséggel terhes munkáját, figyelemmel kísérte, összefogta és kézben tartotta a tanítási
kísérletet, nagy szakmai tudásával és emberségével segítette az iskolákban folyó munkát,
a tanárok számára komoly támaszt jelentve; vállalta a kísérleti anyagok elkészítésének
folyamatos szakmai irányítását, beleértve az anyagokhoz készített részletes bírálatait,
amelyek alapján az évek folyamán sok jelentős javításra került sor.
Köszönettel tartozunk Gádor Endrénének, aki a kísérletező tanárok munkáját segítette, és akinek a kísérleti anyagok javításában is sok része volt, és Genzwein Ferencnek, aki
a 80-as években nagy segítséget nyújtott ahhoz, hogy a kísérleti munkákat folytathassa a
kutatócsoport.
Nagy szeretettel gondolunk Gábos Ildikóra, aki már sajnos nincs közöttünk, és aki
nagy tanári tapasztalatával, a kísérletben való lelkes és áldozatkész részvételével, tanári
útmutatók készítésével nagyon jelentős részt vállalt könyvsorozatunk kialakításában.
Hálával tartozunk Péter Rózsának, aki élete utolsó éveiben – már nagyon betegen
is – igen sokat segített a könyvek elkészítésében; Rényi Alfrédnak, aki annak idején a
Matematika-módszertani Kutatócsoportot a Matematikai Kutató Intézetben létrehozta, és
aki nagyon hatékonyan támogatta a tanulók önállóságára, kezdeményezéseire, tapasztalataira, felfedezéseire építő matematikatanítást.
Köszönettel tartozunk Kékes Máriának, aki a Műszaki Kiadó részéről sokat tett azért,
hogy ez a könyvsorozat minél tökéletesebben juthasson el az iskolákba.
Könyveink szedését D. E. Knuth amerikai matematikus TEX matematikai kiadványszerkesztő programjával készítjük. Bori Tamásnak, Fried Katalinnak és Juhász Lehelnek
köszönjük, hogy ennek a lenyűgözően matematikus-lelkületű programnak különböző fortélyait megismertették velünk.
Halmos Mária
a könyvsorozat alkotó szerkesztője

3

1. Két gyerek átmegy, egy visszahozza a csónakot, egy katona átmegy, a másik gyerek
visszahozza a csónakot, és így tovább.

3{5. A feladatsor élvezetesebbé tehető, ha csapatjátékot csinálunk belőle. Ültessük a
gyerekeket 2-4 fős csoportokba. A 3. feladathoz mindegyik csoport kap 6 kártyát, ezek
jelképezik a súlyokat. A csoport egy tagja eldönti magában, hogy melyik a hibás súly, és
egyben vállalja a mérleg szerepét (két keze lesz a mérleg két serpenyője), a többiek feladata természetesen az, hogy kevés méréssel kiderítsék, melyik a hibás súly. A csapatok
versenyeznek, hogy
a 3. feladatnál ki tudja a legkevesebb méréssel (szerencse nélkül) megtalálni a keresett
súlyt,
a 4. feladatnál melyik csapat tudja a legtbb súlyból 2 méréssel biztosan kiválasztani a
hibás súlyt (ehhez további kártyákat kell adnunk).
Állításaikat, módszereiket úgy ellenőrizhetjük, hogy mi magunk vesszük át a mérleg
szerepét, velünk szemben kell bizonyítaniuk, hogy, mondjuk, 8 súlyból képesek 2 méréssel kiválasztani a hibásat. A tanár dolga ilyenkor az, hogy mindig a kevésbé szerencsés választ adja. Ha például feltesznek a mérlegre 2-2 súlyt, akkor egyenlőséget fogunk
mutatni, így a maradék 4 súlyból kell megtalálni a hibásat, míg ha valamelyik serpenyő
nehezebb lenne a másiknál, akkor a rajta lévő 2 súly közül kellene kiválasztani a hibásat.
(Ezt mindegyik csapattal külön kell eljátszanunk, különben az egyik csapat jó módszerét elleshetné a többi.) (Kezdetben célszerű lehet a kedvezőbb válasszal is eljátszani a
feladatot, mert elképzelhető, hogy nem látják tisztán, melyik válasz esetén mi a célszerű
magatartás. Olyat is láttam már, hogy 9 súlynál a gyerekek feltettek 3-3 súlyt, és az
egyenl válaszra 1 méréssel be tudták fejezni a játékot, de a nehezebbre nem! Nem látták
át, hogy ez ugyanaz a helyzet: 3 súlyból kell 1 méréssel kiválasztani a hibásat.)
2 mérésnél 9 a maximum. Várjunk a közös megbeszéléssel addig, amíg mindegyik
csapat nem jut el idáig! A közös megbeszélésre azért szükség van, most lehet például
elárulni a válaszoló stratégiánkat (mindig a kedvezőtlenebb választ adjuk). Meg lehet
próbálni a táblánál 10 súllyal (kártyák helyett most az 1, 2, . . . 9, 10 számok jelképezhetik a súlyokat). Kijön egy önként vállalkozó gyerek, és, mondjuk, feltesz 4-4 súlyt.
A többi gyerekhez fordulunk, és megkérdezzük: Mit mutasson a mérleg, hogy ne legyen
szerencséje? Lesz, aki itt
rti meg, hogy mirl is van sz tulajdonk
ppen. Azt vizsgljuk,

hogy mi van akkor, ha a lehet leg gyesebben m
r nk, de a lehet legnagyobb pech nk van.

9 súlynál 3-3-at teszünk fel. Melyik eset a kedvezőtlenebb? Mindegy, mert így is,
úgy is 3-ból kell kiválasztani stb.
Az 5. feladatnál azt a kérdést várom leginkább, hogy 3 (majd 4, 5, . . . ) méréssel legfeljebb hány súlyból lehet kiválasztani a hibásat. (Más kérdést is kaphatunk, és azt is
gondoljuk végig, ha lehet!)
A válasz: 27, 81, 35 , . . .

5

9. Ebből is csinálhatunk egy játékot! A játék neve (mondjuk) jsls. Mindegyik gyerek
sorjában megtippeli, hogy 3, 4, 5, . . . pont legfeljebb hány egyenest határoz meg. (Az
ábrát fejben kell elképzelni, rajzolni tilos!) Egyszerre csak egy válaszra tippelünk, és
miután mindenki leírta a „jóslatát”, egy táblai rajzon megnézzük, hogy valójában hány
egyenes lesz azon az ábrán. Előbb-utóbb fejben már nem áttekinthető ez az ábra, és így a
gyerekek rákényszerülnek arra, hogy a számsorozat alakulásából jósoljanak a folytatására
(ezért is „jóslás” a játék neve, arra utal, hogy nem kell feltétlenül tudni a helyes választ,
elég ha jól tudunk jósolni). Az egyenesek száma így alakul: 3, 6, 10, 15, 21, . . . (Ez
kerüljön föl a táblára!) Mit lehet észrevenni? Azt, hogy a szmok kztti k lnbs
g mindig
1-gyel nagyobb lesz. Ennek alapján már könnyű jósolni, a következő szám így például
21 + 7 = 28 lesz.
Milyen kérdések merülnek fel ez után?
(1) Biztos-e, hogy a megfigyelt szabályszerűség továbbra is érvényes marad rkknrkk
? Hátha csak a véletlen műve ez az egyezés, és egy idő után már nem így
következnek a számok egymás után?
Próbáljuk meg bebizonytani, hogy sejtésünk mindig érvényes marad! (Ötlet: nézzük meg,
hogy például a 7. pont felvételével mennyivel nő meg az egyenesek száma!)
(2) Módszerünk nehézkes, ha nagy a pontok száma. Hány egyenest kapunk például 200
pontnál?
n(n − 1)
Tanári elhatározás kérdése, hogy akarjuk-e rávezetni a gyerekeket az általános
2
képletre vagy sem. Lehet, hogy még korai! (Az is elképzelhető, hogy néhány gyerek már
ismeri ezt a képletet! Őket az elején gyorsan le kell kapcsolni, mert elrontják az egész
játékot. Kapjanak más feladatot, amíg a játék tart.) Megfogalmazni semmiképpen sem árt
azt a vágyunkat, hogy milyen jó lenne egy gyors módszert találni, amellyel (számológépet
használva) pár másodperc alatt meg lehet határozni az egyenesek számát akkor is, ha
nagy a pontok száma. Aztán esetleg később vissza lehet térni ide. Az is elképzelhető,
hogy néhány gyerek felfedezi a képletet (bizonyítással vagy anélkül).

10. 5 pont 10 egyenest határoz meg, ha semelyik három nem esik egy egyenesbe; 8-at,
ha pontosan három pont esik egy egyenesbe; 6-ot, ha két hármas egy-egy egyenesbe esik;
5-öt, ha pontosan négy esik egy egyenesbe; 1-et, ha az öt pont egy egyenesbe esik. Más
eset nincs, tehát a feladat a) része nem oldható meg.

11. Ne csak egyenlettel oldják meg a gyerekek, hanem rajzzal is, okoskodással is. Ez a
megjegyzés az összes egyenlettel is megoldható „szöveges” feladatra vonatkozik. Például
így lehet okoskodni:
Az ital és az üveg együttes ára: 1 üveg + 35 + 1 üveg = 38.
Tehát az üveg 1,50; az ital 36,50. (Ez persze mondható „egyenlet”-es megoldásnak is.)

6

12. Okoskodással: Ha az apa 5 évvel kevesebb lenne, akkor az életkoruk összesen 57 év
lenne, ami a fiú életkorának a háromszorosa. A fiú 19 éves, az apa 43.

13., 14. Lehetőleg fejben gondolkozzanak, csak az vegyen elő papírt, akinek nagyon
muszáj.

19. A Föld felszínétől
Föld méreteitől!

1
2π

≈ 0,16 m magasságban lesz a drót. Az eredmény független a

20. A háromszög három szöge: 67◦ , 63◦ , 50◦ .
21. A két hegyesszög: 27◦ és 63◦ .
22. A háromszög három szöge: 74◦ , 53◦ , 53◦ .
23. A szög egy papírra van lerajzolva, a nagyító természetesen nem változtatja meg a
szög nagyságát (idealizált esetben, ha a kép hasonló az eredetihez).

25. Húzzuk be a három magasságot!
26. 1 egész = 4 negyed (a kis körök a nagy kör 0,5-szeres kicsinyítései).
27. P -ből körzővel e-n két metszést végzünk, majd a két metszéspont felező merőlegesét
megszerkesztjük, például így:

P

e

28. a) Hetet kell kivenni (6 még nem elég, mert lehet, hogy mindhárom színből kettőt
húztunk).

b) 31-et kell kivenni (30 még nem elég, mert lehet, hogy 30 zöldet vettünk ki).
29. Vigyázat, bal kesztyű és jobb kesztyű is kell! A helyes eredmény 31 (30 nem elég,
mert lehet például, hogy 20 jobb fehéret és 10 bal feketét húztunk).

30. Okoskodással: A nagyobbik szám a kisebbik szám kétszeresénél 1-gyel nagyobb.
Tehát a kisebbik szám háromszorosához 1-et adva kapunk 100-at. A kisebbik szám 33,
a nagyobbik 67.
7

31. A „visszafelé göngyölés” módszerével célszerű megoldani: csütörtökön eladás előtt
(8 − 2) · 2 = 12, szerdán 12 + 5 = 17, kedden (17 + 2) · 2 = 38, hétfőn (38 + 4) · 2 = 84
drágakő volt.

32. 1 óra 20 perc = 80 perc.
33. Ezt az „ugyanannyi” számot érdemes ismeretlennek venni.
34. Az 1–2., 3–4., 5–6., . . . 51–52. hétpárok mindegyikére csak 1 születésnap eshet. A
365. és az esetleges 366. napra egyet számítva is csak 27 születésnapot „osztottunk szét”.
(Meggondolható, hogy már 27 születésnapot sem lehet úgy szétosztani, hogy ne legyen
köztük legalább kettő két hétnél közelebbi.)
35. 2 óra 20 perc
36. Nyilván úgy osztják el a munkát, hogy egyszerre fejezzék be. Egy óra alatt az anyag
1 1
5
+ =
2 3
6
részével végeznek. Tehát

6
5

óra a megoldás.

Más indoklás: 6 óra alatt a megadott szöveget (együtt) ötször tudnák legépelni, stb.

37. an = 2n − 8
39. b)







(2 : 2) : 2 : 2 : 2

2:





(2 : 2) : 2 : 2



40. A 12 szám összege 78. Ezt 2 : 1 arányban kell szétosztani a belső és a külső kör
között. A belső körre így 26 jut. Most már csak a négy szóba jöhető szám összegeként
kell a 26-ot előállítani, például 26 = 1 + 2 + 11 + 12. Így a külső körre maradnak a
számok 3-tól 10-ig.

41. a) 5 · 5 · 5 − 5 · 5 = 100
b) (5 − 5) · 5 +
c)

5
55
5+5
5
= 555−55 = 55−5 + 5 − 5 =
−5−5=
− =1
5
5
5
5

5+5
5
+ 5 − 5 = 55−5 + = 2
5
5

42. A „visszafelé göngyölés” módszerével:
43. 3 óra 24 perc
8



24 ·

3
2





− 15 : 0,6 − 7 : 2 = 14

44. 1 óra alatt a három csap a tartály 1 +
alatt megtelik a tartály.

1
2

+

1
3

=

11
6

részét tölti meg. Tehát

6
11

óra

A gyerekeknek biztonságosabb így:
1 óra alatt

11
6

rész, x óra alatt

45. Mindhárman

8
3

= 2

11
6

· x rész,

11
6

· x = 1, x =

6
.
11

2
3

1

1

cipót ettek meg. Így az egyik pásztor , a másik 2 cipót
3
3
adott a vadásznak. Ezek aránya 1 : 7, így a pénzen is ebben az arányban osztoznak.

46. Az előző megoldás gondolatmenete alapján: mind a hárman
4
,
3

Béla

1
3

5
3

ebédet ettek. András

ebédet adott Csabának. Így 4 : 1 arányban osztoznak a 60 forinton.

47. Két szép megoldás:
I. Összeilleszteni két ilyen alakzatot téglalappá.

II. A terület = a nagy derékszögű háromszög területe +
+ az n kis háromszög területe =
Csak ezek után emlékeztessünk a 9. feladatra.

48. a)

n
n2
+ .
2
2

b)

49. Például: 1. A-ból AB sugarú kör megrajzolása (Ez az O kör).
2. B-ből kicsi sugárral kör – O-val két metszéspontja P és Q.
3. PQ felezőpontja F.
FB része AB-nek.
9