Vegyes feladatok I uj tum .pdf

File information


Original filename: Vegyes_feladatok_I_uj_tum.pdf
Title: VEGYtU.dvi

This PDF 1.4 document has been generated by dvips 5.83 Copyright 1998 Radical Eye Software / Acrobat Distiller 8.1.0 (Windows), and has been sent on pdf-archive.com on 17/06/2017 at 14:09, from IP address 188.143.x.x. The current document download page has been viewed 371 times.
File size: 495 KB (18 pages).
Privacy: public file


Download original PDF file


Vegyes_feladatok_I_uj_tum.pdf (PDF, 495 KB)


Share on social networks



Link to this file download page



Document preview


Halmos Mária–Pósa Lajos

VEGYES FELADATOK 1.
tanri tmutat

Műszaki Könyvkiadó, Budapest

A könyv a Soros Alapítvány támogatásában részesülő
Matematika-módszertani Kutatócsoport közreműködésével,
az először 1981-ben megjelent jegyzet alapján készült.

A rajzokat készítette: Halmos Mária

c


c Pósa Lajos, 1981, 1998

Hungarian edition Műszaki Könyvkiadó

ISBN 963 16 2229 0

Kiadja a Műszaki Könyvkiadó
Felelős kiadó: Bérczi Sándor ügyvezető igazgató
Felelős szerkesztő: Halmos Mária
Műszaki vezető: Abonyi Ferenc
Borítóterv: Biró Mária
Műszaki szerkesztő: Ihász Viktória
A könyv terjedelme: 1,79 (A/5) ív
Azonossági szám: MK 0901501

Nhny sz a knyvsorozatrl

A Matematika-módszertani Kutatócsoport középiskolai matematikatankönyv-sorozata,
melynek ez a könyv is része, egy 1973-tól mintegy másfél évtizeden keresztül folyt
tanítási kísérlet eredménye.
Ezúton mondunk köszönetet azoknak a tanároknak, akik részt vettek a kísérletben és
minden munkatársunknak, akik értékes tapasztalataikkal, beszámolóikkal, megjegyzéseikkel nagyon sokat csiszoltak, javítottak az anyagokon.
Köszönetet mondunk Surányi Jánosnak, aki két évtizedig vezette a kutatócsoport sok
nehézséggel terhes munkáját, figyelemmel kísérte, összefogta és kézben tartotta a tanítási
kísérletet, nagy szakmai tudásával és emberségével segítette az iskolákban folyó munkát,
a tanárok számára komoly támaszt jelentve; vállalta a kísérleti anyagok elkészítésének
folyamatos szakmai irányítását, beleértve az anyagokhoz készített részletes bírálatait,
amelyek alapján az évek folyamán sok jelentős javításra került sor.
Köszönettel tartozunk Gádor Endrénének, aki a kísérletező tanárok munkáját segítette, és akinek a kísérleti anyagok javításában is sok része volt, és Genzwein Ferencnek, aki
a 80-as években nagy segítséget nyújtott ahhoz, hogy a kísérleti munkákat folytathassa a
kutatócsoport.
Nagy szeretettel gondolunk Gábos Ildikóra, aki már sajnos nincs közöttünk, és aki
nagy tanári tapasztalatával, a kísérletben való lelkes és áldozatkész részvételével, tanári
útmutatók készítésével nagyon jelentős részt vállalt könyvsorozatunk kialakításában.
Hálával tartozunk Péter Rózsának, aki élete utolsó éveiben – már nagyon betegen
is – igen sokat segített a könyvek elkészítésében; Rényi Alfrédnak, aki annak idején a
Matematika-módszertani Kutatócsoportot a Matematikai Kutató Intézetben létrehozta, és
aki nagyon hatékonyan támogatta a tanulók önállóságára, kezdeményezéseire, tapasztalataira, felfedezéseire építő matematikatanítást.
Köszönettel tartozunk Kékes Máriának, aki a Műszaki Kiadó részéről sokat tett azért,
hogy ez a könyvsorozat minél tökéletesebben juthasson el az iskolákba.
Könyveink szedését D. E. Knuth amerikai matematikus TEX matematikai kiadványszerkesztő programjával készítjük. Bori Tamásnak, Fried Katalinnak és Juhász Lehelnek
köszönjük, hogy ennek a lenyűgözően matematikus-lelkületű programnak különböző fortélyait megismertették velünk.
Halmos Mária
a könyvsorozat alkotó szerkesztője

3

1. Két gyerek átmegy, egy visszahozza a csónakot, egy katona átmegy, a másik gyerek
visszahozza a csónakot, és így tovább.

3{5. A feladatsor élvezetesebbé tehető, ha csapatjátékot csinálunk belőle. Ültessük a
gyerekeket 2-4 fős csoportokba. A 3. feladathoz mindegyik csoport kap 6 kártyát, ezek
jelképezik a súlyokat. A csoport egy tagja eldönti magában, hogy melyik a hibás súly, és
egyben vállalja a mérleg szerepét (két keze lesz a mérleg két serpenyője), a többiek feladata természetesen az, hogy kevés méréssel kiderítsék, melyik a hibás súly. A csapatok
versenyeznek, hogy
a 3. feladatnál ki tudja a legkevesebb méréssel (szerencse nélkül) megtalálni a keresett
súlyt,
a 4. feladatnál melyik csapat tudja a legtbb súlyból 2 méréssel biztosan kiválasztani a
hibás súlyt (ehhez további kártyákat kell adnunk).
Állításaikat, módszereiket úgy ellenőrizhetjük, hogy mi magunk vesszük át a mérleg
szerepét, velünk szemben kell bizonyítaniuk, hogy, mondjuk, 8 súlyból képesek 2 méréssel kiválasztani a hibásat. A tanár dolga ilyenkor az, hogy mindig a kevésbé szerencsés választ adja. Ha például feltesznek a mérlegre 2-2 súlyt, akkor egyenlőséget fogunk
mutatni, így a maradék 4 súlyból kell megtalálni a hibásat, míg ha valamelyik serpenyő
nehezebb lenne a másiknál, akkor a rajta lévő 2 súly közül kellene kiválasztani a hibásat.
(Ezt mindegyik csapattal külön kell eljátszanunk, különben az egyik csapat jó módszerét elleshetné a többi.) (Kezdetben célszerű lehet a kedvezőbb válasszal is eljátszani a
feladatot, mert elképzelhető, hogy nem látják tisztán, melyik válasz esetén mi a célszerű
magatartás. Olyat is láttam már, hogy 9 súlynál a gyerekek feltettek 3-3 súlyt, és az
egyenl válaszra 1 méréssel be tudták fejezni a játékot, de a nehezebbre nem! Nem látták
át, hogy ez ugyanaz a helyzet: 3 súlyból kell 1 méréssel kiválasztani a hibásat.)
2 mérésnél 9 a maximum. Várjunk a közös megbeszéléssel addig, amíg mindegyik
csapat nem jut el idáig! A közös megbeszélésre azért szükség van, most lehet például
elárulni a válaszoló stratégiánkat (mindig a kedvezőtlenebb választ adjuk). Meg lehet
próbálni a táblánál 10 súllyal (kártyák helyett most az 1, 2, . . . 9, 10 számok jelképezhetik a súlyokat). Kijön egy önként vállalkozó gyerek, és, mondjuk, feltesz 4-4 súlyt.
A többi gyerekhez fordulunk, és megkérdezzük: Mit mutasson a mérleg, hogy ne legyen
szerencséje? Lesz, aki itt
rti meg, hogy mirl is van sz tulajdonk
ppen. Azt vizsg ljuk,

hogy mi van akkor, ha a lehet leg gyesebben m
r nk, de a lehet legnagyobb pech nk van.

9 súlynál 3-3-at teszünk fel. Melyik eset a kedvezőtlenebb? Mindegy, mert így is,
úgy is 3-ból kell kiválasztani stb.
Az 5. feladatnál azt a kérdést várom leginkább, hogy 3 (majd 4, 5, . . . ) méréssel legfeljebb hány súlyból lehet kiválasztani a hibásat. (Más kérdést is kaphatunk, és azt is
gondoljuk végig, ha lehet!)
A válasz: 27, 81, 35 , . . .

5

9. Ebből is csinálhatunk egy játékot! A játék neve (mondjuk) j sl s. Mindegyik gyerek
sorjában megtippeli, hogy 3, 4, 5, . . . pont legfeljebb hány egyenest határoz meg. (Az
ábrát fejben kell elképzelni, rajzolni tilos!) Egyszerre csak egy válaszra tippelünk, és
miután mindenki leírta a „jóslatát”, egy táblai rajzon megnézzük, hogy valójában hány
egyenes lesz azon az ábrán. Előbb-utóbb fejben már nem áttekinthető ez az ábra, és így a
gyerekek rákényszerülnek arra, hogy a számsorozat alakulásából jósoljanak a folytatására
(ezért is „jóslás” a játék neve, arra utal, hogy nem kell feltétlenül tudni a helyes választ,
elég ha jól tudunk jósolni). Az egyenesek száma így alakul: 3, 6, 10, 15, 21, . . . (Ez
kerüljön föl a táblára!) Mit lehet észrevenni? Azt, hogy a sz mok kztti k lnbs
g mindig
1-gyel nagyobb lesz. Ennek alapján már könnyű jósolni, a következő szám így például
21 + 7 = 28 lesz.
Milyen kérdések merülnek fel ez után?
(1) Biztos-e, hogy a megfigyelt szabályszerűség továbbra is érvényes marad rkknrkk
? Hátha csak a véletlen műve ez az egyezés, és egy idő után már nem így
következnek a számok egymás után?
Próbáljuk meg bebizonytani, hogy sejtésünk mindig érvényes marad! (Ötlet: nézzük meg,
hogy például a 7. pont felvételével mennyivel nő meg az egyenesek száma!)
(2) Módszerünk nehézkes, ha nagy a pontok száma. Hány egyenest kapunk például 200
pontnál?
n(n − 1)
Tanári elhatározás kérdése, hogy akarjuk-e rávezetni a gyerekeket az általános
2
képletre vagy sem. Lehet, hogy még korai! (Az is elképzelhető, hogy néhány gyerek már
ismeri ezt a képletet! Őket az elején gyorsan le kell kapcsolni, mert elrontják az egész
játékot. Kapjanak más feladatot, amíg a játék tart.) Megfogalmazni semmiképpen sem árt
azt a vágyunkat, hogy milyen jó lenne egy gyors módszert találni, amellyel (számológépet
használva) pár másodperc alatt meg lehet határozni az egyenesek számát akkor is, ha
nagy a pontok száma. Aztán esetleg később vissza lehet térni ide. Az is elképzelhető,
hogy néhány gyerek felfedezi a képletet (bizonyítással vagy anélkül).

10. 5 pont 10 egyenest határoz meg, ha semelyik három nem esik egy egyenesbe; 8-at,
ha pontosan három pont esik egy egyenesbe; 6-ot, ha két hármas egy-egy egyenesbe esik;
5-öt, ha pontosan négy esik egy egyenesbe; 1-et, ha az öt pont egy egyenesbe esik. Más
eset nincs, tehát a feladat a) része nem oldható meg.

11. Ne csak egyenlettel oldják meg a gyerekek, hanem rajzzal is, okoskodással is. Ez a
megjegyzés az összes egyenlettel is megoldható „szöveges” feladatra vonatkozik. Például
így lehet okoskodni:
Az ital és az üveg együttes ára: 1 üveg + 35 + 1 üveg = 38.
Tehát az üveg 1,50; az ital 36,50. (Ez persze mondható „egyenlet”-es megoldásnak is.)

6

12. Okoskodással: Ha az apa 5 évvel kevesebb lenne, akkor az életkoruk összesen 57 év
lenne, ami a fiú életkorának a háromszorosa. A fiú 19 éves, az apa 43.

13., 14. Lehetőleg fejben gondolkozzanak, csak az vegyen elő papírt, akinek nagyon
muszáj.

19. A Föld felszínétől
Föld méreteitől!

1


≈ 0,16 m magasságban lesz a drót. Az eredmény független a

20. A háromszög három szöge: 67◦ , 63◦ , 50◦ .
21. A két hegyesszög: 27◦ és 63◦ .
22. A háromszög három szöge: 74◦ , 53◦ , 53◦ .
23. A szög egy papírra van lerajzolva, a nagyító természetesen nem változtatja meg a
szög nagyságát (idealizált esetben, ha a kép hasonló az eredetihez).

25. Húzzuk be a három magasságot!
26. 1 egész = 4 negyed (a kis körök a nagy kör 0,5-szeres kicsinyítései).
27. P -ből körzővel e-n két metszést végzünk, majd a két metszéspont felező merőlegesét
megszerkesztjük, például így:

P

e

28. a) Hetet kell kivenni (6 még nem elég, mert lehet, hogy mindhárom színből kettőt
húztunk).

b) 31-et kell kivenni (30 még nem elég, mert lehet, hogy 30 zöldet vettünk ki).
29. Vigyázat, bal kesztyű és jobb kesztyű is kell! A helyes eredmény 31 (30 nem elég,
mert lehet például, hogy 20 jobb fehéret és 10 bal feketét húztunk).

30. Okoskodással: A nagyobbik szám a kisebbik szám kétszeresénél 1-gyel nagyobb.
Tehát a kisebbik szám háromszorosához 1-et adva kapunk 100-at. A kisebbik szám 33,
a nagyobbik 67.
7

31. A „visszafelé göngyölés” módszerével célszerű megoldani: csütörtökön eladás előtt
(8 − 2) · 2 = 12, szerdán 12 + 5 = 17, kedden (17 + 2) · 2 = 38, hétfőn (38 + 4) · 2 = 84
drágakő volt.

32. 1 óra 20 perc = 80 perc.
33. Ezt az „ugyanannyi” számot érdemes ismeretlennek venni.
34. Az 1–2., 3–4., 5–6., . . . 51–52. hétpárok mindegyikére csak 1 születésnap eshet. A
365. és az esetleges 366. napra egyet számítva is csak 27 születésnapot „osztottunk szét”.
(Meggondolható, hogy már 27 születésnapot sem lehet úgy szétosztani, hogy ne legyen
köztük legalább kettő két hétnél közelebbi.)
35. 2 óra 20 perc
36. Nyilván úgy osztják el a munkát, hogy egyszerre fejezzék be. Egy óra alatt az anyag
1 1
5
+ =
2 3
6
részével végeznek. Tehát

6
5

óra a megoldás.

Más indoklás: 6 óra alatt a megadott szöveget (együtt) ötször tudnák legépelni, stb.

37. an = 2n − 8
39. b)







(2 : 2) : 2 : 2 : 2

2:





(2 : 2) : 2 : 2



40. A 12 szám összege 78. Ezt 2 : 1 arányban kell szétosztani a belső és a külső kör
között. A belső körre így 26 jut. Most már csak a négy szóba jöhető szám összegeként
kell a 26-ot előállítani, például 26 = 1 + 2 + 11 + 12. Így a külső körre maradnak a
számok 3-tól 10-ig.

41. a) 5 · 5 · 5 − 5 · 5 = 100
b) (5 − 5) · 5 +
c)

5
55
5+5
5
= 555−55 = 55−5 + 5 − 5 =
−5−5=
− =1
5
5
5
5

5+5
5
+ 5 − 5 = 55−5 + = 2
5
5

42. A „visszafelé göngyölés” módszerével:
43. 3 óra 24 perc
8



24 ·

3
2





− 15 : 0,6 − 7 : 2 = 14

44. 1 óra alatt a három csap a tartály 1 +
alatt megtelik a tartály.

1
2

+

1
3

=

11
6

részét tölti meg. Tehát

6
11

óra

A gyerekeknek biztonságosabb így:
1 óra alatt

11
6

rész, x óra alatt

45. Mindhárman

8
3

= 2

11
6

· x rész,

11
6

· x = 1, x =

6
.
11

2
3

1

1

cipót ettek meg. Így az egyik pásztor , a másik 2 cipót
3
3
adott a vadásznak. Ezek aránya 1 : 7, így a pénzen is ebben az arányban osztoznak.

46. Az előző megoldás gondolatmenete alapján: mind a hárman
4
,
3

Béla

1
3

5
3

ebédet ettek. András

ebédet adott Csabának. Így 4 : 1 arányban osztoznak a 60 forinton.

47. Két szép megoldás:
I. Összeilleszteni két ilyen alakzatot téglalappá.

II. A terület = a nagy derékszögű háromszög területe +
+ az n kis háromszög területe =
Csak ezek után emlékeztessünk a 9. feladatra.

48. a)

n
n2
+ .
2
2

b)

49. Például: 1. A-ból AB sugarú kör megrajzolása (Ez az O kör).
2. B-ből kicsi sugárral kör – O-val két metszéspontja P és Q.
3. PQ felezőpontja F.
FB része AB-nek.
9


Related documents


vegyes feladatok i uj tum
vegyes feladatok i uj
franz bardon osszes olvas s
franz bardon osszes   olvasas
julius ka
fot elmelet2015nov2

Link to this page


Permanent link

Use the permanent link to the download page to share your document on Facebook, Twitter, LinkedIn, or directly with a contact by e-Mail, Messenger, Whatsapp, Line..

Short link

Use the short link to share your document on Twitter or by text message (SMS)

HTML Code

Copy the following HTML code to share your document on a Website or Blog

QR Code

QR Code link to PDF file Vegyes_feladatok_I_uj_tum.pdf