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Majoration de la fonction de comptage des
nombres premier
24 juin 2017

1

nombre d’éléments pour réaliser n couples

La question à laquelle nous allons tenter de répondre dans un premier temps
est la suivante : on dispose de n éléments que nous noterons : k1 ; k2 ; ...; kn
combien de couple non ordonnés pouvons nous composer sachant que un couple
peut être composer de deux fois le même éléments ?
Nous pouvons déjà remarquer qu’il existe n couple de la forme (ki ; ki ) ou i
désigne évidemment un entier de [1; n]. De plus si on fixe un premier éléments
disons kj et que l’on choisis un second éléments kp ou p est un entier non fixé de
[1; n] on a alors n-1 couple de la forme (ki ; kp ). De même en choisissant un nouvel
entier fixé i’ on aura de nouveau k-1 couple qui seront généré, mais attention un
de ces couples sera de la forme (ki′ ; ki ) et ce couple à déjà été compté à l’étape
précédente on a alors k-2 nouveuax couples formés en réitérant ce procédés n
fois on obitent que le nombre de couple que l’on peut formé avec n éléments que
l’on notera C(n) vérifie :
n

C(n) =
q
q=1

On en conclut donc en vertu de la formule de Faullhaber que :
C(n) =

1 2 1
n + n
2
2

il s’agit maintenant de déterminer le nombre d’éléments nécessaire à la réalisation d’un nombre connu de couple, pour cela nous allons simplement déterminer le polynôme réciproque de C que nous noterons C −1 . La forme canonique
de C étant la suivante :
(
)2
1
1
1
C(n) =

n+
2
2
8
il vient que :

n=

2C(n) +
1

1 1

4 2

⌊√

Ainsi si on doit composé C(n) couples il nous faut au minimum
2C(n) + 14 − 12 +

1 éléments sauf si 2C(n) + 14 − 12 ∈ N auxquel cas le nombre d’élément requis

est 2C(n) + 14 − 12

2

Conjecture de Goldback

Au eme siècle Goldback conjectura que tout nombre entier pair peut être reécrit comme la somme de deux nombres premier, nous noterons cette conjecture
"G" par la suite. Dans un premier temps il est aisée de comprendre que si tout
les entier étaient des nombres premiers alors G serait automatiquement vrai.
Donc non G implque que la proportion de nombre premier dans un intervalle
ne dépasse pas un certian seuil et donc non G implique bel et bien l’existence
d’une fonction vérifiant :
π(n) ≤ τ (n)
où π(n) désigne la quantité de nombre premier inférieur ou égal à n.
Le lien avec la première partie va maintenant vous paraitre évident, car il
s’agit ici de faire des couples de nombres premier, par la suite le travail de Hardy
et Ramanujan sur les partitons de nombre entier va nous être précieux,en effet
ces dernier on démontrer la relation suivante :
P(n; k) = P(n − 1; k − 1) + P(n − k; k)
où n et k sont des entiers strictement positifs, P(n, k) le nombre de partitions
de n en k parties, ce qui nous permet d’établir que le nombre de partition de n
en 2 parties vérifie :
P(n; 2) = P(n − 1; 1) + P(n − 2; 2)
et comme P(n − 1; 1) = 1 pour tout entier n on en déduit par récurrence que
P(n; 2) = n2 et donc pour composer n2 d’entier à l’aide d’entier inférieur ou égaux

( )
à n il faudrait au moins C −1 n2 soit n + 14 − 12 entier composite inférieur ou
égaux à n sinon G seraient nécessairement vrai et donc :

1 1
π −1 (n) ≤ n + − ⇒ G
4 2
où π −1 (n) désigne le nombre d’entier composite inférieur ou égal à n Ainsi
par contraposée :
(n)
¬G ⇒ π −1 (n) ≥ C −1
2
de plus il est évident que π −1 (n) = n − π(n) il vient donc :
(n)
¬G ⇒ n − π(n) ≥ C −1
2

2

On a donc la majoration de la fonction de comptage des nombres premier
suivante, sous réserve de l’existence d’un nombre qui ne peut pas être exprimer
comme l’addition de deux nombres premier :
(n)
π(n) ≤ n − C −1
2

3


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