Formulario [Mignano A] .pdf

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Author: Antonio Mignano

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Rappresentazione in variabili di stato:
π‘₯π‘₯Μ‡ = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐡𝐡𝐡𝐡
𝑦𝑦 = 𝐢𝐢𝐢𝐢 + 𝐷𝐷𝐷𝐷
Motore c.c, eq. maglia di eccitazione:
𝑣𝑣𝑒𝑒 = 𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑒𝑒 + 𝐿𝐿𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑒𝑒 /𝑑𝑑𝑑𝑑
Movimento dello stato:
TC: 𝑋𝑋(𝑠𝑠) = (𝑠𝑠𝑠𝑠 βˆ’ 𝐴𝐴)βˆ’1 π‘₯π‘₯(0) + (𝑠𝑠𝑠𝑠 βˆ’ 𝐴𝐴)βˆ’1 𝐡𝐡𝐡𝐡(𝑠𝑠)
TD: 𝑋𝑋(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧(𝑧𝑧𝑧𝑧 βˆ’ 𝐴𝐴)βˆ’1 π‘₯π‘₯(0) + (𝑧𝑧𝑧𝑧 βˆ’ 𝐴𝐴)βˆ’1 𝐡𝐡𝐡𝐡(𝑧𝑧)
Modi naturali su matrice diagonale:
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑒𝑒 πœ†πœ†πœ†πœ† , πœ†πœ† = π‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Ž
Costante di tempo: 𝜏𝜏 = |1/β„œ(πœ†πœ†)|
Linearizzazione sistemi TC(uguale per TD):
𝛿𝛿π‘₯π‘₯Μ‡ (𝑑𝑑) = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑑𝑑) + 𝐡𝐡𝐡𝐡𝐡𝐡(𝑑𝑑)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑑𝑑) = 𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢(𝑑𝑑) + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑑𝑑)
𝛿𝛿𝛿𝛿(π‘₯π‘₯, 𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(π‘₯π‘₯, 𝑒𝑒)
𝐴𝐴 =
| π‘₯π‘₯=π‘₯π‘₯
𝐡𝐡 =
| π‘₯π‘₯=π‘₯π‘₯
𝛿𝛿𝛿𝛿
𝛿𝛿𝛿𝛿
𝑒𝑒=𝑒𝑒
𝑒𝑒=𝑒𝑒
𝛿𝛿𝛿𝛿(π‘₯π‘₯, 𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(π‘₯π‘₯, 𝑒𝑒)
𝐢𝐢 =
| π‘₯π‘₯=π‘₯π‘₯
𝐷𝐷 =
| π‘₯π‘₯=π‘₯π‘₯
𝛿𝛿𝛿𝛿
𝛿𝛿𝛿𝛿
𝑒𝑒=𝑒𝑒
𝑒𝑒=𝑒𝑒
Sistema raggiungibile se:
𝜌𝜌(𝑀𝑀𝑅𝑅 ) = 𝑛𝑛
𝑀𝑀𝑅𝑅 = [𝐡𝐡 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴2 𝐡𝐡 … 𝐴𝐴𝑛𝑛 𝐡𝐡]
Sistema Osservabile se:
𝜌𝜌(𝑀𝑀𝑂𝑂 ) = 𝑛𝑛
𝑀𝑀𝑂𝑂 = [𝐢𝐢 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴2 𝐢𝐢 … 𝐴𝐴𝑛𝑛 𝐢𝐢 ]𝑇𝑇
Calcolare 𝜢𝜢 per ottenere regolazione dell’uscita π’šπ’š = 𝒓𝒓:
𝛼𝛼 = [(𝐢𝐢 βˆ’ 𝐷𝐷𝐷𝐷)[𝐼𝐼 βˆ’ (𝐴𝐴 βˆ’ 𝐡𝐡𝐡𝐡)]βˆ’1 𝐡𝐡 + 𝐷𝐷]βˆ’1
Sistema del I ordine:
𝐾𝐾
𝐻𝐻(𝑠𝑠) =
1 + 𝜏𝜏𝜏𝜏
π‘¦π‘¦βˆž
π‘¦π‘¦βˆž = 𝐾𝐾𝑒𝑒 β‡’ 𝐾𝐾 =
𝑒𝑒
𝜏𝜏 = 𝑑𝑑 per 𝑦𝑦 = 0.63 β‹… π‘¦π‘¦βˆž

𝐾𝐾𝑒𝑒

Sistema del II ordine:
𝐾𝐾
𝐻𝐻(𝑠𝑠) =
(𝑠𝑠 βˆ’ 𝑝𝑝)2

𝑝𝑝1 𝑝𝑝2

= π‘¦π‘¦βˆž

𝜏𝜏 =

Funzione di trasferimento
𝐺𝐺(𝑠𝑠) = 𝐢𝐢(𝑠𝑠𝑠𝑠 βˆ’ 𝐴𝐴)βˆ’1 𝐡𝐡 + 𝐷𝐷
Eq termiche:
𝐢𝐢𝑖𝑖 πœƒπœƒπš€πš€Μˆ = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 βˆ’ 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
Movimento dell’uscita:
TC: π‘Œπ‘Œ(𝑠𝑠) = 𝐢𝐢(𝑠𝑠𝐼𝐼 βˆ’ 𝐴𝐴)βˆ’1 π‘₯π‘₯(0) + [𝐢𝐢(𝑠𝑠𝑠𝑠 βˆ’ 𝐴𝐴)βˆ’1 𝐡𝐡 + 𝐷𝐷]π‘ˆπ‘ˆ(𝑠𝑠)
TD: π‘Œπ‘Œ(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧𝐢𝐢(𝑧𝑧𝐼𝐼 βˆ’ 𝐴𝐴)βˆ’1 π‘₯π‘₯(0) + [𝐢𝐢(𝑧𝑧𝑧𝑧 βˆ’ 𝐴𝐴)βˆ’1 𝐡𝐡 + 𝐷𝐷]π‘ˆπ‘ˆ(𝑧𝑧)
Stati di equilibrio:
TC: π‘₯π‘₯πš€πš€Μ‡ = 0
TD: π‘₯π‘₯(π‘˜π‘˜ + 1) = π‘₯π‘₯(π‘˜π‘˜)
Progettazione matrice dei guadagni K (con autoval. πœ†πœ†π‘–π‘– ):
Prima verificare raggiungibilitΓ 
𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (πœ†πœ†) = (πœ†πœ† βˆ’ πœ†πœ†π‘–π‘– ) β‹… (πœ†πœ† βˆ’ πœ†πœ†π‘–π‘–+1 ) β‹… … β‹… (πœ†πœ† βˆ’ πœ†πœ†π‘›π‘› )
Uguagliare 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 a π‘π‘π΄π΄βˆ’π΅π΅π΅π΅
Progettazione matrice dei guadagni L (con autoval. πœ†πœ†π‘–π‘– ):
Prima verificare osservabilitΓ 
𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (πœ†πœ†) = (πœ†πœ† βˆ’ πœ†πœ†π‘–π‘– ) β‹… (πœ†πœ† βˆ’ πœ†πœ†π‘–π‘–+1 ) β‹… … β‹… (πœ†πœ† βˆ’ πœ†πœ†π‘›π‘› )
Uguagliare 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 a π‘π‘π΄π΄βˆ’πΏπΏπΏπΏ
π’šπ’šπ’‘π’‘π’‘π’‘π’‘π’‘π’‘π’‘ (𝒕𝒕) = π’šπ’š β‹… 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎𝟎𝟎 𝒕𝒕 + 𝝋𝝋)𝝐𝝐(𝒕𝒕)
𝑦𝑦 = |𝐻𝐻(π‘—π‘—πœ”πœ”0 )| β‹… π‘ˆπ‘ˆ
πœ‘πœ‘ = arg�𝐻𝐻(π‘—π‘—πœ”πœ”0 )οΏ½ + πœƒπœƒ0
Sistema del II ordine:
πœ”πœ”π‘›π‘›2
𝐻𝐻(𝑠𝑠) = 𝐾𝐾 2
𝑠𝑠 + 2π‘ π‘ π‘ π‘ πœ”πœ”π‘›π‘› + πœ”πœ”π‘›π‘›2
|ln 𝑠𝑠̂ |
𝜁𝜁 =
οΏ½πœ‹πœ‹ 2 + ln2 (𝑠𝑠̂ )

𝑠𝑠̂ = 𝑒𝑒

βˆ’

πœ‹πœ‹πœ‹πœ‹

οΏ½1βˆ’πœπœ2

2

𝑝𝑝

𝜏𝜏 = 𝑑𝑑 per 𝑦𝑦 = 0.63 β‹… π‘¦π‘¦βˆž

Antonio Mignano

[Controlli Automatici]

πœ”πœ”π‘›π‘› =

𝑠𝑠̂ =

πœ‹πœ‹
𝑑𝑑̂ οΏ½(1βˆ’πœπœ 2 )

π‘¦π‘¦π‘šπ‘šπ‘šπ‘šπ‘šπ‘š βˆ’ π‘¦π‘¦βˆž
π‘¦π‘¦βˆž

𝑑𝑑̂ =tempo di picco

Pendolo inverso
𝑇𝑇𝐹𝐹 = 𝑙𝑙 β‹… 𝐹𝐹 β‹… cos(πœƒπœƒ)
𝐽𝐽 = 𝑀𝑀𝑙𝑙 2
π½π½πœƒπœƒΜˆ = 𝑇𝑇𝐹𝐹 βˆ’ [𝐾𝐾(πœƒπœƒ βˆ’ 0) + π›½π›½οΏ½πœƒπœƒΜ‡ βˆ’ 0οΏ½]

Ultima revisione: 24/Giu/2015

Criterio di Routh:
Per avere β„œοΏ½π‘π‘(πœ†πœ†π‘–π‘– )οΏ½ < 0βˆ€ πœ†πœ†π‘–π‘– gli elementi della prima
colonna devo avere tutti segno concorde.
# radici con 𝑅𝑅(πœ†πœ†) > 0 = # variazioni di segno (prima col)

Criterio di Jury: 𝑝𝑝(πœ†πœ†) = π‘Žπ‘Žπ‘›π‘› πœ†πœ†π‘›π‘› + π‘Žπ‘Žπ‘›π‘›βˆ’1 πœ†πœ†π‘›π‘›βˆ’1 + β‹― + π‘Žπ‘Ž1 πœ†πœ† + π‘Žπ‘Ž0
Per avere β„œοΏ½π‘π‘(πœ†πœ†π‘–π‘– )οΏ½ < 1βˆ€ πœ†πœ†π‘–π‘– :
- Per n = 2, siano soddisfatte 3 disuguaglianze:
1) 𝑝𝑝(πœ†πœ† = 1) > 0
2) (βˆ’1)𝑛𝑛 𝑝𝑝(πœ†πœ† = βˆ’1) > 0
3) |π‘Žπ‘Žπ‘›π‘› | > |π‘Žπ‘Ž0 |
- Per n > 2 oltre le disuguaglianze siano soddisfatte altre n-2
disuguaglianze nella tabella (con n-1 coppie di righe)
1) |𝑏𝑏0 | > |𝑏𝑏𝑛𝑛1 |
2) |𝑐𝑐0 | > |π‘π‘π‘›π‘›βˆ’2 |
3) …
4) |𝑧𝑧0 | > |𝑧𝑧2 |

Antonio Mignano

[Controlli Automatici]

Infine

Ultima revisione: 24/Giu/2015

Rete anticipatrice o derivativa:
1+𝜏𝜏 𝑠𝑠
𝑅𝑅𝑑𝑑 (𝑠𝑠) = πœπœπ‘‘π‘‘π‘‘π‘‘
1+π‘šπ‘š 𝑠𝑠
𝑑𝑑

Facendo riferimento al consueto schema di
controllo, si consideri in particolare:
𝑒𝑒(𝑠𝑠)
π‘Ÿπ‘Ÿ(𝑑𝑑) = sin(πœ”πœ”0 𝑑𝑑)
π‘Šπ‘Šπ‘’π‘’ (𝑠𝑠) =
=
π‘Ÿπ‘Ÿ(𝑠𝑠)

πΎπΎπ‘Ÿπ‘Ÿ

1+πΊπΊπ‘Žπ‘Ž (𝑠𝑠)

L’errore di inseguimento in regime permanente Γ¨
pertanto dato da 𝑒𝑒𝑝𝑝 (𝑑𝑑) = 𝐸𝐸 β‹… sin(πœ”πœ”0 𝑑𝑑 + πœ‘πœ‘π‘’π‘’ ) con
𝐸𝐸 = |π‘Šπ‘Šπ‘’π‘’ (π‘—π‘—πœ”πœ”0 )| e πœ‘πœ‘π‘’π‘’ = argοΏ½π‘Šπ‘Šπ‘’π‘’ (π‘—π‘—πœ”πœ”0 )οΏ½. L’errore
massimo in modulo in regime permanente Γ¨ E.

A seguito delle approssimazioni si possono estrarre
delle relazioni notevoli per 𝑾𝑾𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 :
β€’ πœ”πœ”π΅π΅ 𝑑𝑑𝑠𝑠 β‰… 3 (banda passanteβ‹…tempo di salita)
πœ”πœ”π‘π‘
β€’
β‰… 0.63
β€’
β€’

β€’

πœ”πœ”π΅π΅

1 + 𝑠𝑠̂ /π‘€π‘€π‘Ÿπ‘Ÿ β‰… 0.9
π‘šπ‘šπœ‘πœ‘ π‘€π‘€π‘Ÿπ‘Ÿ β‰… 60 (in gradi β‹… 𝑒𝑒𝑛𝑛 )
οΏ½π‘šπ‘šπœ‘πœ‘,𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 οΏ½
β‰… 60Β° βˆ’ 5οΏ½π‘€π‘€π‘Ÿπ‘Ÿ,𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔

Nel metodo di Ziegler-Nichols in anello aperto, si
utilizza una fdt approssimata del I ordine con
𝐾𝐾
ritardo:
𝐹𝐹(𝑠𝑠) = 𝐹𝐹 β‹… 𝑒𝑒 βˆ’πœƒπœƒπΉπΉ 𝑠𝑠
1+𝜏𝜏𝐹𝐹 𝑠𝑠

Introduce un aumento (anticipo) di fase crescente
al crescere di π‘šπ‘šπ‘‘π‘‘ dove πœπœπ‘‘π‘‘ = π‘₯π‘₯𝑑𝑑 /πœ”πœ”π‘π‘,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 dove π‘₯π‘₯𝑑𝑑 Γ¨
l’ascissa sul diagramma.
Per disegnarmi il diagramma generalizzato di una
rete π‘šπ‘šπ‘‘π‘‘ faccio bode((1+s)/(1+s/md))
Rete attenuatrice:
𝑅𝑅𝑖𝑖 (𝑠𝑠) =

𝜏𝜏
1+ 𝑖𝑖 𝑠𝑠
π‘šπ‘šπ‘–π‘–

1+πœπœπ‘–π‘– 𝑠𝑠

Introduce un attenuazione di modulo crescente al
crescere di π‘šπ‘šπ‘–π‘– dove πœπœπ‘–π‘– = π‘₯π‘₯𝑖𝑖 /πœ”πœ”π‘π‘,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 dove π‘₯π‘₯𝑖𝑖 Γ¨
l’ascissa sul diagramma. L’aumento di π‘₯π‘₯𝑖𝑖 fa
aumentare il tempo di assestamento.
Funzione di sensibilitΓ : 𝑆𝑆(𝑠𝑠) =
PID: 𝑅𝑅𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝑠𝑠) = 𝐾𝐾𝑝𝑝 +
π‘Ÿπ‘Ÿ (𝑠𝑠)
= 𝐾𝐾𝑃𝑃 οΏ½1 +
𝑅𝑅𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃

𝐾𝐾𝐼𝐼

1

𝑠𝑠

𝑇𝑇𝐼𝐼 𝑠𝑠

+ 𝐾𝐾𝐷𝐷 𝑠𝑠

+

P
PI
PID

Antonio Mignano

𝐾𝐾𝐹𝐹 πœƒπœƒπΉπΉ

𝑻𝑻𝑰𝑰

oppure

𝑇𝑇𝐷𝐷 𝑠𝑠
𝑇𝑇 οΏ½
1+ 𝐷𝐷 𝑠𝑠
𝑁𝑁

con 𝑇𝑇𝐼𝐼 = 𝐾𝐾𝑃𝑃 /𝐾𝐾𝐼𝐼 tempo integrale e 𝑇𝑇𝐷𝐷 = 𝐾𝐾𝐷𝐷 /𝐾𝐾𝑃𝑃
tempo derivativo.
Prendendo come 𝐾𝐾𝑝𝑝 il margine di guadagno π‘šπ‘šπΊπΊ
del sistema, e come 𝑇𝑇 il periodo dell’oscillazione
sull’uscita pari a 2πœ‹πœ‹/πœ”πœ”πœ‹πœ‹ possiamo ricavare
secondo: [Kp_bar,Pm,wpi,Wcp] = margin(F)
𝑲𝑲𝑷𝑷
𝑻𝑻𝑰𝑰
𝑻𝑻𝑫𝑫
P
0.5𝐾𝐾𝑃𝑃
PI
0.45 𝐾𝐾𝑃𝑃 0.8𝑇𝑇
PID
0.6𝐾𝐾𝑃𝑃 0.5𝑇𝑇 0.125𝑇𝑇
Discretizzazione controllore:
𝑇𝑇𝑐𝑐 =

2πœ‹πœ‹

20βˆ—πœ”πœ”π΅π΅

Cz1 = c2d(C, Tc, 'zoh');

πΊπΊπΊπΊπΊπΊπΊπΊβ„Ž =

Cz2 = c2d(C, Tc, 'tustin');
Per determinare 𝐾𝐾𝐹𝐹 , πœπœπ‘“π‘“ , πœƒπœƒπΉπΉ si utilizza il metodo
della tangente (leggendo dallo step della funzione) Cz3 = c2d(C, Tc, 'matched');
Fz = c2d(F, Tc, 'zoh');
𝑦𝑦(𝜏𝜏𝐹𝐹 + πœƒπœƒπΉπΉ ) = 0.63 π‘¦π‘¦βˆž
πœƒπœƒπΉπΉ = da dove comincia
il grafico (ritardo)

𝑲𝑲𝑷𝑷
𝜏𝜏𝐹𝐹
𝐾𝐾𝐹𝐹 πœƒπœƒπΉπΉ
0.9𝜏𝜏𝐹𝐹
𝐾𝐾𝐹𝐹 πœƒπœƒπΉπΉ
𝜏𝜏
1.2 𝐹𝐹

1

1+πΊπΊπ‘Žπ‘Ž (𝑠𝑠)

𝐺𝐺𝐺𝐺

𝑇𝑇
1+𝑠𝑠⋅ 2𝐢𝐢

𝑻𝑻𝑫𝑫

3πœƒπœƒπΉπΉ

2πœƒπœƒπΉπΉ 0.5πœƒπœƒπΉπΉ
[Controlli Automatici]

Ultima revisione: 24/Giu/2015


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