Formulario [Mignano A] (PDF)

Rappresentazione in variabili di stato:
𝑥𝑥̇ = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵
𝑦𝑦 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝐷𝐷
Motore c.c, eq. maglia di eccitazione:
𝑣𝑣𝑒𝑒 = 𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑒𝑒 + 𝐿𝐿𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑒𝑒 /𝑑𝑑𝑑𝑑
Movimento dello stato:
TC: 𝑋𝑋(𝑠𝑠) = (𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐴𝐴)−1 𝑥𝑥(0) + (𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐴𝐴)−1 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑠𝑠)
TD: 𝑋𝑋(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧(𝑧𝑧𝑧𝑧 − 𝐴𝐴)−1 𝑥𝑥(0) + (𝑧𝑧𝑧𝑧 − 𝐴𝐴)−1 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑧𝑧)
Modi naturali su matrice diagonale:
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑒𝑒 𝜆𝜆𝜆𝜆 , 𝜆𝜆 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
Costante di tempo: 𝜏𝜏 = |1/ℜ(𝜆𝜆)|
Linearizzazione sistemi TC(uguale per TD):
𝛿𝛿𝑥𝑥̇ (𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑡𝑡) + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑡𝑡)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑡𝑡) + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑡𝑡)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑥𝑥, 𝑢𝑢)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑥𝑥, 𝑢𝑢)
𝐴𝐴 =
| 𝑥𝑥=𝑥𝑥
𝐵𝐵 =
| 𝑥𝑥=𝑥𝑥
𝛿𝛿𝛿𝛿
𝛿𝛿𝛿𝛿
𝑢𝑢=𝑢𝑢
𝑢𝑢=𝑢𝑢
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑥𝑥, 𝑢𝑢)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑥𝑥, 𝑢𝑢)
𝐶𝐶 =
| 𝑥𝑥=𝑥𝑥
𝐷𝐷 =
| 𝑥𝑥=𝑥𝑥
𝛿𝛿𝛿𝛿
𝛿𝛿𝛿𝛿
𝑢𝑢=𝑢𝑢
𝑢𝑢=𝑢𝑢
Sistema raggiungibile se:
𝜌𝜌(𝑀𝑀𝑅𝑅 ) = 𝑛𝑛
𝑀𝑀𝑅𝑅 = [𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴2 𝐵𝐵 … 𝐴𝐴𝑛𝑛 𝐵𝐵]
Sistema Osservabile se:
𝜌𝜌(𝑀𝑀𝑂𝑂 ) = 𝑛𝑛
𝑀𝑀𝑂𝑂 = [𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴2 𝐶𝐶 … 𝐴𝐴𝑛𝑛 𝐶𝐶 ]𝑇𝑇
Calcolare 𝜶𝜶 per ottenere regolazione dell’uscita 𝒚𝒚 = 𝒓𝒓:
𝛼𝛼 = [(𝐶𝐶 − 𝐷𝐷𝐷𝐷)[𝐼𝐼 − (𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐵𝐵)]−1 𝐵𝐵 + 𝐷𝐷]−1
Sistema del I ordine:
𝐾𝐾
𝐻𝐻(𝑠𝑠) =
1 + 𝜏𝜏𝜏𝜏
𝑦𝑦∞
𝑦𝑦∞ = 𝐾𝐾𝑢𝑢 ⇒ 𝐾𝐾 =
𝑢𝑢
𝜏𝜏 = 𝑡𝑡 per 𝑦𝑦 = 0.63 ⋅ 𝑦𝑦∞

𝐾𝐾𝑢𝑢

Sistema del II ordine:
𝐾𝐾
𝐻𝐻(𝑠𝑠) =
(𝑠𝑠 − 𝑝𝑝)2

𝑝𝑝1 𝑝𝑝2

= 𝑦𝑦∞

𝜏𝜏 =

Funzione di trasferimento
𝐺𝐺(𝑠𝑠) = 𝐶𝐶(𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐴𝐴)−1 𝐵𝐵 + 𝐷𝐷
Eq termiche:
𝐶𝐶𝑖𝑖 𝜃𝜃𝚤𝚤̈ = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 − 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
Movimento dell’uscita:
TC: 𝑌𝑌(𝑠𝑠) = 𝐶𝐶(𝑠𝑠𝐼𝐼 − 𝐴𝐴)−1 𝑥𝑥(0) + [𝐶𝐶(𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐴𝐴)−1 𝐵𝐵 + 𝐷𝐷]𝑈𝑈(𝑠𝑠)
TD: 𝑌𝑌(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧𝐶𝐶(𝑧𝑧𝐼𝐼 − 𝐴𝐴)−1 𝑥𝑥(0) + [𝐶𝐶(𝑧𝑧𝑧𝑧 − 𝐴𝐴)−1 𝐵𝐵 + 𝐷𝐷]𝑈𝑈(𝑧𝑧)
Stati di equilibrio:
TC: 𝑥𝑥𝚤𝚤̇ = 0
TD: 𝑥𝑥(𝑘𝑘 + 1) = 𝑥𝑥(𝑘𝑘)
Progettazione matrice dei guadagni K (con autoval. 𝜆𝜆𝑖𝑖 ):
Prima verificare raggiungibilità
𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝜆𝜆) = (𝜆𝜆 − 𝜆𝜆𝑖𝑖 ) ⋅ (𝜆𝜆 − 𝜆𝜆𝑖𝑖+1 ) ⋅ … ⋅ (𝜆𝜆 − 𝜆𝜆𝑛𝑛 )
Uguagliare 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 a 𝑝𝑝𝐴𝐴−𝐵𝐵𝐵𝐵
Progettazione matrice dei guadagni L (con autoval. 𝜆𝜆𝑖𝑖 ):
Prima verificare osservabilità
𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝜆𝜆) = (𝜆𝜆 − 𝜆𝜆𝑖𝑖 ) ⋅ (𝜆𝜆 − 𝜆𝜆𝑖𝑖+1 ) ⋅ … ⋅ (𝜆𝜆 − 𝜆𝜆𝑛𝑛 )
Uguagliare 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 a 𝑝𝑝𝐴𝐴−𝐿𝐿𝐿𝐿
𝒚𝒚𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 (𝒕𝒕) = 𝒚𝒚 ⋅ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎𝟎𝟎 𝒕𝒕 + 𝝋𝝋)𝝐𝝐(𝒕𝒕)
𝑦𝑦 = |𝐻𝐻(𝑗𝑗𝜔𝜔0 )| ⋅ 𝑈𝑈
𝜑𝜑 = arg�𝐻𝐻(𝑗𝑗𝜔𝜔0 )� + 𝜃𝜃0
Sistema del II ordine:
𝜔𝜔𝑛𝑛2
𝐻𝐻(𝑠𝑠) = 𝐾𝐾 2
𝑠𝑠 + 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝜔𝜔𝑛𝑛 + 𝜔𝜔𝑛𝑛2
|ln 𝑠𝑠̂ |
𝜁𝜁 =
�𝜋𝜋 2 + ln2 (𝑠𝑠̂ )

𝑠𝑠̂ = 𝑒𝑒

−

𝜋𝜋𝜋𝜋

�1−𝜁𝜁2

2

𝑝𝑝

𝜏𝜏 = 𝑡𝑡 per 𝑦𝑦 = 0.63 ⋅ 𝑦𝑦∞

Antonio Mignano

[Controlli Automatici]

𝜔𝜔𝑛𝑛 =

𝑠𝑠̂ =

𝜋𝜋
𝑡𝑡̂ �(1−𝜁𝜁 2 )

𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑦𝑦∞
𝑦𝑦∞

𝑡𝑡̂ =tempo di picco

Pendolo inverso
𝑇𝑇𝐹𝐹 = 𝑙𝑙 ⋅ 𝐹𝐹 ⋅ cos(𝜃𝜃)
𝐽𝐽 = 𝑀𝑀𝑙𝑙 2
𝐽𝐽𝜃𝜃̈ = 𝑇𝑇𝐹𝐹 − [𝐾𝐾(𝜃𝜃 − 0) + 𝛽𝛽�𝜃𝜃̇ − 0�]

Ultima revisione: 24/Giu/2015

Criterio di Routh:
Per avere ℜ�𝑝𝑝(𝜆𝜆𝑖𝑖 )� < 0∀ 𝜆𝜆𝑖𝑖 gli elementi della prima
colonna devo avere tutti segno concorde.
# radici con 𝑅𝑅(𝜆𝜆) > 0 = # variazioni di segno (prima col)

Criterio di Jury: 𝑝𝑝(𝜆𝜆) = 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝜆𝜆𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝜆𝜆𝑛𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑎1 𝜆𝜆 + 𝑎𝑎0
Per avere ℜ�𝑝𝑝(𝜆𝜆𝑖𝑖 )� < 1∀ 𝜆𝜆𝑖𝑖 :
- Per n = 2, siano soddisfatte 3 disuguaglianze:
1) 𝑝𝑝(𝜆𝜆 = 1) > 0
2) (−1)𝑛𝑛 𝑝𝑝(𝜆𝜆 = −1) > 0
3) |𝑎𝑎𝑛𝑛 | > |𝑎𝑎0 |
- Per n > 2 oltre le disuguaglianze siano soddisfatte altre n-2
disuguaglianze nella tabella (con n-1 coppie di righe)
1) |𝑏𝑏0 | > |𝑏𝑏𝑛𝑛1 |
2) |𝑐𝑐0 | > |𝑐𝑐𝑛𝑛−2 |
3) …
4) |𝑧𝑧0 | > |𝑧𝑧2 |

Antonio Mignano

[Controlli Automatici]

Infine

Ultima revisione: 24/Giu/2015

Rete anticipatrice o derivativa:
1+𝜏𝜏 𝑠𝑠
𝑅𝑅𝑑𝑑 (𝑠𝑠) = 𝜏𝜏𝑑𝑑𝑑𝑑
1+𝑚𝑚 𝑠𝑠
𝑑𝑑

Facendo riferimento al consueto schema di
controllo, si consideri in particolare:
𝑒𝑒(𝑠𝑠)
𝑟𝑟(𝑡𝑡) = sin(𝜔𝜔0 𝑡𝑡)
𝑊𝑊𝑒𝑒 (𝑠𝑠) =
=
𝑟𝑟(𝑠𝑠)

𝐾𝐾𝑟𝑟

1+𝐺𝐺𝑎𝑎 (𝑠𝑠)

L’errore di inseguimento in regime permanente è
pertanto dato da 𝑒𝑒𝑝𝑝 (𝑡𝑡) = 𝐸𝐸 ⋅ sin(𝜔𝜔0 𝑡𝑡 + 𝜑𝜑𝑒𝑒 ) con
𝐸𝐸 = |𝑊𝑊𝑒𝑒 (𝑗𝑗𝜔𝜔0 )| e 𝜑𝜑𝑒𝑒 = arg�𝑊𝑊𝑒𝑒 (𝑗𝑗𝜔𝜔0 )�. L’errore
massimo in modulo in regime permanente è E.

A seguito delle approssimazioni si possono estrarre
delle relazioni notevoli per 𝑾𝑾𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 :
• 𝜔𝜔𝐵𝐵 𝑡𝑡𝑠𝑠 ≅ 3 (banda passante⋅tempo di salita)
𝜔𝜔𝑐𝑐
•
≅ 0.63
•
•

•

𝜔𝜔𝐵𝐵

1 + 𝑠𝑠̂ /𝑀𝑀𝑟𝑟 ≅ 0.9
𝑚𝑚𝜑𝜑 𝑀𝑀𝑟𝑟 ≅ 60 (in gradi ⋅ 𝑢𝑢𝑛𝑛 )
�𝑚𝑚𝜑𝜑,𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �
≅ 60° − 5�𝑀𝑀𝑟𝑟,𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔

Nel metodo di Ziegler-Nichols in anello aperto, si
utilizza una fdt approssimata del I ordine con
𝐾𝐾
ritardo:
𝐹𝐹(𝑠𝑠) = 𝐹𝐹 ⋅ 𝑒𝑒 −𝜃𝜃𝐹𝐹 𝑠𝑠
1+𝜏𝜏𝐹𝐹 𝑠𝑠

Introduce un aumento (anticipo) di fase crescente
al crescere di 𝑚𝑚𝑑𝑑 dove 𝜏𝜏𝑑𝑑 = 𝑥𝑥𝑑𝑑 /𝜔𝜔𝑐𝑐,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 dove 𝑥𝑥𝑑𝑑 è
l’ascissa sul diagramma.
Per disegnarmi il diagramma generalizzato di una
rete 𝑚𝑚𝑑𝑑 faccio bode((1+s)/(1+s/md))
Rete attenuatrice:
𝑅𝑅𝑖𝑖 (𝑠𝑠) =

𝜏𝜏
1+ 𝑖𝑖 𝑠𝑠
𝑚𝑚𝑖𝑖

1+𝜏𝜏𝑖𝑖 𝑠𝑠

Introduce un attenuazione di modulo crescente al
crescere di 𝑚𝑚𝑖𝑖 dove 𝜏𝜏𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 /𝜔𝜔𝑐𝑐,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 dove 𝑥𝑥𝑖𝑖 è
l’ascissa sul diagramma. L’aumento di 𝑥𝑥𝑖𝑖 fa
aumentare il tempo di assestamento.
Funzione di sensibilità: 𝑆𝑆(𝑠𝑠) =
PID: 𝑅𝑅𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝑠𝑠) = 𝐾𝐾𝑝𝑝 +
𝑟𝑟 (𝑠𝑠)
= 𝐾𝐾𝑃𝑃 �1 +
𝑅𝑅𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃

𝐾𝐾𝐼𝐼

1

𝑠𝑠

𝑇𝑇𝐼𝐼 𝑠𝑠

+ 𝐾𝐾𝐷𝐷 𝑠𝑠

+

P
PI
PID

Antonio Mignano

𝐾𝐾𝐹𝐹 𝜃𝜃𝐹𝐹

𝑻𝑻𝑰𝑰

oppure

𝑇𝑇𝐷𝐷 𝑠𝑠
𝑇𝑇 �
1+ 𝐷𝐷 𝑠𝑠
𝑁𝑁

con 𝑇𝑇𝐼𝐼 = 𝐾𝐾𝑃𝑃 /𝐾𝐾𝐼𝐼 tempo integrale e 𝑇𝑇𝐷𝐷 = 𝐾𝐾𝐷𝐷 /𝐾𝐾𝑃𝑃
tempo derivativo.
Prendendo come 𝐾𝐾𝑝𝑝 il margine di guadagno 𝑚𝑚𝐺𝐺
del sistema, e come 𝑇𝑇 il periodo dell’oscillazione
sull’uscita pari a 2𝜋𝜋/𝜔𝜔𝜋𝜋 possiamo ricavare
secondo: [Kp_bar,Pm,wpi,Wcp] = margin(F)
𝑲𝑲𝑷𝑷
𝑻𝑻𝑰𝑰
𝑻𝑻𝑫𝑫
P
0.5𝐾𝐾𝑃𝑃
PI
0.45 𝐾𝐾𝑃𝑃 0.8𝑇𝑇
PID
0.6𝐾𝐾𝑃𝑃 0.5𝑇𝑇 0.125𝑇𝑇
Discretizzazione controllore:
𝑇𝑇𝑐𝑐 =

2𝜋𝜋

20∗𝜔𝜔𝐵𝐵

Cz1 = c2d(C, Tc, 'zoh');

𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺ℎ =

Cz2 = c2d(C, Tc, 'tustin');
Per determinare 𝐾𝐾𝐹𝐹 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 , 𝜃𝜃𝐹𝐹 si utilizza il metodo
della tangente (leggendo dallo step della funzione) Cz3 = c2d(C, Tc, 'matched');
Fz = c2d(F, Tc, 'zoh');
𝑦𝑦(𝜏𝜏𝐹𝐹 + 𝜃𝜃𝐹𝐹 ) = 0.63 𝑦𝑦∞
𝜃𝜃𝐹𝐹 = da dove comincia
il grafico (ritardo)

𝑲𝑲𝑷𝑷
𝜏𝜏𝐹𝐹
𝐾𝐾𝐹𝐹 𝜃𝜃𝐹𝐹
0.9𝜏𝜏𝐹𝐹
𝐾𝐾𝐹𝐹 𝜃𝜃𝐹𝐹
𝜏𝜏
1.2 𝐹𝐹

1

1+𝐺𝐺𝑎𝑎 (𝑠𝑠)

𝐺𝐺𝐺𝐺

𝑇𝑇
1+𝑠𝑠⋅ 2𝐶𝐶

𝑻𝑻𝑫𝑫

3𝜃𝜃𝐹𝐹

2𝜃𝜃𝐹𝐹 0.5𝜃𝜃𝐹𝐹
[Controlli Automatici]

Ultima revisione: 24/Giu/2015