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Heinz Brauer. Stoffaustausch Einschließlich chemischer Reaktionen .pdf


Original filename: Heinz Brauer. Stoffaustausch - Einschließlich chemischer Reaktionen.pdf
Title: Stoffaustausch einschließlich chemischer Reaktionen
Author: Brauer

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ISBN

3 7941 0008 5

Copyright© 1971 hy Sauerländer AG, Aarau (Schweiz)
Printed in Switzerland. Alle Rechte, insbesondere die der Übersetzung in fremde Sprachen,
vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf in irgendeiner Form (durch Photokopie, Mikrofilm oder
irgendein anderes V erfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlags reproduziert werden,
All rights reserved (including those of translations into foreign languages).
No part of this book may he reproduced in any form (by photostat, microfilm, or any other means)

without written permission from the publishers.

HersteHung: Sauerländer AG, Aarau

5

Vorwort der Herausgeber

Die Buchreihe «Grundlagen der chemischen Technik» geht auf eine Anregung von
Prof. Dr. H. MoHLER, Zürich, aus dem Jahre 1949/50 zurück; die ersten Bände erschienen nach längerer Planung und Vorbereitung durch Prof. Dr. H. MoHLER und
Prof. Dr.-Ing. 0. Fucus, Konstanz, zwischen 1955 und 1960. Die stürmische Entwicklung der chemischen Industrie und das Eindringen der Chemie und der chemischen Technik in zahlreiche weitere V erhrauchsgüterindustrien verlangten eine
Bearbeitung der gemeinsamen Grundlagen physikalischer, chemischer und technischer Art. Daneben sollte aber auch, wie wir das bereits im Vorwort zum Erscheinen der ersten Bände herausgestellt hatten, Werkstofffragen, die Meßtechnik
und das große Gebiet der Betriebstechnik behandelt werden, das sich in physikalische und chemische Grundverfahren gliedern läßt.
Für die Buchreihe liegt ein umfangreiches Gesamtkonzept vor. Es ist allerdings
nicht vorgesehen, die Reihe streng systematisch nach diesem Konzept aufzuhauen. Je nach Aktualität des Themas und wie uns Autoren zur Verfügung stehen,
lassen sich einzelne Bausteine an den verschiedenen Stellen in das Mosaik einfügen.
Leider sind die meisten, die einen solchen Beitrag liefern können, durch ihre
Berufsarbeit, durch Forschung und Lehre so in Anspruch genommen, daß es
ihnen schwer wird, die Zeit für eine Übersicht und Zusammenfassung eines
größeren Gebietes und die Niederschrift eines Buches zu finden.
Die Tatsache aber, daß einige Bände bereits in zweiter Auflage erscheinen und
daß mehrere in zwei oder drei Fremdsprachen übersetzt wurden, bestätigt uns,
daß wir auf dem rechten Weg sind und daß unsere Buchreihe allen im weiten
Bereich der Verfahrenstechnik und des Apparatehaus tätigen Ingenieuren, Chemikern und Physikern bereits während ihres Studiums und weiterhin in der
Berufsarbeit helfen können. Wir sind dankbar für jede Unterstützung, aber auch
für jede Kritik, die zur Verwirklichung unserer Pläne beitragen kann.
Die Buchreihe hat auch im Ausland Interesse gefunden; der Verlag URMO in
Bilhao hat die Übersetzung aller Bände ins"'Spanische übernommen und erschließt
damit fast ganz Südamerika; ei.nzelne Bände wurden ins Französische, Englische
und Polnische übersetzt.
·
Zur Zeit umfaßt die Reihe folgende Titel:
Peter Grassmann, Physikalische Grundlagen der Verfahrenstechnik (englisch: Physical Principles of Chemical Engineering, Pergamon Press,
Oxford 1971; spanische Ausgabe im V erlag u R Mo, Bilhao, in Vorhereitung)
Otto Fuchs, Physikalische Chemie als Einführung in die chemische Technik
(spanische Ausgabe in Vorbereitung)
Luigi Piatti, Werkstoffe der chemischen Technik (spanische Ausgabe in
V orhereitung)

6

Vorwort

Romano Gregorig, Wärmeaustauscher (französisch: Echangeurs de Chaleur, Lihrairie Polytechnique Beranger, Paris; spanisch: Cambiadores de
Calor, Verlag URMO, Bilhao)
Friedrich Kneule, Das Trocknen (französisch: Le Sechage, Editions Eyrolles, Paris; spanisch: El Secado, V erlag u R Mo, Bilhao; polnisch: Suszenie,
Verlag Arkady, Warschau)
Marcel Loncin, Die Grundlagen der Verfahrenstechnik in der Lebensmiuelindustrie (französisch: Les operations unitaires du genie chimique, Dunod,
Editeur, Paris; spanisch: Tecnica de la Ingenieria Alimentaria, Editorial
Dossat S.A., Madrid)
Heinz Brauer, Grundlagen der Einphasen- und Mehrphasenströmungen
Erich Mach, Planung und Errichtung chemischer Fabriken
Weitere Bände sind in Arbeit, die wichtige Teilgebiete der Verfahrenstechnik behandeln.
H. Kraussold

Vorwort

Der Stoffaustausch ist im deutschen Schrifttum noch nicht in zusammenfassender
Form behandelt worden. Es bestand in der Vergangenheit offenbar auch kein
großes Bedürfnis dafür. Man war vielfach der Meinung, daß man die für den Stoffaustausch maßgebenden Gesetzmäßigkeiten durch Anwendung einfacher Übertragungsregeln aus den Wärmeübergangsgesetzen erhalten könne. Der Stoffaustausch wurde damit als ein Anhängsel der Wärmeübertragung betrachtet. Diese
Vorstellungen sind inzwischen überwunden. Der Stoffaustausch erfährt nach
gründlicher wissenschaftlicher V orhereitung eine eigenständige Behandlung.
In vielen technisch bedeutsamen Bereichen können die auftretenden Probleme
nur durch die Behandlung der gekoppelten Transportprozesse gelöst werden. Dies
ist beispielsweise der Fall, wenn der Stoffaustausch mit dem Wärmeaustausch,
mit chemischen Reaktionen oder anderen Vorgängen gekoppelt iet. Im allgemeinen treten heim Stoffaustausch wesentlich komplexere physikochemische Bedingungen auf als heim Wärmeaustausch. Durch Vereinfachungen lassen sich
aus den hierfür entwickelten Stoffaustauschgesetzen einige wichtige Wärmeaustauschgesetze herleiten. Trotzdem wird durch die Lehre von der Stoffübertragung diejenige von der Wärmeübertragung nicht überflüssig. Es ist vielmehr
so, daß die Lehre vom Wärmeaustausch und die Lehre vom Stoffaustausch selbständige Bereiche darstellen und sich gegenseitig ergänzen. Eine Vereinigung der

Vorwort

7

beiden Lehren ist nur in sehr begrenztem Rahmen möglich und daher praktisch
wenig sinnvoll. Das läßt sich unter anderem auch daraus erkennen, daß sich die
Apparate für den Stoffaustausch im allgemeinen hinsichtlich ihrer Formen ganz
erheblich von denen für den Wärmeaustausch unterscheiden. Während der
Wärmeaustausch ohne gleichzeitigen Stoffaustausch technisch einen sehr bedeutsamen Vorgang für sich darstellt, ist der Stoffaustausch in den meisten technisch wichtigen Anwendungsfällen mit einem gleichzeitig auftretenden Wärmeaustausch verbunden. Aus diesem Grunde werden, soweit das möglich ist, aus
den Stoffaustauschgesetzen die jeweils analogen Wärmeaustauschgesetze hergeleitet.
Das Buch besteht aus 6 Teilen. Der erste Teil enthält die allgemeinen Grundlagen
des Impuls-, Energie- und Stofftransportes. Darunter werden die für die Transportvorgänge wichtigen Transportgleichungen, die zur Beschreibung von Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsfeldern erforderlichen Differentialgleichungen sowie die Analogie von Impuls-, Energie- und Stofftransport verstanden.
Im zweiten Teil des Buches, der die Kapitel 4 und 5 umfaßt, werden einige Beispiele für die Diffusion in ruhenden Medien behandelt. Auf eine vollständigere
Behandlung der Diffusion in ruhenden Medien wurde bewußt verzichtet. Hierzu
bedürfte es sicherlich eines eigenen Buches. Der Hauptgegenstand des Buches
sollte die Diffusion in strömenden Medien sein. Die meisten Beispiele für die Diffusion in ruhenden Medien wurden daher so ausgewählt, daß sie in engem Zusammenhang mit der Diffusion in strömenden Medien stehen.
Die Teile III und IV mit den Kapiteln 6 bis 10 sind dem Stofftransport an den Oberflächen umströmter und durchströmter Körper gewidmet. Als Beispiele für die
umströmten Körper wurden die Platte, der Zylinder und die Kugel herangezogen.
Sie lassen sich als Grundformen der umströmten Körper ansehen, aus denen sich
andere technisch wichtige Körper entwickeln lassen. Die Behandlung einfacher
und gekoppelter Diffusionsvorgänge am Beispiel dieser Grundformen schien daher besonders lehrreich zu sein. Als durchströmte Körper wurde das Rohr sowie
die ruhende Füllkörperschicht und die Wirbelschicht ausgewählt.
Die in Teil II und III des Buches behandelten Diffusionsvorgänge verlaufen in
jeweils einphasigen Systemen. Technisch ebenso bedeutsam ist die Diffusion in
zweiphasigen Systemen. Hierunter werden in diesem Buch nur solche Systeme
verstanden, die aus zwei fluiden Phasen bestehen. Zur Vorbereitung der Behandlung des Stofftransportes durch die Grenzflächen zwischen fluiden Phasen werden
in Kapitel 11 einige zusätzliche Grundlagen zusammengefaßt.
In den Kapiteln 12 bis 14, die den V. Teil des Buches bilden, wird der Stofftransport durch die drei Grundformen der Pha:sengrenzflächen behandelt. Diese Grundformen werden durch Flüssigkeitsfilme, Flüssigkeitsstrahlen sowie Blasen und
Tropfen erzeugt. Der Stofftransport durch die Grenzflächen von Blasen und
Tropfen ist stets instationär.
Im letzten, dem VI. Teil des Buches wird der Stofftransport in Boden- und Füllkörperkolonnen in einer einführenden Form abgehandelt.

8

Vorwort

Die_Kapitel über den konvektiven Stofftransport sind, soweit die bereits verfügbaren wissenschaftlichen Erkenntnisse es ermöglichen, folgendermaßen gegliedert.
Im ersten Abschnitt werden jeweils solche Stofftransportvorgänge behandelt, für
die sich analoge Wärmetransportvorgänge angeben lassen. Hierbei wird sowohl
auf den Stofftransport in erzwungenen als auch in freien Strömungen eingegangen. Bei erzwungenen Strömungen wird insbesondere auch der Einfluß des Turbulenzgrades auf den Stoff- und Wärmetransport erörtert. Im jeweils letzten
Abschnitt eines Kapitels wird die Kopplung von Diffusion und chemischen Reaktionen untersucht. Soweit es bereits möglich ist, wird in dazwischenliegenden
Abschnitten auf andere mit dem Stofftransport gekoppelte Vorgänge eingegangen.
:Viele der Ergebnisse, die in diesem Buch dargestellt sind, wurden von meinen
Mitarbeitern im Rahmen von Dissertationen sowie von Studien- und Diplomarbeiten erzielt. Ihnen allen sei an dieser Stelle noch einmal für ihre Tätigkeit im Institut für Verfahrenstechnik der Technischen Universität Berlin gedankt. Einen besonderen Beitrag hat Herr Privatdozent Dr.- Ing. JOCHEN MÜHLE
geleistet, indem er Kapitel 2 - Bilanzgleichungen - bearbeitete. Meine Sekretärin,
Frau DoRA HELLMICH, möchte ich für die Reinschrift des Manuskriptes und Frau
URSULA BRUNO für die Herstellung der zahlreichen Bilder danken. Den Herausgebern, insbesondere Herrn Dr.- Ing. H. KRAUSSOLD, hin ich für viele wertvolle
Rat-schläge und dem Verlag für die angenehme Zusammenarbeit bei der Herstellung des Buches dankbar.
Einer besonderen Erwähnung bedarf die Mitarbeit von Herrn Dr.-lng. DIETER
MEWES. Es ist seinen umfangreichen Kenntnissen auf dem Gebiet der Stoffübertragung und seinem Einfühlungsvermögen zu verdanken, daß das Manuskript
innerhalb sehr kurzer Zeit fertiggestellt werden konnte, obgleich die Entscheidung
über seine Mitarbeit erst verhältnismäßig spät fiel.

H. Brauer

9

Inhaltsverzeichnis
· Teil I:

Allgemeine Grundlagen des Impuls-, Energie· und Stofftransportes . . . . . . .

17

1
1.1
l.ll
1.111
1.112
1.12
1.121
1.122
1.13
1.131
1.132
1.133
1.14
1.141
1.1411
1.1412
1.1413
1.1414
1.142
1.143
1.2
1.21
1.22
1.221
1.222
1.223
1.23
1.231
1.232
1.233
1.234
1.24
1.3
1.31
1.311
1.312
1.32
1.321
1.322
1.323
1.324
1.33

Grundgleiehungen für die Transportprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •
Die einfachen Transportgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Qualitative Beschreibung der Transportprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der molekulare Transport .... , . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . .
Der turbulente Transport . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Impulsstromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die molekulare Impulsstromdichte . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die molekulare und turbulente Impulsstromdichte . . . . . . • . . . . . . . . . . . . .
Die Energiestromdichte . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . .
Die molekulare Energiestromdichte . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die molekulare und turbulente Energiestromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verhältnis aus Impuls- und Energiestromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Stoffstromdichte in binären Gemischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die molekulare Stoffstromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definitionen und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die äquimolare Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die einseitige Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die nichtäquimolare Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die molekulare und turbulente Stoffstromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verhältnisse der Impuls-, Energie- und Stoffstromdichten . . . . . . . . . . . . .
Die vollständigen Transportgleichungen für Mehrkomponentengemische . .
Die Impulsstromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •
Die Energiestromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Fouriersche Energiestromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . .
Die Enthalpiestromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Dufoursche Energiestromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • • . . . • • . • . .
Die Stoffstromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . • •
Die Ficksehe Stoffstromdichte . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •
Die Stoffstromdichte infolge von Druckgradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •
Die Stoffstromdichte infolge von äußeren Kräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Soretsche Stoffstromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich zwischen verschiedenen Stoff- und Energiestromdichten . . . . • .
Die molekularen und turbulenten Transportkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . .
Einige Grundlagen der kinetischen Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Molekularkinetische Deutung von Druck und Temperatur . . . . . . . . . . . . .
Berechnung von Stoßzahl und mittlerer freier Weglänge . . . . . . . . . . . . . . .
Molekularkinetische Berechnung der Transportkoeffizienten . . . . . . . . . . . .
Die Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Wärmeleitkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Diffusionskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Thermodiffusionskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . • .
Empirische Gleichungen und graphische Darstellungen für die Transportkoeffizienten . . . . . . • . . . . . • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . • • . . . . . • . • . . • • . .
Die Viskosität reiner Gase und Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Viskosität von Gas- und Flüssigkeitsgemischen . . . . . . . • . . . . . • . . . . .
Der Wärmeleitkoeffizient reiner Gase und Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . .
Der Wärmeleitkoeffizient von Gas- und Flüssigkeitsgemischen . . . . . . . . . .
Der Diffusionskoeffizient von Gas- und Flüssigkeitsgemischen . . • . . . . • . .
Die turbulenten Transportkoeffizienten..............................
Der Transportkoeffizient des Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18
18
19
19
21
24
24
27
29
29
32
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34
35
35
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51
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56
57
57
58
60
60
61
64
66
66
68
70
71

1.331
1.332
1.333
1.334
1.335
1.34
1.341

75
76
77
79
84
85
87
88

10

Inhaltsverzeichnis

1.3411
1.3412
1.342
1.4
1.41
1.42
1.43
1.44
1.45
1.5
1.51
1.511
1.512
1.513
1.52
1.6

Mischungsweg- und Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Gleichung für den Transportkoeffizienten . . . . . • . • . . . . . . . . . . . . . • • . . . . .
93
Die Transportkoeffizienten der Energie und des Stoffes . . . . . . . . . . . . . • . •
95
Gleichungen für die Reaktionsstromdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Einige Hinweise auf Reaktionsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . .
97
Definition der Reaktionsstromdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Qualitativer Ansatz für die Reaktionsstromdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . • . 101
Quantitative Ansätze für die Reaktionsstromdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Zusammenhang zwischen Reaktions- und Stoffstromdichte............. 106
Gleichungen für die konvektiven Transportstromdichten . . . . . . . . . . . . . . 108
Der konvektive Energie- und Stofftransport . . • . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 108
Beschreibung des konvektiven Transports von Energie und Stoff . . . . . . . 109
Definition der konvektiven Transportkoeffizienten . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . 110
Grundgleichungen zur Berechnung der konvektiven Transportkoeffizienten 112
Der konvektive Impulstransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Gleichgewichtjlbedingungen bei Transportprozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2

Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Bilanzgleichung für beliebige Transportströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die allgemeinen Bilanzgleichungen zur Berechnung der Geschwindigkeits-,
Temperatur- und Konzentrationsfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Gleichung für das Geschwindigkeitsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die allgemeine Form der Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Navier-Stokessche Bewegungsgleichung..........................
Die Eulersche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Gleichung für das Geschwindigkeitsfeld bei freier Konvektion . . . . . .
Die Gleichung für das Temperaturfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Gleichung für das Konzentrationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die wichtigsten Formen der allgemeinen Bilanzgleichungen in verschiedenen
Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die speziellen Bilanzgleichungen für die Berechnung der Geschwindigkeits-,
Temperatur- und Konzentrati(\nsfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Bilanzgleichungen in ruhenden Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Gleichung für dag Temperaturfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Gleichung für das Konzentrationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Grenzschichtgleichungen.......................................
Die Gleichung für das Geschwindigkeitsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Gleichung für das Temperaturfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Gleichung für das Konzentrationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die dimensionslosen Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128
128
130

Analogie von Impuls-, Energie· und Stofftransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Analogie des Energie- und Stofftransportes in ruhenden Medien.....
Die Analogie des Impuls- und Wärmetransportes sowie des Impuls- und
Stofftransportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Analogie bei der Plattenströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Laminare Grenzschicht............................................
Turbulente Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . .
Die Analogie bei der Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analogiegleichungen von REYNOLDS und PRANDTL . . . . . . . . . . . . . . . . . • . .
Verfeinerte Analogiegleichungen ...... ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschließende Bemerkungen zur Analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Analogie des konvektiven Wärme- und Stofftransportes . . . . . . . . • • .

172
172

2.1
2.2
2.3
2.31
2.32
2.321
2.322
2.323
2.324
2.33
2.34
2.35
2.4
2.41
2.411
2.412
2.42
2.421
2.422
2.423
2.424

3
3.1
3.2
3.21
3.211
3.212
3.22
3.221
3.222
3.23
3.3

137
139
140
140
141
142
142
145
150
152
152
156
156
159
161
162
164
167
168

17 5
17 5
176
181
183
183
186
188
189

Inhaltsverzeichnis

11

Teil II:

Diffusion in ruhenden Medien ..................................... .

193

4
4.1
4.2
4.21
4.22
4.23
4.3
4.31
4.32
4.4
4.41
4.42
4.5
4.51
4.52
4.6
4.61
4.62
4.63

Diffusion in festen Wänden und in Gasschichten ...................... .
Struktur der festen Stoffe .•.......................................
Diffusion in ebenen und gekrümmten Wänden ..............•...•....
Diffusion in einer ebenen Wand ................................... .
Diffusion in einer gekrümmten Wand .............................. .
Diffusion mit konvektivem Stoffübergang .................•.•.......
Diffusion mit Feuchteausscheidung ............•...••.......••..•..•
Dampfdiffusion und Wärmeleitung in porösen Wänden ............... .
Ermittlung der Dampfsperre ...................................... .
Einseitige Dampfdiffusion in Gasen ..................... , .......... .
Berechnung des Partialdruckes .................................... .
Berechnung der Stoffstromdichte .................................. .
Diffusion mit homogener chemischer Reaktion in Wänden ............ .
Beispiel für einen stationären Vorgang ............................. .
Beispiel für einen instationären Vorgang ........................... .
Diffusion mit heterogener chemischer Reaktion in Poren ............. .
Das Porenmodell ................................. ~ .............. .
Konzentrationsverlauf in der Pore ................................. .
Der Porennutzungsgrad .......................................... .

194
194
200
200
204
205
207
208
212
213
213
215
217
217
219
223
224
227
228

5
5.1
5.2
5.3
5.31
5.32

Permeation ......................•...............................
Allgemeine Beschreibung der Permeation ........................... .
Der Permeationskoeffizient ....................................... .
Selektive Permeation ............................................ .
Selektive Permeation bei vollkommener Durchmischung .............. .
Selektive Permeation bei nicht vollkommener Durchmischung ......... .

232
232
236
237
238
242

Teil III:

Stofftransport an den Oberflächen umströmter Körper ................. .

247

6

Stoffübergang an ebenen Platten ........................•..•....... ,
Analogiegleichungen für den Stoff- und Wärmeübergang .............. .
Erzwungene Konvektion ......................................... .
Laminare Grenzschichtströmung ..... , ................... , , ...... , .
Einfluß des Turbulenzgrades auf den Stoffübergang .................. .
Turbulente Grenzschichtströmung .........•........................
Teilweise laminare und turbulente Grenzschichtströmung ............. .
Stoffübergang im nichtisothermen Feld ............................. .
Freie Konvektion ............................................... .
Definition der Grashof-Zahlen .................... , .•.......•.. , • , .•
Allgemeine Beschreibung der freien Konvektion ..................... .
Stoffübergang an senkrechten Platten .............................. .
Stoffübergang an waagerechten Platten ............................. .
Überlagerung von erzwungener und freier Konvektion ............... .
Stoffübergangsgesetze ............................................ .
Widerstandsgesetze .............................................. .
Instationärer Stoffübergang ....................................... .
Stoffübergangsgesetze ............................................ .
Instationäre Laufzeit ............................................ .
Stoffübergang bei hohem Partialdruck ............................. .
Beschreibung des Problems ....................................... .
Strömungsgesetze •.........•....•................................

248
248
248.
249
254
256
258
258
259
261
262
266
270
272
273
275
276
277
279
279
280
284

6.1
6.11
6.111
6.112
6.113
6.114
6.115
6.12
6.121
6.122
6.123
6.124
6.13
6.131
6.132
6.14
6.141
6.142
6.2
6.21
6.22

12

Inhaltsverzeichnis

6.221
6.222
6.23
6.231
6.232
6.233
6.3
6.31
6.311
6.312

Geschwindigkeitsprofile und Grenzschichtdicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Widerstandsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stoffübergangsgesetze • . . . . . . . . . . • . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konzentrationsprofile und Grenzschichtdicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Örtliche Sherwood-Zablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mittlere Sherwood-Zablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stofftransport und chemische Reaktion . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . •
Stoffumsatz bei heterogen katalysierter Reaktion . . . . . . . . . . . . . . • . • . . . .
Erläuterung des physiko-chemischen Problems . . . . . • • • . . . . . . . . . . . . . . .
Differentialgleichungen für das Geschwindigkeits- und das Konzentrationsfeld.............................................................
Definition örtlicher und mittlerer Sherwood-Zahlen . . • . . . . . . . . . . . . . . . .
Grenzgesetze für Reaktions- und Diffusionshemmung . . . . . . . . . • . . . . . . .
Spezielle Gesetze für die Reaktionsordnung n = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konzentrationsprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezogene örtliche und mittlere Sherwood-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich zwischen Theorie und Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einige Hinweise auf nichtäqnimolare heterogen katalysierte Reaktionen .
Stoffübergang an senkrecht angeströmten Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einige Gesetze der Staustrahlströmungen............................
Stoffübergangsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fluiddynamische, thermische und stoffiiche Randbedingungen . . . . . . . . .
Örtliche Wärme- und Stoffübergangskoeffizienten bei der Staustrablströmung . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnungsgleichungen für den Stoffübergang bei Anströmung aus einzelnen Düsen und Blenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnungsgleichungen für den Stoffübergang bei Anströmung aus Düsenund Blendenfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.313
6.314
6.315
6.316
6.317
6.318
6.32
6.4
6.41
6.42
6.421
6.422
6.423
6.424

284
287
289
289
292
294
297
298
298
299
302
304
306
307
309
312
313
316
316
318
319
320
223
327

7
7.1
7.11
7.111
7.112
7.113
7.12
7.13
7.2
7.21
7.22

Stoffübergang an Zylindern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Quer angeströmter Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Erzwungene Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Örtliche Werte für die Sherwood-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Einfluß des Turbulenzgrades auf den Stoffübergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Mittlere Werte für die Sherwood-Zabl............................... 341
Freie Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Überlagerung von erzwungener und freier Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Längs angeströmte Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Erzwungene Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Freie Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

8
8.1
8.11
8.12
8.121
8.1211
8.1212
8.1213
8.122
8.123
8.1231
8.1232
8.1233

Stoffübergang an Kugeln und anderen Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analogiegleichungen für den Stoffübergang an Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . .
Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erzwungene Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konzentrationsverteilung und örtliche Sherwood-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
Bereich niedriger Reynolds-Zahlen (Re s; 1) . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . • . .
Bereich mittlerer Reynolds-Zahlen (1 s; Re s; 100) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bereich höherer Reynolds-Zahlen (Re 2 100) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfluß des Turbulenzgrades auf den Stoffübergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichungen für die mittlere Sherwood-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bereich niedriger Reynolds-Zahlen (Re s; 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bereich mittlerer Reynolds-Zablen (1 s; Re s; 100) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bereich höherer Reynolds-Zablen (Re> 100) • . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

355
355
356
360
360
361
364
367
369
371
372
374
376

Inhaltsverzeichnis

8.13
8.14
8.141
8.1411
8.1412
8.142
8.2
8.3
8.31
8.311
8.312

13

Freie Konvektion ............................................••..
Überlagerung von erzwungener und freier Konvektion .......•....••..
Bereich niedriger Reynolds- und Grashof-Zahlen ...•...........•.....
Strömungsgesetze ............................................... .
Stoffübergangsgesetze ......................•......................
- Bereich höherer Reynolds- und Grashof-Zahlen ...................... .
Analogiegleichungen für den Stoffübergang an anderen Körpern ....... .
Stofftransport und chemische Reaktionen an Kugeln ................. .
Stoffumsatz bei heterogen katalysierten Reaktionen ................. .
Erläuterung des physiko-chemischen Problems .......•.........•.....
Differentialgleichungen für das Geschwindigkeits- und das Konzentrationsfeld ............................................................ .
Beschreibung des Konzentrationsfeldes .............................•
Örtliche und mittlere Sherwood-Zahl ............................... .
Entwicklung der allgemeinen Berechnungsgleichungen ............... .
Berechnungsgleichungen für den Sonderfall Re Sc --+ 0 ............... .
Berechnungsgleichungen für den Sonderfall Re Sc --+ oo .............. .
Diskussion der Ergebnisse ........................................ .
Einige Hinweise auf den Stoffumsatz im Bereich mittlerer ReynoldsZahlen ......................................................... .
Stoffumsatz bei homogenen chemischen Reaktionen ......•.........•..
Erläuterung des physiko-chemischen Problems ...................... .
Differentialgleichungen für das Geschwindigkeits- und das Konzentrationsfeld ................................................•....•..•.•.•
Örtliche und mittlere Sherwood-Zahlen ............................. .

378
379
379
380
384
385
386
387
389
389

Teil IV:

Stofftransport an den Oberflächen durchströmter Körper , ..... , ... , ....

405

9
9.1
9.11
9.111
9.1111
9.1112
9.112
9.113
9.1131
9.1132
9.12
9.121
9.122
9.123
9.2
9.21
9.211
9.212
9.22
9.221

Stoffübergang in Rohren ......•....................................
Analogiegleichungen ............................................. .
Stoffübergang in glatten Rohren .................................. .
Laminare Strömung reiner Fluide ................ , . , .............•.
Das Stoffübergangsproblem und seine Behandlung ................... .
Stoffübergangsgesetze ........•.......•• , ......................... .
Laminare Strömung von Suspensionen ............................. .
Turbulente Strömung reiner Fluide • , .............................. .
Theoretische Stoffübergangsgesetze ................................ .
Empirische Stoffübergangsgesetze ................................. .
Stoffübergang in rauhen Rohren .................. , , ............... .
Erläuterung der Modellvorstellung ......................... , ....... .
Theorie des Stoffübergangs ....................................... .
Diskussion der Stoffübergangsgleichung ............•................
Gekoppelter Stoff- und Wärmeübergang ..........................•..
Differentialgleichungen für den Stoff- und Energietransport ........... .
Ein erstes Gleichungssystem .•............•...•..•.. , ............. .
Ein zweites, vereinfachtes Gleichungssystem •••....•.................
Ergebnisse für zwei Sonderfälle ................................... .
Kopplung von Fickseher Diffusion und Thermodiffusion mit Fourierscher
Wärmeleitung .•..•••••••.•••••••••...••••••••••••.........•.....
Kopplung von Fourierscher Wärmeleitung und Diffusionsthermik mit
Fickseher Diffusion .••••••••••••••••••••..•.••••••.•••••••••......
Stofftransport und chemische Reaktion ............................ .
Stofftransport und chemische Reaktion bei laminarer Rohrstrpmung ... .

406
406
406
406
406
410
414
415
415
422
424
424
426
429
430
431
431
434
435

8.313
8.314
8.3141
8.3142
8.3143
8.3144
8.315
8.32
8.321
8.322
8.323

9.222
9.3
9.31

390
391
392
392
393
393
394
397
397
398
398
400

435
437
438
438

14

Inhaltsverzeichnis

9.311
9.312
9.3121
9.3122
9.313
9.314

Erläuterung des mathematischen Problems . . . . . . • . . . . • . . . . . . • . . . . . . .
Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Örtliche und mittlere Konzentrationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Örtliche und mittlere Sherwood-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spezielle Lösung der Differentialgleichung im Bereich kleiner z-Werte...
Spezielle Lösung für den Fall des vollständigen Konzentrationsausgleiches
in radialer Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . .
Vergleich der Theorie mit Versuchsergebnissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stofftransport und chemische Reaktion bei turbulenter Strömung . . . . . .
Erläuterung des mathematischen Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diskussion einiger Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isothermer Reaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Adiabater Reaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

438
441
441
445
448

10.1
10.2
10.21
10.211
10.2111
10.2112
10.212
10.213
10.214
10.22
10.23
10.3
10.31
10.32
10.321
10.322
10.323
10.33
10.331
10.332
10.333

Stoffübergang in ruhenden und wirbelnden Füllkörperschichten . . . . . . . . .
Strukturgrößen der Füllkörperschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analogiegleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stoffübergang in Kugelschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Experimentelle Befunde über die örtliche Sherwood-Zahl . . . . . • . . • . . . . .
Untersuchungsmethoden und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Örtliche Sherwood-Zahl . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Theorie des Stoffüberganges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Empirisches Stoffübergangsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusätzliche Bemerkung zum Stoffübergang in Wirbelschichten . . . . . . . . .
Stoffübergang in Mehrkornschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stoffübergang in Schichten aus anderen Füllkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stoffübergang mit chemischer Reaktion . • . . . • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fluiddynamisches Modell der Kugelschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konzentrationsfeld in der Hüllschicht einer Kugel • • • • . . • . . • . . . • . . . . . .
Allgemeine Form der Differentialgleichung für das Konzentrationsfeld . . .
Konzentrationsfeld bei großen Werten von Re Sc . . . . . . . . . . • • • • • . . . . . .
Konzentrationsfeld bei kleinen Werten von Re Sc.....................
Berechnung des Stoffüberganges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition der Sherwood-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stoffübergangsgesetze für den Bereich großer Werte Re Sc . . . . . . . . . . . . .
Stoffübergangsgesetz im Bereich kleiner Werte Re Sc . . . . . . . . . . . . . . . . .

466
467
470
4 70
471
471
473
477
483
485
488
490
492
492
495
495
496
501
502
502
503
504

Teil V:

Stofftransport durch die Grenzßächen einfacher zweiphasiger Systeme . . . . .

509

11

Einige zusätzliche Grundlagen für den Stofftransport durch die Grenzßächen
ßnider zweiphasiger Systeme . . . . . . . • . . • . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . • . . . . . . .
Struktur der Phasengrenzfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeine Angaben zur Phasengrenzfläche • . . . . . . • . . . . • . . • . . • . . • . . . .
Eine der Phasen liegt als Flüssigkeitsfilm vor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine der Phasen liegt als Flüssigkeitsstrahl vor.......................
Eine der Phasen liegt in Form von Tropfen oder Blasen vor . . . . . . . . . . .
Vorgänge in der Phasengrenzßäche und in ihrer näheren Umgebung . . . .
Instabilität der stoffdurchlässigen Phasengrenzfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fluiddynamische Einwirkungen auf die Phasengrenzfläche . . . . . . . . . . . . .
Definition von Stoffübergangs- und Stoffdurchgangskoeffizienten........
Verschiedene Fälle des Stofftransportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition von Stoffübergangskoeffizienten . . . • • • . • . • • • • • • • . . . . . . . . . . .

5Ht
510
510
512
513
514
514
515
519
519
519
522

9.315
9.32
9.321
9.322
9.3221
9.3222

10

11.1
11.11
11.12
11.13
11.14
11.2
11.21
11.22
11.3
ll.31
11.32

450
452
453
454
456
456
459

Inhaltsverzeichnis
11.33
11.34
11.4
11.41
11.42

12

Anweisungen für die Berechnung des Stofftransportes in zweiphasigen
Systemen . . . . . . . . . . • . . . . . . . . • . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . • . .
Definition von Stoffdurchgangskoeffizienten . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . •
Einige Hinweise auf Stoffübergangshypothesen . . . . • . . . . . . . . . . . . • . . . . .
Die Zweischichtenhypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . • . . . . • . . . . . . .
Die Penetrationshypothese . . . . . . . • . . . . • . . . . . . . . . . . . . • . . . . • . . . . . • . .

15

526
526
530
531
532.
538
538
540
540
542

12.23
12.3
12.4
12.41
12.42
12.421
12.422
12.423

Stofftransport durch die Grenzßäche von Flüssigkeitsfilmen . . . . . . . • . . • . .
Allgemeine Erörterung des Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . • . . . .
Stofftransport im Flüssigkeitsfilm . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einige Gesetze der Filmströmung . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . .
Stofftransport im Film mit glatter, wellenfreier Oberfläche . . . . . . . . . . . . .
Erläuterung des Stofftransportes und der dafür maßgebenden Differentialgleichung . . . . . . . • . . • . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . • . • • . . . . . . . . . . . . . • . .
Örtliche Partialdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mittlere Partialdichte und Partialdichte in der Phasengrenzfläche . . . . . . .
Stoffübergangskoeffizienten und Sherwood-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Örtliche Stoffübergangskoeffizienten und Sherwood-Zahlen . . . . . . . . . • . .
Mittlere Stoffübergangskoeffizienten und Sherwood-Zahlen . . . • . . . . . . . . .
Sonderfall des Stofftransportes im Bereich kleiner Werte der Einlaufkennzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . • . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stofftransport im Film mit welliger Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stofftransport im Gasstrom . . . . . . • . • . • . . . . . . . • . . . . . • . . . . . . . . . . . . . • •
Stofftransport mit chemischer Reaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Qualitative Erläuterung der Konzentrationsverteilungen . . . . . . . . . . . . . •
Berechnung des Stofftransportes . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . • . . . . . . .
Voraussetzungen für eine theoretische Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differentialgleichungen für die Konzentrationsfelder . . . . . . . . . . . . . • . . . .
Berechnung des Stoffübergangskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
13.l
13.2
13.21
13.22
13.23
13.24
13.25
13.26
13.27
13.3

Stofftransport durch die Grenzfläche von Flüssigkeitsstrahlen • • . . . . . • . . .
Allgemeine Beschreibung der Stofftransportbedingungen...............
Theorie des Stofftransportes im Flüssigkeitsstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vereinfachende Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . .
Lösung der Diffusionsgleichung . . . • . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . • . .
Konzentrationsverteilung im Strahl . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . .
Mittlere Partialdichte im Strahl . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . • • . • . . . . .
Örtliche Stoffübergangskoeffizienten und Sherwood-Zahlen . . . . . . • . . • . .
Mittlere Stoffübergangskoeffizienten und Sherwood-Zahlen . . • . . • . . • . . • .
Näherungslösung im Bereich kleiner z-Werte.........................
Ergebnisse experimenteller Untersuchungen zum Stoffübergang . . . . . . . .

578
578
582
582
583
585
586
587
588
591
592

14
14.l
14.2
14.21
14.211
14.212
14.22
14.221
14.222
14.223
14.224
14.2241

Stofftransport durch die Grenzfläche von Blasen und Tropfen . . . . . . . . . . .
Allgemeine Beschreibung der Stofftransportbedingungen . . . . . • . . . . . • . . .
Theorie des Stofftransportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . • . . .
Theorie des stationären Stofftransportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . •
Beschreibung des Konzentrationsfeldes . . . . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . . . . . .
Gesetze für die örtliche und die mittlere Sherwood-Zahl . . . . . . . . . • . . • . •
Theorie des instationären Stofftransportes . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . • . .
Mathematische Grundlagen und Definitionen .... , . . . . . . • . . . . . . . • . . . . .
Spezielle Lösungen für sehr kurze Zeiten • . . • . • . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spezielle Lösung für sehr lange Zeiten...............................
Einige Ergebnisse der allgemeinen Lösung . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . .
Die mittlere Konzentration in fluiden Kugeln bei ruhenden Systemen...

597
597
601
601
601
605
607
607
612
618
619
619

12.1
12.2
12.21
12.22
12.221
12.222
12.223
12.224
12.2241
12.2242
12.225

542
54 7
548
551
551
553
557
558
563
565
566
571
571
572
573

16

Inhliltsverzeichnis

14.2242
14.2243
14.3
14.31
14.32
14.33
14.4
14.5

Die mittlere Sherwood-Zahl für den Stofftransport in ruhenden Systemen
Stofftransport durch die Grenzfläche umströmter Kugeln . . . . . . . . . • . . • .
Zusammenfassende Darstellung von Meßwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . •
Form.und Bedeutung empirischer Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Empirische Gleichung für den Stofftransport bei Tropfen . . . . . . . . . . . . . .
Empirische Gleichung für den Stofftransport bei Blasen . . . . . . . . . . . . • . .
Hinweise anf den analogen Fall des Wärmetransportes . . . . . . • . • • . • . . . .
Stofftransport mit chemischen Reaktionen • , . . . . . . . . • . . . . . • . . . . . . . . .

622
626
628
629
630
633
633
636

Teil VI:

Stofftransport in zweiphasig durchströmten technischen Apparaten. . . . . • .

639

15

Stofftransport in Boden- und Füllkörperkolonnen ...•..•............. , ,
Stofftransport auf Kolonnenböden •••....•.. , •. , , .•......•. , , . , • . . . .
Allgemeine Erläuterung des Stofftransports , ........... , ...•.. , . . . . . .
Bestimmung der theoretischen Bodenzahl . • . . • . . . . . . . . • . . • . . . . . . . . . .
Der Bodenaustauschgrad • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition des örtlichen und des mittleren Bodenaustauschgrades ..•.. , •
Zusammenhang zwischen örtlichem und mittlerem Bodenaustauschgrad
Berechnung des örtlichen Bodenaustauschgrades ....... , ••. , . . . . . • . . .
Bestimmung der wirklichen Bodenzahl ••.••..•........ , „ , .... , , , . . .
Graphische Bestimmung der wirklichen Bodenzahl , . . . • . . . . . • . . . . . . . . .
Rechnerische Bestimmung der wirklichen Bodenzahl ........ , . . . . . . . . .
Hinweise zur direkten Berechnung des Stofftransportes auf Kolonnenböden .......•..•. , •.......• , ..• , •.• ,............................
Stofftransport in berieselten Füllkörperkolonnen. . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . .
Grundgesetz des Stofftransports •.••.•..••.••.. , ..•. , •. , •. , •..•.. , . .
Bestimmung der Zahl der Stoffübergangseinheiten . , . , .............• , •
Rechnerisches V erfahren ................. , . . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . . .
Graphische Verfahren •............... , •.. , .......... , , . , . , ..•. , , . ,
Bestimmung der Höhe einer Stoffübergangseinheit ..•..•............ , .
Zusammenhang zwischen der Höhe einer Stoffübergangseinheit und dem
Stoffübergangskoeffizienten ..... , • , •..•..•...•......•••.•...• , • . . • .
Stoffübergangskoeffizient für die Flüssigkeitsphase , .. , .............. , •
Stoffübergangskoeffizient für die Gasphase ••.. , •... , .. , .......•... , • ,

640
640
641
645
649
649
651
654
659
659
660

15.1
15.11
15.12
15.13
15.131
15.132
15.133
15.14
15.141
1$.142
15.15
15.2
15.21
15.22
15.221
15.222
15.23
15.231
15.232
15.233

661
661
662
665
665
669
673
673
67 4
677

Schrifttum: jeweils am Schluß der Kapitel 1 bis 15
Register ..........••.•..•....•.......••.••.••••• , • • . . • • • . • • • • • . • • 684
Namenverzeichnis ................•.......••.. , • • . • . . . . . . . . . . . . . . .
Sachverzeichnis •..•..•..........•.... , .•. , , .. , . , . • . . . . . . . . • . • • . • .

684
689

17

Teil 1
Allgemeine Grundlagen des
Impuls-, Energie- und Stofftransportes

1
2
3

Grundgleichungen für die Transportprozesse
Bilanzgleichungen
Analogie von Impuls-, Energie- und Stofftransport

17
128
172

Gegenstand des Buches ist die Behandlung des Stofftransportes in ruhenden und
strömenden Medien. Hierfür werden im ersten Teil die erforderlichen Grundlagen
erörtert. Sie umfassen nicht nur die für den Stofftransport, sondern ebenfalls die
für den Impuls- und den Energietransport maßgebenden Gesetze. Die Kopplung
des Stoff- und Impulstransportes ist in strömenden Medien selbstverständlich.
Erklärt werden muß aber, warum in einem Buch über den Stofftransport auch
die Grundlagen des Energietransportes erörtert werden. Der wichtigste Grund ist
natürlich der, daß die Stoffübertragung bei technischen Problemen immer mit
irgendeiner Form der Energieübertragung verbunden ist. Es ist aber auch aus
physikalischen Gründen gerechtfertigt, beide Vorgänge gemeinsam zu behandeln.
Während die Energieübertragung ohne eine gleichzeitige Stoffübertragung möglich ist, läßt sich die Stoffübertragung bei Anlegen strenger physikalischer Maßstäbe nicht ohne eine damit gekoppelte Energieübertragung denken. Die Beachtung so strenger Maßstäbe ist bei der überwiegenden Zahl der technisch interessanten Probleme der Stoffübertragung erfreulicherweise nicht notwendig. Das
heißt, daß sich die Behandlung des Stoffübergangs in ganz erheblicher Weise
vereinfacht. Gerade in diesen technisch so bedeutsamen Fällen erweist es sich
dann aber aus einem anderen Grunde doch wieder als sinnvoll, die Grundlagen
des Stoff- und Energietransportes gemeinsam zu bringen. Der Grund ist die
Analogie der beiden Transportvorgänge. Sie ermöglicht es, bekannte Gesetze des
Energietransportes unter Beachtung bestimmter Regeln für den Stofftransport
nutzbar zu machen. Hiervon wird in diesem Buch vielfach Gebrauch gemacht.
Die allgemeinen Grundlagen, die in diesem Teil des Buches behandelt werden,
umfassen daher eine ausführliche Behandlung der für Impuls, Energie und Stoff
geltenden Transportgleichungen im 1. Kapitel, der Bilanzgleichungen im 2. Kapitel und der Analogie im 3. Kapitel.

18

1

Grundgleichungen für die Transportprozesse

In diesem Kapitel sollen die wichtigsten Gleichungen für den Transport von
Impuls, Wärme und Stoff erörtert werden. Um unnötige Einschränkungen zu vermeiden, wird vornehmlich vom Energietransport statt vom Wärmetransport gesprochen. Der Transport kann sowohl auf Grund der thermischen Molekularbewegung erfolgen - man spricht dann vom molekularen Transport - als auch auf
Grund der turbulenten Schwankungsbewegungen - man spricht dann vom turbulenten Transport. Sowohl der molekulare als auch der turbulente Transport erfolgt
durch die ungeordnete Bewegung kleinster als auch größerer Elemente des betrachteten Mediums.
Der molekulare Transport wird nur dann vom turbulenten unterstützt, wenn der
Transportprozeß in einem turbulent strömenden Medium stattfindet. In einem
laminar strömenden Fluid ist kein turbulenter Transport vorhanden. Findet der
Transportprozeß in einem strömenden Medium statt, dann tritt neben dem
molekularen und turbulenten Transport noch ein weiterer auf, den man den
konvektiven Transport nennt. Der konvektive Transport ist stets mit einem
molekularen, häufig noch zusätzlich mit einem turbulenten Transport verbunden,
da er nur in einem strömenden Fluid auftritt. In ruhenden Fluiden und in Festkörpern ist hingegen nur ein molekularer Transport möglich.
Die drei Transportarten werden in diesem Abschnitt behandelt. Dabei treten die
für jede transportierte Größe maßgebenden molekularen, turbulenten und konvektiven Transportkoeffizienten auf. Zunächst wird auf die Gleichungen für den
molekularen und turbulenten Transport und anschließend auf die für den konvektiven Transport eingegangen.

1.1

Die einfachen Transportgleichungen

Zur Einführung in die Transportprozesse sind die einfachen Formen der Transportgleichungen besonders gut geeignet. Sie sind jedoch für den Energie- und
Stofftransport unvollständig. So wird beispielsweise angenommen, daß der Energietransport nur auf Grund eines Temperaturgradienten erfolgt, obgleich bekannt ist, daß, beispielsweise auch auf Grund eines Dichtegradienten Energie
transportiert wird. Die Energieströmung auf Grund eines Dichtegradienten nennt
man Diffusionsthermik. Der Stofftransport wird der einfachen Transportgleichung
zufolge allein durch einen Dichtegradienten hervorgerufen. Die vollständige
Transportgleichung lehrt jedoch, daß ein Stoffstrom auch durch einen Tempe·
raturgradienten hervorgerufen werden kann. Diese Form des Stofftransportes
nennt man Thermodiffusion. Diffusionsthermik und Thermodiffusion sind nur
zwei von mehreren zusätzlichen Transportformen, die von den vollständigen
Gleichungen erfaßt werden. Sie werden in einem späteren Abschnitt erörtert.

Beschreibung des molekularen Transports

19

Die überwiegende Zahl der technisch bedeutsamen Prozesse wird durch die einfachen Gleichungen beschrieben. Es ist daher sinnvoll, diese als erste und in
besonders ausführlicher Weise zu besprechen. Den größten Umfang nimmt dabei
die Beschreibung des Stofftransportes ein. Zur Einführung werden die Transportprozesse in einer qualitativen, aber anschaulichen Weise behandelt. Die mathematische Beschreibung der Prozesse schließt sich dann an. Als ergänzendes
Schrifttum sei für diesen Abschnitt auf die Bücher von CHAPMAN und CowLING
[1.1 ], HrnsCHFELDER, CuRTISS und BrnD [1.2], PRESENT [1.3], HAASE [1.4 ],
GRASSMANN [1.5], BrnD, STEWART und LIGHTFOOT [1.6], GREW und IBBs [1.7]
sowie PowERS [1.8] hingewiesen.

1.11

Qualitative Beschreibung der Transportprozesse

Als Transportgrößen werden der Impuls, die Energie und der Stoff behandelt.
Der Transport kann sowohl auf Grund ungeordneter molekularer als auch ungeordneter turbulenter Schwankungsbewegungen erfolgen. Der Impuls wird auf
Grund eines Geschwindigkeitsgradienten, die Energie auf Grund eines Temperaturgradienten und der Stoff auf Grund eines Dichtegradienten transportiert.
Diese Aussagen sind charakteristisch für die Kontinuums -Thermodynamik, und
sie lassen bereits die mathematische Formulierung der Gesetze erkennen. Auf
Anschaulichkeit wird dabei weitgehend verzichtet. Diese ist nur aus molekularkinetischen Betrachtungen zu gewinnen, die im folgenden angewendet werden
sollen.

1.111

Der molekulare Transport

Ein Impulsstrom kann nur in einem strömenden Fluid auftreten, nicht aber in
einem ruhenden. Das mag zunächst überraschen, da beispielsweise auch in einem
ruhenden Gas die Moleküle eine thermische Bewegung ausführen. Die Geschwindigkeit der Moleküle ist dabei sehr unterschiedlich: Beim Zusammenstoß wird
daher stets Impuls ausgetauscht. Betrachtet man aber das Ergebnis einer sehr
großen Zahl von Zusammenstößen, dann ergibt sich kein gerichteter Impulsstrom, d.h. in makroskopischer Hinsicht ist kein Impulsstrom nachweisbar. Nur
wenn der thermischen Bewegung beispielsweise durch ein Druckgefälle eine gerichtete Bewegung überlagert wird, ist ein Impulsstrom möglich.
Wie der Impuls kann auch die Wärme, die hier lediglich als spezielle Form der
Energie angeführt wird, nur durch Zusammenstoß von Molekülen transportiert
werden. Im Gegensatz zum Impulstransport kann der Wärmetransport aber sowohl in ruhenden als auch in strömenden Medien stattfinden. Der Wärmetransport
in ruhenden Medien ist dadurch möglich, daß die dem System als Wärme zugeführt.e Energie in kinetische Energie der Moleküle umgewandelt und dann
transportiert werden kann. Die kinetische Energie mk V2/2, wobei mk die Masse und
die mittlere Geschwindigkeit eines Moleküls bedeuten, ist durch die Beziehung

VV2

1

- =
2mkv2

23

kT

.

(11)

20

Grundgleichungen für die Transportprozesse

mit der absoluten Temperatur T verknüpft. Mit k wird die Boltzmann-Konstante bezeichnet. Wird einem System also örtlich Wärme zugeführt, dann erhöht sich die kinetische Energie der hier befindlichen Moleküle und somit die
Temperatur. Gemäß GI. (1.1) wird sich daraufhin die Geschwindigkeit der Moleküle erhöhen, da sich deren Masse nicht ändert. Es soll jetzt gefragt werden, wie
der Energietransport innerhalb eines begrenzten Volumens abläuft. Dabei wird
der Beweglichkeit der Moleküle besondere Aufmerksamkeit geschenkt.
Die Betrachtungen sollen für zwei Grenzfälle durchgeführt werden. Im ersten
Falle läuft der Energietransport in einem Medium mit sehr großer Dichte ab.
Dann ist die Zahl der Moleküle je Volumeinheit groß. Die Zahl der Molekülstöße ist ebenfalls groß und die Beweglichkeit der Moleküle, ausgedrückt durch
die mittlere freie Weglänge, entsprechend gering. Unter diesen Bedingungen wird
sich der Energieaustausch in einer Fläche vollziehen, die durch das betrachtete
Volumen langsam hindurchwandert.
Im zweiten Fall soll der Energietransport innerhalb eines Mediums stattfinden,
dessen Dichte sehr gering ist. Dann ist die Zahl der Moleküle je Volumeinheit
und l!Omit auch die Zahl der Zusammenstöße klein. Die mittlere freie Weglänge
ist indes sehr groß. Unter diesen Bedingungen werden sich die Moleküle mit der
größeren kinetischen Energie sehr schnell innerhalb des gesamten verfügbaren
Volumens verteilen. Das heißt also, daß sich innerhalb eines Mediums mit sehr
geringer Dichte ein makroskopisches Energiegefälle sehr schnell ausgleicht. Ein
mikroskopisches Energiegefälle zwischen benachbarten Molekülen bleibt bestehen, bis dieses durch Molekülstöße ausgeglichen wird. Somit erfolgt durch
Platzwechsel der Moleküle ein Grobausgleich und durch Zusammenstöße ein
Feinausgleich des Energiegefälles. Die möglichen Energieströme sind jedoch nur
sehr gering, da die dafür maßgebende Zahl der Moleküle und der Zusammenstöße sehr klein ist. Hierauf ist die schlechte Wärmeleitung in Gasen zurückzuführen. Gleichzeitig ist aber die Temperaturleitfähigkeit in Gasen wesentlich
größer als in Flüssigkeiten, da der Platzwechsel der Moleküle mit abnehmender
Dichte der Medien erleichtert wird. Die geringe Wärmeleitung und der schnelle
Temperaturausgleich in Gasen sind beispielsweise entscheidend für die technische
Beherrschung von Flammen. Größere Wärmeleitfähigkeit und kleinere Temperaturleitfähigkeit würde die Flamme zum Erlöschen bringen.
Da nicht nur Wärme, sondern auch Impuls allein durch Molekülstöße transportiert werden, liefern die obigen Betrachtungen folgende Hinweise: In Medien mit
großer Dichte können sehr viel größere Impuls- und Wärmeströme auftreten als
in Medien mit geringer Dichte. Das heißt, daß die molekularen Transportkoeffizienten des Impulses und der Wärme, die Viskosität und der Wärmeleitkoeffizient, für Flüssigkeiten wesentlich größer sind als für Gase. Weiterhin ergibt
sich aber auch, daß sich Moleküle mit großer kinetischer Energie und damit auch
großem Impuls sehr schnell innerhalb eines V olumelementes verteilen, wenn die
Dichte des Mediums sehr gering ist. Die Schnelligkeit des Ausgleichs eines Impulsgefälles ist auf die Beweglichkeit, d. h. auf die Ortsveränderung der Moleküle,
nicht aber auf die Zusammenstöße zurückzuführen. Die Schnelligkeit eines Aus-

Beschreibung des molekularen Stofftransports

21

gleichsvorganges wird durch molekulare Ausgleichskoeffizienten charakterisiert.
Diese sind für Medien mit geringer Dichte, also Gase, wesentlich größer als für
Medien mit hoher Dichte, also Flüssigkeiten. Die molekularen Ausgleichskoeffizienten müssen daher gerade ein umgekehrtes V erhalten zeigen wie die Transportkoeffizienten.
Die große Bedeutung des Ortswechsels der Moleküle tritt auch bei der Betrachtung des Stofftransports hervor. Denn Stoff kann nur durch Ortswechsel der
Moleküle, nicht aber durch deren Zusammenstöße transportiert werden. Durch
Zusammenstöße der Moleküle wird der Stofftransport nur behindert. In Bild 1.1
ist der Transport von Molekülen A und B innerhalb eines V olumelementes in
stark schematisierter Form dargestellt. Die Spezies A und B dringen jeweils in
die benachbarten Bereiche vor. Im Endzustand sind die Moleküle A und B im
Volumen gleichmäßig verteilt. Der für den Stofftransport maßgebende molekulare
Transportkoeffizient von Gasen ist größer als der von Flüssigkeiten oder der von
festen Medien. Für den Transportkoeffizienten des Stoffes liegen daher gerade
umgekehrte Verhältnisse vor wie für die Transportkoeffizienten der Wärme und
des Impulses.
a)

b)

0 0 0 0 ••••
0 0 0 0 ••••
0

0

0

0 0

0 0

••••

0

••••

0 0 0 0 ••••
0 0 0 0 ••••
0 0

0

0

••••

Moleküle
;

1

ä

0 0

0

0 ••••

ooo•o•••
oo•o•o••

o•o•o•o•

ooeo•o••

ooo•o•••
0 0 0

0

••••

c)
o•o•oeo•
eoeoeoeo
oeoooeoe
eoeoeoeo
oeoeoeoe
eoeoeoeo
oeoeoeoe

-Diffusion von A o
Diffusion von 8 . -

Ausgangszustand

Endzustand

Bild 1.1. Zur Erläuterung der Molekülbewegung bei der zweiseitigen Diffusion

1.112

Der turbulente Transport

Der bisher erörterte molekulare Transport von Impuls, Energie und Stoff wird
in strömenden Medien häufig noch durch den turbulenten Transport verstärkt.
Dieser tritt dann auf, wenn die Geschwindigkeit des strömenden Mediums einen
bestimmten, kritischen Wert überschritten hat. In der Strömungstechnik ist es
üblich, diesen kritischen Wert in dimensionsloser Form mittels der kritischen
Reynolds-Zahl Rekr anzugehen. Er ist für die in der Technik üblichen Strömungshedingungen bekannt.
Der turbulente Transport erfolgt wie der molekulare auf Grund einer ungeordneten Bewegung von Fluidelementen. Beim molekularen Transport sind es einzelne
Moleküle, heim turbulenten Transport hingegen sind es große Molekülhaufen, die
man Turbulenzballen nennt. Ihre Größe hängt von der räumlichen Ausdehnung
des Strömungsfeldes ab. Ist dieses sehr klein, so ist auch das Volumen der Turbulenzballen klein. In sehr großen Strömungsfeldern treten entsprechend große
Turbulenzballen auf. In der freien Atmosphäre können sie beispielsweise so groß

22

Grundgleichungen für die Transportprozesse

sein, daß sie selbst großen Flugzeugen ihre ungeordnete Bewegung für kurze Zeit
aufzwingen.
Die Bewegung der Turbulenzballen ist mit zeitlichen Schwankungen der örtlichen
Geschwindigkeiten verbunden. Um sich hiervon eine einfache Vorstellung machen
zu können, denkt man sich den zeitlich nach Richtung und Größe schnell ändernden Geschwindigkeitsvektor als in zwei Anteile zerlegbar. Der eine ist der zeitlich
unveränderliche Vektor der mittleren Geschwindigkeit w und der andere der zeitlich veränderliche Vektor der Schwankungsgeschwindigkeit
der in Richtung
der Raumkoordinaten x, y und z die Komponenten
und w~ besitzt. In
Bild 1.2 sind als Beispiel die zeitlich unveränderliche Geschwindigkeit w mit der
überlagerten Schwankungsgeschwindigkeit
sowie deren zeitliche Änderung
dargestellt. Für einen genügend großen Zeitabschnitt ist der Mittelwert w~ der
Schwankungsgeschwindigkeit stets Null. Als Maß für die Schwankungsgeschwindigkeit benutzt man daher die Wurzel aus dem Mittelwert des Geschwindigkeits-

w',

w:, w;

w;

V

quadrats, also w~ 2, der stets größer als Null ist. Dieser Mittelwert kann in Rohrund Kanalströmungen bis zu 10% des Wertes der zeitunabhängigen Geschwindigkeit w betragen. In räumlichen Strömungen, wie sie beispielsweise in Zyklonen
für die Entstaubung oder in den Apparaten der Zerstäubungstrocknung auftreten,
sind Mittelwerte der Schwankungsgeschwindigkeit bis zu 40 oder 50% der zeitunabhängigen Geschwindigkeit möglich.,

w

Bild 1.2. Zur Erläuterung der turbulenten
Schwankungsbewegungen

Die Angaben über die Größe der Turbulenzballen und über die Größe der Schwankungsgeschwindigkeit haben bereits erkennen lassen, daß der tUrbulente Transport von Impuls, Energie und Stoff und die dafür maßgebenden turbulenten
Transport- und Ausgleichskoeffizienten sehr stark von den Eigenschaften der
Strömungsfelder abhängen. Es darf daher nicht überraschen, wenn unsere Kenntnisse über den turbulenten Transport noch sehr mangelhaft sind. V erläßliche
Aussagen liegen nur über den turbulenten Transport in sehr einfachen Strömungen, wie beispielsweise der Rohrströmung und der Grenzschichtströmung an
Platten, vor.
Durch den turbulenten Transport werden Ortswechsel diskreter V olumelemente
des Fluids erzwungen. Der Ausgleich von Unterschieden in der Verteilung des
Impulses, der Energie und einer bestimmten Stoffkomponente innerhalb eines
Strömungsfeldes kann auf Grund des turbulenten Transportes nur sehr grob sein.
Der feinere Ausgleich erfolgt durch den gleichzeitig stattfindenden molekularen

Beschreibung des turbulenten Transports

23

Transport. Der turbulente Transport verstärkt also den molekularen, indem er
vor allem für eine größere Beweglichkeit der Molekülgruppen sorgt. In stark
schematisierter Form ist der turbulente Transport in Bild 1.3 dargestellt. Nach
Einsetzen der Turbulenz löst sich das schraffierte und das nichtschraffierte V olumen in Turbulenzballen auf, wodurch es zu einer gleichmäßigen Grobverteilung
innerhalb des Elementes kommt. Die Feinverteilung kommt durch den molekularen Transport zustande.

a)

b)

c)

............
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .
.......................... ... ... . .. ... . .
......... ....... ..... ... ...... .... ... ..
................................... ............ .-.. .

.............
................................. .. ........ .. ...... .. .
.. ....... .. ..... .. ........ .
molekularer
Transport

Ausgangszustand

turbulenter und molekularer
Transport

Endzustand

Bild 1.3. Zur Erläuterung des turbulenten Stofftransportes

Unter der Wirkung des turbulenten Transportes wird sich der Austausch von
Impuls, Energie und Stoff auch in dichten Medien nicht mehr in einer Fläche
vollziehen, wie es bei rein molekularem Transport der Fall ist. Der turbulente
Transport erzwingt sehr schnell eine gleichmäßige Verteilung mehr oder weniger
großer V olumelemente mit unterschiedlichen Eigenschaften innerhalb eines größeren Kontrollvolumens. Für den gleichzeitig verlaufenden molekularen Transportprozeß steht damit eine viel größere Austauschfläche zur Verfügung als in
Abwesenheit der turbulenten Schwankungsbewegungen.
Die Verstärkung des molekularen Transportes durch den turbulenten ist um so
größer, je kleiner das Volumen der Turbulenzballen und je größer deren Zahl ist.
In vielen praktisch bedeutsamen Fällen sind die turbulenten Transport- und
Ausgleichskoeffizienten so groß, daß die molekularen im Vergleich zu ihnen vernachlässigbar klein sind.
Der turbulente Transport bewirkt, wie bereits gesagt wurde, im wesentlichen
einen Ortswechsel diskreter Volumelemente eines Fluids. Daraus folgt, daß durch
turbulente Schwankungen besonders solche Transportprozesse gefördert werden,
die auf einen Ortswechsel der Moleküle zwingend angewiesen sind. Der turbulente
Transport verstärkt daher vor allem den Stofftransport. Der Transport von
Impuls und Energie, der vornehmlich durch Zusammenstöße der Moleküle erfolgt, wird durch die turbulenten Bewegungen nur in einem geringeren Maße
verstärkt.

24

Grundgleichungen für die Transportprozesse

Bislang wurde stillschweigend angenommen, daß der turbulente Transport von
Impuls, Energie und Stoff durch den gleichen Mechanismus erfolgt. Ein strenger
Beweis für die Richtigkeit dieser Annahme ist noch nicht erbracht. Alle bisherigen Untersuchungsergebnisse lassen jedoch den Schluß zu, daß diese Annahme
zumindest als gute Näherung praktisch sinnvoll ist.

1.12

Die Impulsstromdichte

Die Impulsstromdichte wird mit -,; bezeichnet. Sie setzt sich additiv aus einem
molekularen und einem turbulenten Anteil zusammen. In laminaren Strömungen
tritt allein der molekulare Anteil auf. In turbulenten Strömungen wird der molekulare durch einen turbulenten Anteil verstärkt. Beide Anteile der Impulsstromdichte werden in diesem Abschnitt behandelt.

1.121

Die molekulare Impulsstromdichte

Für die molekulare Impulsstromdichte in laminar strömenden Medien hat
NEWTON den folgenden empirischen Ansatz eingeführt:
dw

T:m =

-ri dy •

(1.2)

Der Index m weist darauf hin, daß diese Impulsstromdichte allein durch molekularen Transport bedingt ist. Mit den Bezeichnungen von Bild 1.4 ist die molekulare Impulsstromdichte der senkrecht zur Strömungsrichtung übertragene
Impuls je Zeit- und Flächeneinheit. Die positive Richtung der Impulsstromdichte fällt mit der Richtung des Geschwindigkeitsgefälles zusammen. In der
Mechanik und Fluiddynamik wird -rm üblicherweise als Schub- oder Scherspannung bezeichnet. Die Schuhspannung ist ein Tensor. Von den neun Komponenten
tritt bei einer eindimensionalen, inkompressiblen Strömung nur die durch GI. (1.2)
gegebene auf. Sie ist die Schubspannung, deren Richtung mit der x-Koordinate
zusammenfällt und die in einer Fläche bei y = const wirkt. Das bedeutet, daß
die x-Komponente des Impulses in y-Richtung transportiert wird. Von Impulstransport und Impulsstromdichte spricht man fast ausschließlich im Zusammenhang mit den Problemen des Wärme- und Stofftransportes.

Bild 1.4. Zur Erläuterung des molekularen
Impulstransportes
Ortskoordinate y

25

Molekulare Impulsstromdichte

In GI. (1.2) bedeuten ferner dw / dy den Geschwindigkeitsgradienten und 17 den
molekularen Transportkoeffizienten des Impulses, für den sich der Name «dynamische Viskosität» eingebürgert hat. Die Einheit der dynamischen Viskosität ist
1 kg/m s. Nimmt man an, daß die Dichte (! des strömenden Fluids konstant ist,
dann läßt sich der Newtonsche Ansatz auch in der Form
i

m

=

d(we)

-v---

(1.3)

dy

schreiben. Hierin ist y = 17/e der molekulare Ausgleichskoeffizient des Impulses,
den man kinematische Viskosität nennt. Seine Einheit ist l m 2 /s. Da
den
Impuls je Volumeinheit darstellt, besagt Gl.(1.3), daß die Impulsstromdichte
proportional dem Gradienten des Impulses je Volumeinheit ist. Sowohl die kinematische als auch die dynamische Viskosität sind in isotropen Fluiden richtungsunahhängig. Laminar strömende Fluide dürfen im allgemeinen als isotrop angesehen werden.
Der molekulare Ausgleichskoeffizient y und der molekulare Transportkoeffizient 17
des Impulses sind in Tabelle 1.1 für zwei Flüssigkeiten und zwei Gase angegeben.
Beim Vergleich der Zahlenwerte für y und 17 fällt auf, daß sich die für Flüssigkeiten um etwa drei oder vier Zehnerpotenzen, die für Gase aber nur um bis zu einer
Zehnerpotenz unterscheiden. Die geringe dynamische Viskosität der Gase ist auf
deren geringe Dichte zurückzuführen, wodurch die Zahl der Moleküle und daher
auch die Zahl der Zusammenstöße, durch die allein Impuls übertragen werden
kann, klein ist. Wegen der hohen Dichte der Flüssigkeiten ist die Zahl der Molekülstöße und daher auch deren dynamische Viskosität verhältnismäßig groß.

we

Tabelle 1.1: Kinematische und dynamische Viskosität einiger Flüssigkeiten und Gase bei einem Druck von etwa 1 bar
T[°K]
Quecksilber
Wasser
Luft
Wasserstoff

300
300
300
300

v[m2 /s]
0,0112 · 10- 5
0,0681 · 10- 5
1,58 · 10- 5
11,25 · 10- 5

17[kg/m s]
151,7
85,7
1,86
0,89

. 10-s
· 10- 5
· 10- 5
· 10-5

Die Gültigkeit des Newtonschen Ansatzes ist auf laminar strömende Fluide beschränkt. Dabei spielt es keine Rolle, oh die Fluide reine Stoffe oder Stoffgemische sind, wenn die Bedingung vollkommener Mischbarkeit erfüllt ist. Bei
Stoffgemischen müssen alle Komponenten den gleichen Aggregatzustand aufweisen. Sie müssen entweder alle in gasförmiger oder alle in flüssiger Form vorliegen. Das heißt auch, daß die Gleichungen (1.2) und (1.3) nur für einphasige
Systeme gelten. Unter diesen Bedingungen kann GI. (1.2) auch als Definitionsgleichung für die dynamische Viskosität 17 angesehen werden. Aus zusammengehörigen Meßwerten für Geschwindigkeitsgradient und Schuhspannung läßt sich

26

Grundgleichungen für die Transportprozesse

die dynamische Viskosität mittels GI. (1.2) bestimmen. Sie ist im allgemeinen
eine Funktion der Temperatur und des Druckes.
Ein Nachweis für die Richtigkeit des Newtonschen Ansatzes läßt sich nur auf
experimentellem Wege erbringen. Ein streng theoretischer Beweis ist nicht möglich. Alle vorliegenden Versuchsergebnisse weisen daraufhin, daß der Newtonsche
Ansatz zur Berechnung der Schubspannung für bestimmte Fluide richtige Ergebnisse liefert. Damit ist die «praktische Brauchbarkeit» des Newtonschen Ansatzes bewiesen.
Aus GI. (1.2) ergeben sich einige Schlußfolgerungen, die für die Strömung vieler
fluider Medien von grundsätzlicher Bedeutung sind:
1. Eine auch noch so kleine Schubspannung leitet eine Bewegung ein.
2. Die Schubspannung ist eine lineare Funktion des Geschwindigkeitsgradienten.
3. Für dw / dy = 0 ist auch rm = 0, unabhängig davon, wie groß die
dynamische Viskosität ist. In ruhenden Medien können daher auch keine
Schuhspannungen (Impulsstromdichten) auftreten.
4. Die dynamische Viskosität 17 ist unabhängig von der Schuhspannung.
Diejenigen Fluide, die diese Bedingungen erfüllen, werden Newtonsche Fluide
genannt; denn ihre Bewegung wird durch den Newtonschen Ansatz für die
Impulsstromdichte beschrieben. Als Beispiele für Newtonsche Fluide seien erwähnt: alle Gase, die anorganischen Flüssigkeiten sowie eine ganze Reihe der
organischen Flüssigkeiten, deren dynamische Viskosität nicht zu groß ist.
Flüssigkeiten, die dem Newtonschen Schuhspannungsansatz nicht gehorchen,
nennt man nicht-Newtonsche Flüssigkeiten. Hierfür gelten andere Schubspannungsansätze. In ihnen wird in unterschiedlichen Formen zum Ausdruck gebracht, daß die dynamische Viskosität eine Funktion der Schubspannung ist. Die
Schuhspannung hängt daher auch nicht mehr linear vom Geschwindigkeitsgradienten ab. Darüber hinaus kann in nicht-Newtonschen Stoffen auch der Fall
auftreten, daß eine kleine Schuhspannung noch keine Bewegung erzwingt. Aus
diesem Grunde können also auch in ruhenden Stoffen Schubspannungen auftreten. Damit sind alle vier für Newtonsche Fluide charakteristische Bedingungen
nicht erfüllt.
Für nicht-Newtonsche Fluide gibt es keinen einheitlichen Schubspannungsansatz.
Die bisherigen Forschungsarbeiten über das Fließen dieser Stoffe hat zu einer
Vielzahl von empirischen Schubspannungsansätzen geführt, die man auch Fließgesetze nennt. Sie gelten häufig für Gruppen chemisch verwandter Stoffe. Zu den
nicht-Newtonschen Flüssigkeiten zählen z.B. Farben und Lacke, fast alle fließfähigen Lebens- und Genußmittel, Teer, Bitumen, Schlämme und die Mehrzahl
der Kunststoffschmelzen. Auf das Verhalten nicht-Newtonscher Fluide soll in
diesem Buch nicht weiter eingegangen werden. Es ist in folgenden Büchern behandelt [1.9 bis 1.15].

Turbulente Impulsstromdichte

1.122

27

Die molekulare und turbulente Impulsstromdichte

Ist die Strömung des betrachteten Mediums nicht mehr laminar, dann wird der
durch die ungeordnete thermische Molekularbewegung bedingte molekulare
Impulstransport durch den turbulenten verstärkt. Dieser wird durch die ungeordnete Schwankungsbewegung der Geschwindigkeit im turbulenten Strömungsfeld verursacht. Gemäß Bild 1.5 soll der turbulente Impulsaustausch zwischen den beiden Fluidschichten 1 und 2 betrachtet werden. Die Schicht 1 hat
momentan die Geschwindigkeit wx w:, wobei wx der zeitunabhängige Mittelwert der Geschwindigkeit und
die zeitlich veränderliche Schwankungskomponente ist. Die Schicht 2 hat die Geschwindigkeit wx. Dann wird ein Fluidelement mit der quer zur Hauptbewegung gerichteten Schwankungsgeschwindigkeit w~ von Schicht 1 nach Schicht 2 transportiert, so daß die je Zeit- und Flächeneinheit in die Schicht 2 übertretende Masse durch ew~ gegeben ist. Da im Vergleich zur Schicht 2 die aus der Schicht 1 kommenden
w,
Fluidelemente die in y-Richtung um
größere Geschwindigkeit haben, ist die von 1 nach 2 gerichtete
~
~
Impulsstromdichte durch die Beziehung

w:

+

w:

,,.,

(1.4)

1

t~
y

2

Bild 1.5
Zur Erläuterung des turbulenten Impulstransportes

gegeben. Die durch die turbulenten Schwankungsbewegungen hervorgerufenen
Schubspannungen werden auch Reynoldssche Spannungen genannt, da REYNOLDS
sie bei seinen Untersuchungen über die turbulente Strömung bereits zu deren Beschreibung verwendete [1.16]. Die Reynoldsschen Spannungen sind zeitlich sehr
stark veränderlich. Man bildet daher den zeitlichen Mittelwert:
(1.5)
Diese Schubspannung wird auch durch den Ansatz
(1.6)
wiedergegeben. Der Index t kennzeichnet die Schubspannung bzw. Impulsstromdichte als von den turbulenten Schwankungsbewegungen herrührend. Mit Sr wird
der turbulente Ausgleichskoeffizient des Impulses bezeichnet. Der turbulente
Transportkoeffizient des Impulses ist somit esr. Die Einheit von ST ist 1 m 2 /s, die
mit derjenigen der kinematischen Viskosität übereinstimmt. Der Ausgleichskoeffizient Sr ist richtungsabhängig, da die Turbulenz im allgemeinen nicht isotrop
ist. Das kommt auch dadurch zum Ausdruck, daß die Komponenten der Schwan-

28

Grundgleichungen für die Transportprozesse

kungsgeschwindigkeit nicht gleich sind. In einem von festen Wänden begrenzten
Strömungsfeld ist die Isotropie in Wandnähe am wenigsten und in großem Wandabstand mit guter Näherung erfüllt. Der turbulente Transportkoeffizient ist erstmalig von BoussINESQ [1.17] eingeführt worden.
Die turbulenten Schwankungsgeschwindigkeiten sind den zeitlich unveränderlichen mittleren Geschwindigkeiten proportional. Damit zeigt Gl. (1.5 ), daß die
turbulente Impulsstromdichte dem Quadrat der zeitlich gemittelten örtlichen
Geschwindigkeit proportional ist. Demgegenüber ist der molekulare Impulstransport eine lineare Funktion der örtlichen Geschwindigkeit. Diese unterschiedlichen Abhängigkeiten sind für die Beurteilung des Impulstransportes in turbulenten Strömungsfeldern von grundlegender Bedeutung.
Der turbulente Transportkoeffizient des Impulses ist, wie bei seiner Berechnung
in einem späteren Abschnitt noch gezeigt wird, eine Funktion der Geschwindigkeit des Fluids. In dieser Beziehung 'unterscheidet er sich also in grundlegender
Weise von dem molekularen Transportkoeffizienten. Es ist daher auch nicht möglich, bei der turbulenten Strömung so klar zwischen Newtonschen und nichtN ewtonschen Fluiden zu unterscheiden, wie man es bei der laminaren Strömung
kann. Unter technischen Gesichtspunkten ist das aber auch nicht sehr bedeutsam, da die Strömung nicht-Newtonscher Medien wegen ihrer großen Viskosität
schon aus wirtschaftlichen Gründen vornehmlich im laminaren Bereich erfolgt.
In einem turbulenten Strömungsfeld wird der Impuls durch die ungeordneten
molekularen und turbulenten Bewegungen transportiert. Die insgesamt auftretende Impulsstromdichte ist daher
(1.7)
Bei sehr großen Geschwindigkeiten ist der turbulente Anteil des Impulstransportes sehr viel größer als der molekulare. In diesem Falle darf also 11 im Vergleich
zu eT vernachlässigt werden.
Hingewiesen sei abschließend auf den Sonderfall des Impulstransportes in unmittelbarer Wandnähe. Da an der Wand selber das Fluid haftet und seine Geschwindigkeit w = 0 ist, sind die Geschwindigkeiten in Wandnähe noch sehr
klein. Der Impulstransport ist dann, wie aus Überlegungen in Zusammenhang
mit den Gleichungen (1.5) und (1.6) hervorgeht, mit genügender Genauigkeit
gleich dem molekularen Anteil. Die turbulente Impulsstromdichte, die sich mit
dem Quadrat der Geschwindigkeit ändert, klingt in Richtung zur Wand sehr
schnell ab und ist daher im Vergleich zur molekularen Impulsstromdichte in
unmittelbarer Wandnähe vernachlässigbar. Unmittelbar an der Wand gilt daher
für die Impulsstromdichte immer die Beziehung
(1.8)

unabhängig davon, oh die Strömung laminar oder turbulent ist.

Molekulare Energiestromdichte

1.13

29

Die Energiestromdichte

Die Energiestromdichte wird mit <j bezeichnet. Sie setzt sich wie die Impulsstromdichte additiv aus einem molekularen und einem turbulenten Anteil zusammen.
In festen und ruhenden fluiden Stoffen sowie in laminar strömenden Medien tritt
allein der molekulare Anteil auf. In turbulenten Strömungen wird der molekulare
Anteil durch einen turbulenten verstärkt. Auf beide Anteile wird im folgenden
eingegangen.
1.131

Die molekulare Energiestromdichte

Bezeichnet man mit Q die Energie, deren Einheit 1 Joule (1 J) ist, dann ist die
im Zeitabschnitt LI t durch ein System hindurchtretende Energie

Q = !l_
LI t

(1-J.

(1.9)

s

Sie wird Energiestrom genannt. Bezieht man die Energie auf die Fläche A, so
ist Q/A die Energiedichte und

. = Q/A
Llt

q

[-J]

(1.10)

m2 s

die Energeistromdichte. In Zusammenhang mit den betrachteten Transportvorgängen ist die Wärme eine besonders bedeutsame Energieform, die heim Überschreiten einer Systemgrenze auftritt. Aus diesem Grunde wird insbesondere im
deutschen Schrifttum auch fast ausschließlich von der Wärmestromdichte gesprochen. Die für den Wärmetransport geltenden Gesetze stimmen formal aber
auch mit dem Transport innerer Energie überein. Um nicht stets beide Fälle
erwähnen zu müssen, wird im folgenden vornehmlich vom Energietransport
gesprochen.
Für die molekulare Energiestromdichte <im, die in festen und ruhenden fluiden
Stoffen sowie in laminar strömenden Medien auftritt, hat FOURIER den folgenden
empirischen Ansatz gemacht:

<j
m

= -A.

dT.
dy

(1.11)

Hierin bedeuten T die örtlich auftretende Temperatur, y die Ortskoordinate und

Aden molekularen Transportkoeffizienten der Energie, für den Bezeichnungen wie
Wärmeleitfähigkeit oder auch Wärmeleitkoeffizient üblich sind. Seine Einheit
läßt sich wie folgt ausdrücken:
1 Nm/s = 1 kgm2/s3 = 1 __]};_ = 1 ~ •

m°K

m°K

m°K

m°K

Hierin ist die Einheit des Energiestromes durch 1 N m/s (N für Newton), durch
1 kg m 2 /s 3 (die Krafteinheit 1 N wurde durch 1 kg m/s 2 ersetzt), durch 1 J/s (J für
Joule) und durch 1 W (W für Watt) ausgedrückt worden. Im älteren Schrifttum,

30

Grundgleichungen für die Transportprozesse

in Handbüchern und in Tabellenwerken wird für den Energiestrom häufig noch
die Einheit 1 kcal/h verwendet. Die Umrechnung erfolgt mit 1 kcal = 4186,80 J
und 1 h = 3600 s durch 1kcal/h=1,16300 J/s = 1,16300 W.
Das auf der rechten Seite von Gl.(1.11) auftretende Vorzeichen ist so gewählt,
daß der in Richtung des Temperaturgradienten d T / d y auftretende Energiestrom
positiv ist. Die Energiestromdichte ist der Energiestrom, der auf die Fläche bezogen ist, durch die er senkrecht gerichtet hindurchtritt. Die Einheit der Wärmestromdichte ist 1J/m2 s=1 W/m2 •
Mit der Annahme, daß die Dichte und die spezifische Wärmekapazität cP des
Stoffes, in dem die Energie transportiert wird, konstant sind, erhält der Fouriersche Ansatz die Form:

e

.

qm= -a

d(Tecp)
dy

(1.12)

.

Hierin ist
a=

(1.13)
(.!Cp

der molekulare Ausgleichskoeffizient der Energie. Er wird Temperaturleitkoeffizient genannt und hat die Einheit 1 m 2 /s. Der Gradient d (Te cp) I dy stellt die
Änderung der Energie je Volumeinheit in Richtung der Ortskoordinate y dar.
Mit der Enthalpie h = h 0 + T cP st~llt der Gradient d ((! h) / d y die Änderung der
Enthalpie je Volumeinheit dar. In der Schreibweise der Gl.(1.12) hat der ursprüngliche Ansatz von FOURIER eine etwas allgemeinere Bedeutung erhalten.
Die Energiestromdichte ist ein Vektor, deren Komponenten 'imx' 'imy und 'imz
sind. In der Form der Gl.(1.11) bzw. (1.12) ist die Energiestromdichte für einen
eindimensionalen molekularen Energietransport angegeben, dessen Richtung mit
der y-Koordinate zusammenfällt.
Für den molekularen Ausgleichskoeffizienten und den molekularen Transportkoeffizienten der Energie sind in Tabelle 1.2 einige Zahlenangaben zusammengestellt, die für sehr unterschiedliche Stoffe gelten.
Tabelle 1.2: Temperaturleit- und Wärmeleitkoeffizienten für einige Stoffe
T[°K)
Wasser
Quarzglas
Quecksilber
Stahl
Luft
Wasserstoff

300
300
300
300
300
300

a[m2/s]

0,14 · 10-s
0,83. 10- 6
4,33. 10- 6
14,10 · 10-s
22,20. 10- 6
166,73. 10- 6

i\[J/ms°K)

0,607
1,40
8,14
52,0
0,0262
0,187

Der molekulare Ausgleichskoeffizient a, der Temperaturleitkoeffizient genannt
wird, ist ein Maß für die Geschwindigkeit, mit der sich die Energie innerhalb

Molekulare Energiestromdichte

31

eines bestimmten Volumens ausbreitet. Ist a groß, dann stellt sich innerhalb des
Volumens anjedem Orte nach sehr kurzer Zeit die gleiche Temperatur ein. Dieser
instationäre Ausgleichsprozeß verläuft in Luft und Wasserstoff viel schneller als
in Wasser, Quarzglas, Quecksilber und Stahl. Zurückzuführen ist das darauf, daß
Moleküle mit höherer Energie in einem Volumen, welches von einem Medium
mit geringer Dichte erfüllt ist, wesentlich beweglicher sind als in einem Medium
mit großer Dichte. In einem Medium mit geringer Dichte ist die Zahl der Moleküle verhältnismäßig gering. Die Folge ist, daß auch die Zahl der Zusammenstöße gering ist, durch die die Beweglichkeit der Moleküle und somit auch der
Ausgleichsprozeß stark behindert wird.
Der Wärmeleitkoeffizient ist ein Maß für die Größe des Energiestromes, der bei
gegebener Temperaturdifferenz durch eine Stoffschicht bestimmter Dicke hindurchtritt. Hierzu folgt aus Tabelle 1.2, daß der durch Luft und Wasserstoff
hindurchtretende Wärmestrom viel kleiner ist als der durch Wasser, Quarzglas,
Quecksilber und Stahl hindurchtretende. Die beiden Gase eignen sich also sehr
gut als Isolierstoffe. Diese Eigenschaft der Gase ist natürlich auf ihre geringe
Dichte, also auf die geringe Zahl der Moleküle in einem V olumelement, zurückzuführen.
Bemerkenswert ist ferner, daß Stoffe mit niedrigen Wärmeleitkoeffizienten einen
großen Temperaturleitkoeffizienten aufweisen. Auf diesen Zusammenhang ist bereits bei der qualitativen Beschreibung der Transportvorgänge in Abschnitt 1.11
hingewiesen worden. Sowohl der Wärmeleit- als auch der Temperaturleitkoeffizient sind in isotropen Medien richtungsunabhängig.
Die Gültigkeit des Fourierschen Ansatzes für die Energiestromdichte ist, wie
bereits erwähnt, auf den Energietransport in festen und ruhenden fluiden Stoffen
sowie in laminar strömenden Medien beschränkt. Bei festen Stoffen darf es sich
um reine Stoffe und um Gemische handeln. Beim Energietransport in ruhenden
und laminar strömenden fluiden Stoffen muß es sich jedoch um reine Stoffe
handeln, wenn der Ansatz von FOURIER in aller Strenge anwendbar sein soll.
Der Energietransport in Gas- oder Flüssigkeitsgemischen muß deshalb ausgeschlossen werden, weil er einen Diffusionsstrom und damit eine Entmischung erzwingt, wodurch neben der Fourierschen Energieströmung noch weitere hervorgerufen werden. Hierauf wird im Zusammenhang mit der vollständigen Transportgleichung in einem späteren Abschnitt noch eingegangen. Berücksichtigt man diese
Bedingungen, dann läßt sich Gl. (1.11) auch als Definitionsgleichung für den
Wärmeleitkoeffizienten A. ansehen. Aus zusammengehörigen Werten für den Temperaturgradienten und die Energiestromdichte läßt sich der Wärmeleitkoeffizient
mittels Gl. (1.11) bestimmen. Er ist im allgemeinen eine Funktion der Temperatur
und des Druckes.
Ein Nachweis für die Gültigkeit des Fourierschen Ansatzes läßt sich nur auf
experimentellem Wege erbringen. Ein streng theoretischer Beweis ist nicht möglich. Alle bislang gewonnenen Ergebnisse von V ersuchen, die unter Beachtung
der oben erörterten Bedingungen durchgeführt wurden, weisen darauf hin, daß
der Fouriersche Ansatz zur Berechnung der Energieströmung richtige Ergebnisse

32

Grundgleichungen für die Transportprozesse

liefert. Dadurch wird also die «praktische Brauchbarkeit» des Fourierschen Ansatzes bewiesen.
Aus den Gleichungen (1.11) und (1.12) ergeben sich für den Wärmetransport einige
wichtige Schlußfolgerungen:
1. Eine auch noch so kleine Wärmeströmung erzwingt einen Temperaturgradienten.
2. Die Wärmestromdichte ist eine lineare Funktion des Temperaturgradienten.
3. Für dT / dy = 0 ist auch qm = 0, unabhängig davon, wie groß der
Wärmeleitkoeffizient ist. Das betrachtete System befindet sich im isothermen Zustand.
4. Der Wärmeleitkoeffizient ist unabhängig von der Wärmestromdichte.
In Zusammenhang mit der Impulsstromdichte wurde von Newtonschen und nichtNewtonschen Stoffen gesprochen. An dieser Stelle ist daher die Frage gerechtfertigt, ob in bezug auf den Wärmetransport die Stoffe ebenfalls in zwei große
Gruppen, nämlich die Fourierschen und die nicht-Fourierschen, unterteilt werden
müssen. Für den molekularen Wärmetransport in festen und ruhenden fluiden
Stoffen mit nicht-Fourierschem Verhalten wäre für den Wärmetransportkoeffizienten ein Ansatz in der Form

A =J(qm} bzw. A =f(dT/dy)
denkbar. Für den Energietransport in strömenden Medien müßte dieser Ansatz
noch erweitert werden, damit ein zusätzlicher Einfluß des Impulstransportes zum
Ausdruck kommt. Dieser erweiterte Ansatz könnte also die Form

A =J(qm; 'Tm} bzw. A =J(dT/dy; dw/dy}
haben. Solche Abhängigkeiten sind noch nicht beobachtet worden. Es muß aber
auch betont werden, daß man nicht danach gesucht hat. Die bislang üblichen
experimentellen Untersuchungsmethoden sind darüber hinaus auch kaum geeignet, nicht-Fouriersche Stoffe zu finden.

1.132

Die molekulare und turbulente Energiestromdichte

Nur in einem turbulenten Strömungsfeld wird die molekulare durch eine turbulente Energiestromdichte verstärkt. Für den turbulenten Energietransport wird
der gleiche Mechanismus angenommen, der für den Impulstransport in Abschnitt
1.122 ausführlich besprochen wurde. Aus diesem Grunde gilt für den turbulenten
Energietransport die dem Impulstransport analoge Gleichung:
(1.14)

Der Index t weist auf den Turbulenzmechanismus als Ursache des Energietransportes hin. Mit eq wird der turbulente Ausgleichskoeffizient der Energie be-

Turbulente Energietransporte

33

zeichnet. Er hat die Einheit 1 m 2 /s, die mit der für den Temperaturleitkoeffizienten a übereinstimmt. Der turbulente Transportkoeffizient der Energie ist nach
Gl.(1.14) durch ecpBq gegeben.
Der turbulente Ausgleichskoeffizient Bq darf im allgemeinen nicht als richtungsunahhängig angesehen werden, wenn die Turbulenz nicht isotrop ist. In einem
von festen Wänden begrenzten nichtisothermen Strömungsfeld ist die Bedingung
der Isotropie in Wandnähe am wenigsten und in großem Abstand von der Wand
am ehesten erfüllt.
Da der turbulente Energie- und Impulstransport durch den gleichen Mechanismus
hervorgerufen werden, gelten einige der Aussagen, die für den Impulstransport
bereits erörtert wurden, auch unmittelbar für den Wärmetransport. Danach
ändert sich die turbulente Energiestromdichte mit dem Quadrat der örtlichen
Geschwindigkeit. Im Bereich hoher Geschwindigkeiten ist der turbulente Energietransport daher sehr viel größer und im Bereich sehr niedriger Geschwindigkeiten
sehr viel kleiner als der molekulare.
Die in einem turbulenten Strömungsfeld auftretende Energiestromdichte ist durch

. . +.q, = -e cP (a + ) dy
dT

q =qm

Bq

(1.15)

gegeben. Im Bereich hoher Geschwindigkeiten eines turbulenten Feldes darf im
allgemeinen a im Vergleich zu Bq vernachlässigt werden. Im Bereich sehr kleiner
Geschwindigkeiten, die im turbulenten Feld in unmittelbarer Nähe einer festen
Wand auftreten, ist hingegen Bq gegenüber a vernachlässigbar. Für die Berechnung der an der W andoherfläche auftretenden Energiestromdichte gilt daher
immer:

.

qw

=

-e cP a

(dT)w
dy

=

-A

,dT t.
(ay

(1.16)

Diese Beziehung ist unabhängig davon, oh die Strömung laminar oder turbulent
ist. Sie gilt im übrigen aber auch für den Energietransport in einem festen Stoff.

1.133

Verhältnis aus Impuls- und Energiestromdichte

In einem strömenden Medium ist der Energietransport stets mit einem Impulstransport gekoppelt. Einen ersten Einblick in die bei der Kopplung vorliegenden
Bedingungen erhält man aus dem Verhältnis von Impuls- und Energiestromdichte. Bei molekularem Transport ergibt sich mit den Gleichungen (1.3) und
(1.12) für das Verhältnis die Beziehung:
v
a

d(we)/dy
d(Tecp)/dy •

(1.17)

Hierin ist das aus den beiden molekularen Ausgleichskoeffizienten für Impuls und
Energie gebildete Verhältnis v/a eine dimensionslose Größe. Sie wird PrandtlZahl genannt und mit Pr bezeichnet:
(1.18)

34

Grundgleichungen für die Transportprozesse

Damit· läßt sich das Verhältnis der molekularen Transportströme auch in der
Form
~=Pr d(we)/dy
(1.19)
tim
d(Tecp)/dy
schreiben .. Hiernach ist das Verhältnis aus den molekularen Transportströmen
des Impulses und der Energie proportional dem Verhältnis aus den Gradienten
des Impulses je Volumeinheit und dem Gradienten der Energie je Volumeinheit.
Die Proportionalitätskonstante ist die Prandtl-Zahl. In einfacherer Form läßt
sich auch sagen, daß die Prandtl-Zahl das Geschwindigkeitsfeld mit dem Temperaturfeld verbindet. Für Gase hat die Prandtl-Zahl etwa den Wert 1, so daß
dann mit guter Näherung das Verhältnis der molekularen Transportströme gleich
dem Verhältnis der genannten Gradienten ist.
Führt man die gleichen Betrachtungen für die turbulenten Transportströme
durch, dann erhält man mit den Gleichungen (1.6) und (1.14) die Beziehung:
5._

q1

=Pr


'

d(wl!)/dy
d(Tecp)/dy

{1.20)

Mit Pr1 wird die «turbulente» Prandtl-Zahl bezeichnet. Sie ist durch
(1.21)
definiert und stellt das Verhältnis der turbulenten Ausgleichskoeffizienten des
Impulses und der Energie dar.
In Analogie zur «turbulenten» Prandtl-Zahl Pr, müßte Pr «molekulare PrandtlZahl» genannt und mit Prm bezeichnet werden. Von dieser Bezeichnung wird
jedoch nur selten Gebrauch gemacht. Ist dahe~ in diesem Buch die Prandtl-Zahl
nicht näher durch einen Index gekennzeichnet, dann handelt es sich immer um
die «molekulare» gemäß GI. (1.18).
1.14

Die Stoffstromdichte in binären Gemischen

Die Stoffstromdichte wird mit m bezeichnet. Wie die Impuls- und Energiestromdichte setzt sich auch die Stoffstromdichte additiv aus einem molekularen und
einem turbulenten Anteil zusammen. In festen und ruhenden fluiden Stoffen sowie in laminar strömenden Medien tritt allein der molekulare Transportanteil auf.
In turbulenten Strömungen wird der molekulare Anteil durch einen turbulenten
verstärkt. Den Stofftransport durch molekulare und turbulente Bewegungen
nennt man Diffusion.
Die Diffusion findet stets in einem Gemisch statt, das mindestens aus zwei Komponenten besteht, die mit A und B bezeichnet werden sollen. Die Komponenten
unterscheiden sich durch ihre Dichten A und eB. Betrachtet man ein abgeschlossenes System, in dem zu einem bestimmten Zeitpunkt für die Komponente A
örtliche Dichteunterschiede bestehen, dann werden diese durch molekulare Diffusion ausgeglichen. Es tritt eine Diffusionsstromdichte mA auf, die die Rich-

e

Stoffstrom und Stoffstromdichte

35

tung des Dichtegradienten hat. Aus Kontinuitätsgründen muß der Diffusionsstromdichte mA der Komponente A eine Diffusionsstromdichte mB der Komponente B entgegengerichtet sein. Man spricht daher von einer zweiseitigen Diffusion. Stimmen die Zahl der sich in entgegengesetzten Richtungen bewegenden
Moleküle und deren Molmassen überein, dann handelt es sich um eine äquimolare
Diffusion. Im allgemeinen ist die Diffusion jedoch nichtäquimolar. _Damit ist
insbesondere dann zu rechnen, wenn die Diffusion mit einem chemischen Umwandlungsprozeß verbunden ist. Ein Sonderfall der nichtäquimolaren Diffusion
ist die einseitige Diffusion. Auf diese besonderen Formen der Diffusion wird im
folgenden eingegangen. Um möglichst einfache Gleichungen zu erhalten, wird zunächst nur die Diffusion in binären Gemischen behandelt.
Die Diffusion findet immer nur innerhalb einer einzigen Phase statt, also beispielsweise in einem Gas oder in einer Flüssigkeit. (Nach GrnBs versteht man
unter einer Phase einen homogenen Teil eines Systems, der sich in einer oder in
mehreren Eigenschaften von anderen Teilen des Systems unterscheidet, obwohl
thermodynamisches Gleichgewicht zwischen allen Teilen des Systems besteht.1,
Nach dieser Definition ist innerhalb einer einzelnen Phase keine Diffusion mög~
lieh, da sie ein Ungleichgewicht voraussetzt, das durch Diffusion gerade beseitigt
werden soll. Aus diesem Grunde ist es zweckmäßig, einen erweiterten Phasenbegriff zu verwenden, der auch in der Metallkunde üblich ist. Danach wird unter
einer Phase ein Bereich von Zusammensetzungen verstanden, den man durch
kontinuierliche Änderung der Zusammensetzung erreichen kann, ohne daß dabei
Umwandlungen irgendeiner Art auftreten. Innerhalb einer so definierten Phase
kann ein Dichteunterschied bestehen, der durch Diffusion ausgeglichen wird.

1.141

Die molekulare Stoffstromdichte

1.1411

Definitionen und Bezeichnungen

Bezeichnet man mit M die in Kilogramm (kg) gemessene gesamte Stoffmenge
eines Gemisches, mit MA, MB usw. die Stoffmengen der einzelnen Komponenten,
so ist die im Zeitabschnitt A t durch ein offenes System hindurchtretende Stoffmenge der Komponente A der Stoffmengenstrom MA, abgekürzt Stoffstrom
genannt:
MA= MA [~].
(1.22)
LI t
s
Bezieht man den Stoffstrom auf die Fläche A, durch die er in senkrechter Richtung hindurchtritt, dann erhält man die Stoffstromdichte:

m
A

:= MAfA [

Llt

~~]

m2 s

.

(1.23)

Beim Stofftransport treten, wie bereits erwähnt, der äquimolare und der nichtäquimolare Fall auf. Die nichtäquimolare Diffusion ist die allgemeinste Form
einer Diffusion, die auf Grund eines Konzentrationsgradienten stattfinden kann.

36

Grundgleichungen für die Transportprozesse

Da es noch weitere Ursachen für eine Diffusion gibt, sollen die durch einen Konzentrationsgradienten ausgelösten den Zeiger (K) erhalten. Ist die Diffusion nichtäquimolar, dann erhalten die dafür maßgebenden Größen den Buchstaben N als
zusätzliches Kennzeichen, so daß der Zeiger (KN) ist. Ein Sonderfall der nichtäquimolaren Diffusion ist die einseitige. Da sie von STEFAN näher untersucht
und beschrieben wurde, wird für sie der Zeiger (KS) zur Kennzeichnung verwendet. Ebenfalls als Sonderfall der nichtäquimolaren Diffusion läßt sich auch die
äquimolare ansehen. Sie wird nach FICK benannt und erhält den Zeiger (KF) als
Kennzeichen. Die von FICK durchgeführten grundlegenden Untersuchungen zur
Diffusion betrafen den nichtäquimolaren, also den ganz allgemeinen Fall. Von
besonders großer Bedeutung ist hiervon der äquimolare Fall, der für praktische
Rechnungen auch am häufigsten zugrunde gelegt wird. Daher wird die äquimolare Diffusion häufig Ficksehe Diffusion und die hierfür aus dem allgemeinen
Ansatz für die nichtäquimolare Diffusion folgende spezielle Form auch Fickseher
Ansatz genannt. Diese Gepflogenheit wird auch hier übernommen. Der Ficksehe
Beitrag zur Beschreibung der Diffusion soll dadurch aber nicht eingeengt werden.
Nach diesen Vereinbarungen treten folgende Stoffstromdichten auf:
1.

m<fNJ ist

die allgemeine Stoff- oder Diffusionsstromdichte, die sich bei nichtäquimolarer Diffusion auf Grund eines Konzentrationsgradienten ergibt.
Das hierfür gültige Gesetz wurde von FICK aufgestellt.
2. m<f5l ist die Stoff- oder Diffusionsstromdichte, die sich in dem Sonderfall der
einseitigen Diffusion auf Grund eines Konzentrationsgradienten ergibt.
Sie wird nach STEFAN auch Stefansche Stoff- oder Diffusionsstromdichte
genannt. Die einseitige Diffusion darf dementsprechend auch Stefansche
Diffusion genannt werden.
3. m<f Fl ist die Stoff- oder Diffusionsstromdichte, die sich bei äquimolarer Diffusion auf Grund eines Konzentrationsgradienten ergibt. Sie wird nach
FICK auch Ficksehe Stoff- oder Diffusionsstromdichte genannt. Demgemäß bezeichnet man die äquimolare Diffusion auch als Ficksehe
Diffusion.
Bei Bedarf werden noch weitere Indizes zur Kennzeichnung besonderer Fälle
hinzugefügt. Unbedingt notwendig ist das zur Kennzeichnung des molekularen
und turbulenten Transportes. Hierfür werden die Indizes m und t zusätzlich verwendet. Um die dadurch wachsende Gefahr, durch zu viele Zeiger und Indizes zu
verwirren, wieder zu verringern, sollen die Zeiger nur bei wichtigen Gleichungen
verwendet werden oder wenn andernfalls Irrtümer unvermeidbar sind. Bei der
praktischen Anwendung der hier entwickelten Gleichungen können die Indizes
und Zeiger in den meisten Fällen alle fortgelassen werden, ohne daß die Klarheit
der Aussagen leiden muß.
Da von den drei speziellen Formen der Diffusion auf Grund eines Konzentrationsgefälles die äquimolare die einfachste ist, wird sie als erste behandelt.

37

Ficksehe Diffusion

1.1412

Die äquimolare Diffusion

Bei der äquimolaren Diffusion in Zweistoffgemischen treten zwei Stoffströme mit
entgegengesetzten Richtungen auf. Da zunächst der molekulare Transport betrachtet wird, wird die nach FICK benannte Stoffstromdichte mit
bezeichnet. Sie kann in festen und ruhenden fluiden Stoffen sowie in laminar strömenden
Medien auftreten: Aus dem von FICK für den allgemeinen Fall der nichtäquimolaren Diffusion angegebenen Ansatz folgt für den speziellen Fall der äquimolaren Diffusion unter Berücksichtigung einer konstanten Dichte (} des Gemisches die Beziehung:

m<f::>

·(KF) _
mAm -

-

D

AB

deA
dy •

(1.24)

Darin bedeuten f!A die örtliche Dichte der Komponente A, y die Ortskoordinate
und D AB den molekularen Transportkoeffizienten des Stoffes, der Diffusionskoeffizient genannt wird. Seine Einheit ist 1 m 2 /s, die mit derjenigen der kinematischen Viskosität 11 und derjenigen des Temperaturleitkoeffizienten a übereinstimmt. Der Diffusionskoeffizient ist in isotropen Medien richtungsunahhängig.
Tabelle 1.3: Diffusionskoeffizienten für C0 2 in Wasser und in Luft

Wasser
Luft

T[°K]

Dco,[m21_s]

300
300

1,96 -10- 0
1,66 · 10- 5

Aus der Einheit des Diffusionskoeffizienten geht bereits hervor, daß bei der Diffusion Transport- und Ausgleichskoeffizient identisch sind. Dies ist darauf zurückzuführen, daß Diffusion allein auf Grund von Ortsänderungen der Moleküle
der betrachteten Komponente möglich ist. In Tabelle 1.3 sind die Diffusionskoeffizienten für die Diffusion von C0 2 in Wasser und in Luft angegeben. Es
zeigt sich, daß der Transportkoeffizient bei Diffusion in Luft erheblich größer ist
als bei Diffusion in Wasser. Während der Impuls- und Energietransport in Medien
mit großer Dichte besser ist als in Medien mit geringer Dichte, ist es bei der
Diffusion gerade umgekehrt.
Der Doppelindex AB des Diffusionskoeffizienten deutet an, daß die Diffusion
der Komponente A in einem aus den Komponenten A und B bestehenden binären
Gemisch betrachtet wird. Die dabei auftretende molekulare Stoffstromdichte Th Am
hat die Einheit einer Massenstromdichte 1 kg/(m2 s).
Die Stoffstromdichte ist ein Vektor mit den Komponenten Th Amx• Th Amy und Th Amc.
In der Form der GI. (1.24) ist die Stoffstromdichte für den eindimensionalen Fall
angegeben, wobei die Richtung des Stoffstromes mit der y-Achse zusammenfällt.
Der Stoffstromdichte der Komponente A ist· die Stoffstromdichte der Komponente B entgegengerichtet:

38

Grundgleichungen für die Transportprozesse

• (KF) _
mBm -

D

-

BA

deB

dy-,

(1.25)

Mit DBA wird der Diffusionskoeffizient der Komponente B in dem aus den Komponenten A und B bestehenden Gemisch bezeichnet. Bei äquimolarer Diffusion
ist mBm gleich - mAm' Der Zeiger (KF) wird weiterhin nur noch bei den wichtigsten Gleichungen verwendet.
Da Stofftransportprozesse häufig mit chemischen Umwandlungsprozessen verbunden sind, kann es zweckmäßig sein, als Maß für die Menge eines Stoffes nicht
die Masse M mit der Einheit 1 kg, sondern die Molmenge N mit der Einheit 1 kmol
zu verwenden. Die Molmenge 1 kmol gibt die Masse von NL Molekülen eines
chemisch einheitlichen Stoffes an. NL ist eine universelle Naturkonstante, die
man Loschmidt-Konstante nennt. Sie ist für alle Stoffe gleich groß:

NL= (6,02309±0,0002)·1026 [l/kmol].
Zwischen der Masse M und der Molmenge N besteht der Zusammenhang:

M=µN.

(1.26)

Hierin ist µ die Molmasse mit der Einheit 1 kg/kmol. Sie ist eine für jeden chemisch einheitlichen Stoff charakteristische Konstante. Der Zahlenwert der Molmasse wird häufig auch als Molekulargewicht bezeichnet.
Die im Zeitabschnitt LI t durch ein offenes System hindurchtretende Molmenge ist
der Molstrom N = N/LI t mit der Einheit 1 kmol/s. Bezieht man den Molstrom
auf die Querschnittsfläche A, durch die er hindurchtritt, dann erhält man die
Molstromdichte n
(N/A)/Llt mit der Einheit 1 kmol/(m 2 s).
Bezieht man die Menge eines Stoffes auf das von ihr eingenommene Volumen V,
so erhält man die Dichte dieses Stoffes. Ist das Maß für die Menge die Masse M,
so erhält man die Massendichte:

=

[! =

M
[kg/m3] .

(1.27)

V

Wählt man als Maß für die Menge die Molmenge N, so erhält man die Molmengendichte, abgekürzt auch Moldi~hte:

c

=

N
V

-

=

1
[! [kmol/m3).
µ

-

(1.28)

Ersetzt man in GI. (1.24) die partielle Massendichte [! A durch die partielle Moldichte cA gemäß GI. (1.28), so erhält man die Stoffstromdichte in der Schreibweise der Massenstromdichte zu
·(KF) _
mAm -

-µA

D

AB

dcA
dy

(1.29)

oder unter Berücksichtigung von
· (KF)
mAm

µA

_

-

•(KF)

nAm

(1.30)

Ficksehe Diffusion

39

in der Schreibweise der Molstromdichte zu:
D

-(KF) _

nAm

-

-

AB

dcA
dy

(1.31)

Für die Komponente B gilt die Beziehung:
·(KF) _

nBm

-

-D
BA

dcB
dy

(1.32)

Bei äquimolarer Diffusion stimmen sowohl die Massenstromdichten der Komponenten A und B als auch die Molstromdichten überein:

m<f,!l

=

-

m~K:),

(1.33)

n<f,!>

=

-- n~K,!>.

(1.34)

Aus diesen beid~n Gleichungen folgt unter Beachtung von GI. (1.30), daß bei
äquimolarer Diffusion die Molmassen gleich sind:
(1.35)
Die Bedingung für Äquimolarität lautet also, daß die Massenstromdichten m<f,!l
und rh~K,!) der beiden Komponenten entgegengesetzt gleich und die Molmassen
µA und µB gleich sind. Hieraus folgt, daß die Volumströme der beiden diffundierenden Komponenten den gleichen Betrag haben und somit keine Volumänderung des betrachteten Systems eintritt. Man spricht daher auch von einer
volumkonstanten Diffusion.
Bei der Behandlung von Diffusionsvorgängen in Gasgemischen ersetzt man die
Dichte der diffundierenden Komponenten häufig durch deren Partialdruck. Bei
Annahme idealen Verhaltens der Gaskomponenten A und B gelten folgende
Zusammenhänge:
(1.36)
c -

A-

PI._

(1.37)

TR

Mit R wird die universelle Gaskonstante bezeichnet:
R=(8314,3±0,4)[

J

kmol°K



Der Quotient R/µA ist die individuelle Gaskonstante für die Komponente A; er
hat die Einheit 1 Nm/(kg°K) = 1 J/(kg°K). Üblicherweise bezeichnet man die
individuelle Gaskonstante mit einem eigenen Buchstaben, dem lateinischen R.
Die universelle Gaskonstante bezeichnet man indes mit einem deutschen 91 oder
mit einem fettgedruckten lateinischen R. Durch diese Bezeichnungsweise lassen
sich Verwechslungen zwischen der universellen und der individuellen Gaskonstanten nicht vermeiden, sie werden im Gegenteil sogar herausgefordert. Aus die-

40

Grundgleichungen für die Transportprozesse

sem Grunde erhält in diesem Buch nur die universelle Gaskonstante zur Bezeichnung einen Buchstaben, und zwar das lateinische R.
Unter Verwendung von Gl.(1.36) erhält man .für die Stoffstromdichten als
Massenstromdichten der Komponenten A und B folgende Beziehungen:
DAB

m,(KF) _ _
Am -

TRfµA

m,(KF) _ _

Bm -

DBA

TRfµB

dpA
dy
dpB
dy

'

(1.38)
(1.39)

Für die Stoffstromdichte als Molstromdichte erhält man unter Verwendung von
GI. (1.37) die folgenden Beziehungen:
ri(KF) Am -

-

ri(KF) -

-

Bm -

DAB

RT
DBA

RT

dpA
dy '

(1.40)

dpB
dy

(1.41)

Mit den obigen Gleichungen ist der Ficksehe Ansatz für die Stoffstromdichte bei
äquimolarer molekularer Diffusion unter der Bedingung konstanter Dichte des
Gemisches in mehreren Schreibweisen angegeben, die sich durch die Art der Stoffstromdichte und durch di.e Art des Gradienten unterscheiden. Die Massenstromdichten m'{,!'l und m~,!'l werden durch die Gleichungen (1.24) und (1.25) als
Funktion der Gradienten der Massendichten und durch die Gleichungen (1.38)
und (1.39) als Funktion der Gradienten der Partialdrücke dargestellt. Die Molstromdichten n'{,!'l und ri~,!'l werden durch die Gleichungen (1.31) und (1.32) als
Funktion der Gradienten der Moldichten und durch die Gleichungen (1.40) und
(1.41) als Funktion der Gradienten der Partialdrücke dargestellt. Aus diesen
Gleichungen ergehen sich einige für den Stofftransport wichtige Schlußfolgerungen:
1. Ein auch noch so kleiner Stoffstrom erzwingt einen Gradienten der
Partialdichte oder des Partialdruckes.
2. Die Stoffstromdichte ist eine lineare Funktion des Partialdichte- oder
des Partialdruckgradienten.
3. Für d(JA/dy = 0 oder dpA/dy = 0 ist auch m'{,!'l = 0, unabhängig davon, wie groß der Diffusionskoeffizient ist.
4. Der Diffusionskoeffizient ist unabhängig von der Stoffstromdichte.
Die Richtigkeit des Ficksehen Ansatzes läßt sich nur experimentell, nicht aber
theoretisch überprüfen. Alle vorliegenden Versuchsergebnisse bestätigen, daß
man die Stoffstromdichte mittels des Ficksehen Ansatzes richtig berechnet, wenn
man die dafür geltenden Voraussetzungen beachtet. Das heißt also, daß die vorliegenden Ergebnisse die «praktische Brauchbarkeit» des Ficksehen Ansatzes
bestätigen.
Der Ficksehe Ansatz läßt sich auch als Definitionsgleichung für den Diffusionskoeffizienten interpretieren. Sind zusammengehörige Werte für die Stoffstrom-

Ficksehe Diffusion

41

dichte und den Dichtegradienten experimentell ermittelt, dann läßt sich der
Diffusionskoeffizient bestimmen. Er ist im allgemeinen eine Funktion der Temperatur, des Druckes und der Partialdichte.
Im Zusammenhang mit der Impulsstromdichte wurde von Newtonschen und
nicht-Newtonschen Stoffen gesprochen. Es darf daher in Zusammenhang mit
dem Stofftransport gefragt werden, oh es Ficksehe und nicht-Ficksehe Stoffgemische gibt. Bei diesen wäre für den Diffusionskoeffizienten ein Ansatz in
der Form

denkbar, wenn man den Stofftransport in festen und in ruhenden fluiden Gemischen betrachtet und die Dichte des Gemisches konstant ist. Beim Stofftransport in strömenden Medien wäre ein Ansatz in der erweiterten Form

vorstellbar. Solche Abhängigkeiten sind aber noch nicht beobachtet worden.
Bei der Diffusion in Gasen kann bei konstanter Temperatur der Gesamtdruck p
mit guter Näherung als ortsunahhängig, also ebenfalls als konstant angesehen
werden. Er setzt sich additiv aus den Partialdrücken der Komponenten A und B
zusammen:

(1.42)

p =PA +PB·

Differenzieren nach der Ortskoordinate y liefert das wichtige Ergebnis
_dpA
dy

+ dpB

=

0,

dy

(1.43)

wonach einem Partialdruckgradienten dpA/dy ein gleich großer, aber entgegengerichteter Gradient d PB/ dy zugeordnet ist:

(1.44)
Mit diesem Ergebnis folgt aus GI. (1.33) unter Verwendung der Gleichungen (1.40)
und (1.41 ), daß die Diffusionskoeffizienten D AB und DBA bei äquimolarer Diffusion in binären Gemischen übereinstimmen:

DAB = DBA = D.

(1.45)

Aus diesem Grunde sind die Indizes der Diffusionskoeffizienten also nicht mehr
notwendig und werden daher fortgelassen. Mit GI. (1.45) erhält man aus den
Gleichungen (1.31) und (1.32) den folgenden Zusammenhang zwischen den Gradienten der partiellen Moldichten:
dcB

dy

_

dcA

dy

(1.46)

Hiernach folgt, daß sich die partiellen Moldichten additiv zu der gesamten Moldichte c zusammensetzen:

42

Grundgleichungen für die Transportprozesse

(1.47)

Da bei äquimolarer Diffusion µA = µB ist, setzen sich sowohl die Partialdrücke
als auch die Moldichten und die Massendichten additiv zusammen.

l.Ul3

Die einseitige Diffusion

Von einer einseitigen Diffusion spricht man, wenn dem Diffusionsstrom einer
Komponente A kein Diffusionsstrom einer Komponente B entgegengerichtet ist.
Bei der einseitigen Diffusion muß daher der Fall vorliegen, daß durch eine gedachte Kontrollfläche oder Wand nur die Komponente A, nicht aber die Komponente B hindurchtreten kann. Eine Wand, die eine solche Eigenschaft hat,
nennt man halbdurchlässig oder semipermeabel. Als Beispiel für eine halbdurchlässige Wand sei die Oberfläche einer Flüssigkeit genannt.
Durch die Flüssigkeitsoberfläche können nur die Moleküle der Flüssigkeit hindurchtreten und in den darüber befindlichen Gasraum gelangen. Die Flüssigkeit
verdunstet also. Oberhalb der Flüssigkeit bildet sich ein Gas/Dampf-Gemisch.
Die Gasmoleküle können nicht durch die Phasengrenzfläche hindurchtreten und
somit auch nicht in das Flüssigkeitsvolumen eindringen. Die Rückkondensation
der Dampfmoleküle wird hiervon jedoch nicht betroffen.
Die Vorstellung, daß keine Gasmoleküle in die Flüssigkeit eindringen können,
ist natürlich nicht ganz richtig. Es gelangen stets Gasmoleküle in die Flüssigkeit.
Ihre Zahl ist jedoch wegen des sehr kleinen Diffusionskoeffizienten so gering, daß
man die Diffusion der Gaskomponente im Vergleich zur Dampfkomponente vernachlässigen darf. Darüber hinaus können aber auch nur so viel Gasmoleküle in
die Flüssigkeit gelangen, bis diese mit dem Gas gesättigt ist. Die streng mögliche
zweiseitige Diffusion ist also zeitlich begrenzt. Nach einem instationären Sättigungsvorgang ist die Diffusion einseitig und stationär. Die dabei auftretende,
nach STEFAN benannte Stoffstromdichte, wird mit m'{!:,l bezeichnet.
Diese einseitige Diffusion soll am Beispiel des in Bild 1.6 dargestellten Systems
analysiert werden. In einem zylindrischen Gefäß befindet sich die verdunstende
Flüssigkeit A. Die Dampfmoleküle diffundieren durch das im Ruhezustand befindliche Gasvolumen, das oberhalb der Flüssigkeit den Zylinder ausfüllt. Sie
gelangen anschließend in das über die Öffnung hinwegströmende Gemisch, das
sich aus Dampfmolekülen A und Gasmolekülen B zusammensetzt. Der aus dem
zylindrischen Gefäß austretende Stoffstrom des Dampfes A sei so klein, daß die
Zusammensetzung des strömenden Gemisches nicht verändert wird. Die Partialdrücke PAh und PBh des Gemisches oberhalb des Zylinders können also als konstant angesehen werden. An der Flüssigkeitsoberfläche herrscht der Gleichgewichtsdruck p~, der nur von der Temperatur abhängt. Die sich oberhalb der
Flüssigkeit einstellende Verteilung der Partialdrücke p A und PB ist in Bild 1.6
angegeben. Dabei wurde berücksichtigt, daß die Summe der beiden Partialdrücke
gleich dem Gesamtdruck p ist.

Stefansche Diffusion
P =P•• •P8 h

43

P =P,. •Ps•

---

!}~Z}_Pf A

DampfA

Gas B

Kontrollfläche - -

lm~
y

"'am

Y=0-'--+---+-------1

P. •
_ • •-.-.-.-.---„,;.F:,;:lüssigkeit A _•_,_ _ P _ ___

Bild 1.6. Zur Berechnung der einseitigen Diffusion

Die bei der einseitigen Diffusion auftretenden Stoffstromdichten sollen in der
Ebene der Kontrollfläche ermittelt werden. Für die Stoffstromdichten m<f:l des
Dampfes und m~K:) des Gases gelten die Ficksehen Gleichungen, die hier noch
einmal hingeschrieben werden sollen:
m,(KF) _ _

Am -

m,(KF) _ _

Bm -

D
TRfµA

dpA
dy

D
TR/µs

dpB
dy

(1.48)

'

(1.49)

Da der Stoffstrom der Komponente B nicht in die Flüssigkeit eindringen kann,
muß er durch einen bislang noch nicht beschriebenen Vorgang aufgehoben werden. Dieser Vorgang besteht nach STEFAN in einer V erdrängungsströmung, die
das gesamte Gemischvolumen oberhalb der Flüssigkeit erfaßt. Diese Strömung
nennt man auch Stefan-Strom. Sie ist von der Flüssigkeitsoberfläche weggerichtet.
Der Stefan-Strom hat die Geschwindigkeit w •. Die dadurch bedingte Massenstromdichte ist""·; sie setzt sich aus den beiden Anteilen mAv und mBv der Komponenten A und B des Gemisches zusammen:
(1.50)
Zur Berechnung der Verdrängungsgeschwindigkeit w. wird die Bedingung verwendet, derzufolge sich die entgegengerichteten Stoffstromdichten m~K:) und mB v
des Gases gerade aufheben:
. {KS) -

mBm -

. (KF)

msm

+ mBv
. -- -

D
TRf µB

dpB
dy

+ w v TR/µB
PB

=

0.

(1.51)

Diese Gleichung besagt, daß die Stefansche Stoffstromdichte für die Komponente B durch die Wirkung des Stefan-Stromes gerade zum Verschwinden gebracht wird. Aus GI. (1.51) erhält man die Geschwindigkeit zu

44

Grundgleichungen für die Transportprozesse

w

D dpB
PB dy

(1.52)

=--V

und unter Berücksichtigung von GI. (1.44) zu

w

=

D dpA
--PB dy

(1.53)

-~--

V

Die Stoffstromdichte der Komponente A ist durch die V erdrängungsströmung
verstärkt worden und setzt sich wie folgt zusammen:
(1.54)
Unter Berücksichtigung von GI. (1.53) für die Verdrängungsgeschwindigkeit erhält man die für die einseitige Diffusion maßgebende Stefansche Stoffstromdichte:
D
TRfµA

PA dpA
PB dy

----

(1.55)

Nach Umformung wird hieraus:

m<f!,l = m<ft> + rhAv =

-

D
p
dpA
TR/pA p-pA dy •

(1.56)

Dieses ist das Stefansche Gesetz für die einseitige Diffusion. Durch Vergleich mit
dem Ficksehen Gesetz gemäß GI. (1.38) stellt man fest, daß die Stoffstromdichte
bei der Stefan-Diffusion um den Druckfaktor p/(p - PA) größer ist als die Stoffstromdichte bei der Ficksehen Diffusion. Die Vergrößerung wirkt sich indes nur
dann aus, wenn der Partialdruck p A der diffundierenden Komponente nicht zu
klein ist im Vergleich zum Gesamtdruck p. In vielen praktischen Fällen wird man
auch bei einseitiger Diffusion die Stoffstromdichte mit dem für die äquimolare,
zweiseitige Diffusion geltenden Ficksehen Ansatz behandeln dürfen.

1.1414

Die nichtäquimolare Diffusion

Im folgenden soll ein allgemein gültiges Gesetz für die Diffusion in binären Gemischen hergeleitet werden. Es gilt für die nichtäquimolare Diffusion und enthält
als Sonderfälle die Gesetze für die einseitige und für die äquimolare Diffusion.
Bei der Herleitung dieses Gesetzes geht man von der zweiseitigen Diffusion aus
und beachtet, daß die beiden entgegengerichteten Stoffströme nichtäquimolar
sein können. Jeder der beiden Stoffströme setzt sich aus einem molekularen und
einem von der V erdrängungsströmung hervorgerufenen Anteil zusammen. Die
Stoffstromdichten werden bei molekularem Transport mit m<f/:> und rh~~) bezeichnet.
Für die beiden Komponenten A und B gelten unter Berücksichtigung der im
vorangegangenen Abschnitt entwickelten Zusammenhänge die folgenden Beziehungen:
. (KN) -

mAm -

. (KF)

mAm

+ mAv
. -- -

D
TRfµA

dpA
dy

+W
V

PA
TR/µA'

(1.57)

Nichtäquimolare Diffusion

m~K:) = m~K.:) + mBv = -

D
TR/pB

dpB
dy

+w
V

PB
TRf pB

45
(1.58)

Aus der GI. (1.58) ergibt sich die Geschwindigkeit w. der Verdrängungsströmung
unter Berücksichtigung von GI. (1.44) zu:

- - .!!_

Wv -

dpA
dy

PB

+ TR/pB

. (KN)
mBm •

PB

(1.59)

Nach Einsetzen in GI. (1.57) und Umformung erhält man für die Stoffstromdichte
der Komponenten A die folgende Gleichung:
m<KNJ _
Am

D
_P_ dpA +PA _EA_ m<KNJ
TR/pA p-pA dy
PB p-pA Bm •

_

-

(1.60)

Dieses ist das allgemeine Diffusionsgesetz, wobei die Stoffstromdichte als Massenstromdichte ausgedrückt wurde.
Bei einseitiger Diffusion ist m~K:) = 0, und Gl.(1.60) geht in Gl.(1.65) über. Ist
der Partialdruck p A verschwindend klein im Vergleich zum Gesamtdruck p, dann
geht Gl.(I.60) in die für die äquimolare Diffusion mitgeteilte Gl.(1.38) über. Das
heißt also, daß bei sehr kleinem Partialdruck einer der beiden Komponenten des
binären Gemisches der Stofftransport stets mit den einfachen Gesetzen der äquimolaren Diffusion behandelt werden kann.
Drückt man die Stoffstromdichte der GI. (I.60) durch die Molstromdichte aus,
so erhält man
n(KN)

= _ _!!__

_P
__ dpA
RT p-pA dy

Am

+ _EA_ n<KN)
p-pA

Bm



(I.61)

Ersetzt man hierin den Partialdruck durch die partielle Moldichte cA = PAf(RT)
und berücksichtigt ferner, daß c = cA cB ist, dann lautet die Gleichung für die
Stoffstromdichte:

+

n<KN) Am

-

D-c-

-

C-CA

dcA

dy

n<KN)
+ ~C-CA
Bm •

(I.62)

Führt man weiterhin noch den Molenbruch
(1.63)
ein, so ergibt sich die Gleichung für die Stoffstromdichte in der Form
-(KN) _ _
nAm

-

C

D __l _ dxA
1 -xA dy

+~
1 -xA

-(KN)
llßm •

(I.64)

Erfolgt die Diffusion im Zusammenhang mit chemischen Reaktionen, dann kann
es sich als sinnvoll erweisen, das Verhältnis der Molstromdichten,

ri'f:>
<:p =

-(KN) '

nAm

(I.65)

46

Grundgleichungen für die Transportprozesst

einzuführen und die Gleichung für die Stoffstromdichte in die folgende Form zu
bringen:
;,,(KN) _
Am

-

_

cD
dxA
1-xA (l+rp) dy

Ist bei äquimolarer Diffusion <p
Gesetz in der Schreibweise:
;,,

-cD

=
Am

=

(1.66)

-1, dann erhält man hieraus das Ficksehe

dxA

(1.67)

dy

Entsteht beispielsweise bei einer katalysierten heterogenen Reaktion aus 1 kmol A
nur 1/2 kmol B, dann ist ;,,~K:) = -n'f:>/2 und somit <p = -1/2. Aus GI. (1.66)
folgt dann:
;,,(KN) _ _ __c_D
_ _ dxA
Am

-

1-xA/2

dy

(1.68)

Es zeigt sich also, daß GI. (1.66) die einfachste und übersichtlichste Schreibweise
für die Stoffstromdichte bei der Diffusion in binären Gemischen darstellt. Aus
ihr lassen sich die Gleichungen für alle speziellen Fälle der nichtäquimolaren
Diffusion leicht entwickeln.

1.142

Die molekulare und turbulente Stoffstromdichte

In einem turbulenten Strömungsfeld wird der molekulare durch einen turbulenten
Stofftransport verstärkt. Für die turbulente Diffusion wird der gleiche Mechanis·
mus angenommen, der für den Impulstransport in Abschnitt 1.122 ausführlich
besprochen wurde. Aus diesem Grunde gilt für die turbulente Stoffstromdichte
rhAt bei Annahme einer äquimolaren Diffusion die Beziehung

(1.69)
die der GI. (1.6) für die turbulente Impulsstromdichte analog ist. Mit sm wird der
turbulente Ausgleichskoeffizient des Stoffes bezeichnet. Seine Einheit ist 1 m 2 /s.
Beim Stofftransport sind Ausgleichs- und Transportkoeffizient identisch.
Da der turbulente Stofftransport durch den gleichen Mechanismus wie der turbulente Energie- und Impulstransport hervorgerufen wird, gelten einige der in
den Abschnitten 1.122 und 1.132 gemachten Aussagen auch für den Stofftransport.
Von besonderer Bedeutung ist davon die Aussage, daß sich die turbulente Stoffstromdichte mit dem Quadrat der örtlichen Geschwindigkeit ändert. Ferner ist
der turbulente Ausgleichskoeffizient des Stoffes im allgemeinen nicht richtungsunabhängig, da die Turbulenz nicht isotrop ist. In einem von festen Wänden
begrenzten Strömungsfeld ist die Isotropie in Wandnähe am wenigsten und in
großem Wandabstand am ehesten erfüllt.

Turbulente Diffusion

47

Die im turbulenten Strömungsfeld auftretende Stoffstromdichte ist bei äquimolarer Diffusion
m,(KF)
A

=

m,(KF)
Am

+ m,(KF)
=
At

_ (D + cm )

df!A
dy •

(1.70)

Im Bereich hoher Geschwindigkeiten eines turbulenten Feldes darf im allgemeinen D gegenüber cm vernachlässigt werden. Im Bereich sehr kleiner Geschwindigkeiten, die im turbulenten Feld beispielsweise in unmittelbarer Nähe einer festen
Wand auftreten, ist hingegen cm im Vergleich zu D vernachlässigbar klein. Für
die Berechnung der an der Wandoberfläche auftretenden Stoffstromdichte gilt
daher auch immer

. =-D(df!A)

mAw

dy

w

(1.71)



Diese Beziehung ist unabhängig davon, oh die Strömung laminar oder turbulent ist.

1.143

Verhältnisse der Impuls-, Energie- und Stoffstromdichten

Finden in einem Strömungsfeld gleichzeitig Impuls- und Stofftransport statt,
dann läßt sich an jeder Stelle das Verhältnis von Impuls- und Stoffstromdichte
bilden. Bei molekularem Transport und Fickseher Diffusion erhält man mit den
Gleichungen (1.3) und (1.24):
v

d(we)/dy

Ii

deAfdy



(1.72)

Das Verhältnis der molekularen Ausgleichskoeffizienten v und D wird SchmidtZahl genannt und mit Sc bezeichnet:

Sc=

(1. 73)

_!'_.

D

Damit läßt sich das Verhältnis der molekularen Transportströme auch in der
Form
__!_,.,_ = Sc d(we )/ dy
(1.74)
mAm

df!Af dy

schreiben. Hiernach ist das Verhältnis aus den molekularen Transportströmen
des Impulses und des Stoffes proportional dem Verhältnis aus den Gradienten
des Impulses je Volumeinheit und der Dichte (der Masse des diffundierenden
Stoffes A je Volumeinheit). Die Proportionalitätskonstante ist die Schmidt-Zahl
Sc. In anderer Form läßt sich auch sagen, daß die Schmidt-Zahl das Geschwindigkeitsfeld mit dem Dichtefeld verbindet.
Bei turbulentem Transport von Impuls und Stoff erhält man mit den Gleichungen (1.6) und (1.69) für das Verhältnis der Transportstromdichten die Beziehung
-5__
mA,

=Sc,

d(we)/dy,
deAfdy

(1. 75)

48

Grundgleichungen für die Transportprozesse

wobei Sc, die «turbulente» Schmidt-Zahl bedeutet:

(1. 76)
Die Schmidt-Zahl ist das Verhältnis der turbulenten Ausgleichskoeffizienten des
Impulses und des Stoffes.
Häufig ist der Stofftransport mit einem Energietransport verbunden; streng genommen ist das sogar immer der Fall. Die Verbindung von Temperatur- und
Dichtefeld läßt sich bei molekularem Transport durch das Verhältnis

(1.77)
zum Ausdruck bringen, wobei

(1.78)
die «molekulare» Lewis-Zahl ist. Sie ist die maßgebende Kennzahl für die Verbindung von Temperatur- und Dichtefeld. Bei turbulentem Transport von Energie und Stoff gilt die Beziehung
~ = Le, d(Tecp)/dy
mAt

d(!Af dy

(1.79)

Hierin ist

Let -=~
cm

(1.80)

die «turbulente» Lewis-Zahl, die das Verhältnis der turbulenten Ausgleichskoeffizienten der Energie und des Stoffes darstellt.

1.2

Die vollständigen Transportgleichungen für Mehrkomponentengemische

Im vorangegangenen Abschnitt wurden die Transportgleichungen für den einfachen Fall behandelt, daß Impuls-, Energie- und Stoffströme nur in Richtung
einer der drei Raumkoordinaten auftreten. Darüber hinaus weisen die Gleichungen für die Wärme- und die Stoffstromdichte aber noch weitere Vereinfachungen
auf. So gilt die von FouRIER mitgeteilte Gleichung für die Energiestromdichte
nur für den Fall, daß Energie allein auf Grund eines Temperaturgradienten in
einem reinen Stoff transportiert wird. Das Ficksehe Gesetz für die Stoffstromdichte gilt in der mitgeteilten Form für die Diffusion in einem isothermen und
isobaren Zweistoffgemisch konstanter Dichte, in dem keine äußeren Kräfte wirksam sind. Außerdem wurde für das Gemisch der Zustand der Ruhe angenommen. Die angegebenen Diffusionsstromdichten für die Fälle der äquimolaren, der
einseitigen und der nichtäquimolaren Diffusion sind auf ein ortsfestes Koordinatennetz bezogen und sind somit absolute Größen.

Allgemeine Gleichung für die Impulsstromdichte

49

Die vollständigen Transportgleichungen sollen den molekularen Transport von
Impuls, Energie und Stoff in einem Mehrkomponentengemisch in allgemeiner
Form beschreiben. Dabei empfiehlt es sich, den molekularen Transport, der häufig
Konduktion genannt wird, deutlich vom konvektiven Transport in strömenden
Gemischen zu unterscheiden. Letzterer kann entweder allein auftreten oder dem
konduktiven Transport überlagert sein. Handelt es sich um turbulente Strömungen, so wird der molekulare Transport durch den turbulenten Austausch
verstärkt. Im folgenden sollen die Gleichungen für den konduktiven Transport in
ruhenden oder laminar strömenden Gemischen erörtert werden. Für beide Fälle
gelten dieselben Gesetze. Transportvorgänge infolge von Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsgradienten können in beliebigen Richtungen nebeneinander auftreten. Dabei werden zusätzlich Druckgradienten und äußere Kräfte
als Ursachen von Transportprozessen berücksichtigt. Wegen des komplexen Aufbaus der sich ergebenden Gleichungen erweist es sich als sinnvoll, die Impulsstromdichte in der Tensorform und die Energie- und Stoffstromdichte in der
Vektorform und Th; zu verwenden. Dabei kennzeichnet der Index i eine beliebige Komponente des Gemisches. Die Gültigkeit der «allgemeinen» Gleichungen ist nur durch die Annahme eingeschränkt, daß der Transport von Impuls,
Energie und Stoff allein auf Grund der thermischen Molekularbewegung erfolgt.
Es dürfte aber nicht schwerfallen, die Gleichungen so zu erweitern, daß nebst
dem molekularen auch ein turbulenter Transport berücksichtigt wird. Die dafür
erforderlichen Transportkoeffizienten sind im vorangegangenen Abschnitt 1.1
ausführlich erörtert worden.

r

q

1.21

Die Impulsstromdichte

Die Impulsstromdichte bzw. die Schubspannung hängt allein vom Geschwindigkeitsgradienten ab und gilt deshalb in der Form der GI. (1.2) sowohl für Gemische
als auch für reine Stoffe, wenn man für die dynamische Viskosität 'YJ den jeweils
zutreffenden Wert einführt. Für den allgemeinen Fall der räumlichen Bewegung
eines Newtonschen Fluids läßt sich die Schubspannung durch folgende Gleichung ausdrücken:

r=

-'Yj [vw

+ (vw)+] + ( ~

'Yj-'YJv) (divw)

J.

(1.81)

w

Hierin bedeuten r den Tensor zweiter Ordnung für die Impulsstromdichte, v
das dyadische Produkt aus dem Nabla-Operator V' und dem Geschwindigkeitsvektor
woraus sich ein Tensor zweiter Ordnung ergibt, (V' w)+ der gleiche
Tensor, jedoch in transponierter Form, 'YJ die bisher schon verwendete «normale»
Viskosität, 'YJv die Volumviskosität, div
die Divergenz des Geschwindigkeitsvektors und b den Einheitstensor, dessen diagonalen Komponenten den Wert 1
besitzen und dessen nichtdiagonalen Elemente verschwinden. Die Volumviskosität 'YJv ist nach HAASE (1.4] ein Maß für den allseitig gleichen zusätzlichen Normaldruck, der bei allseitig gleicher Deformation in einem Fluid entsteht. Bei einatomigen Gasen von geringer Dichte ist 'YJv = 0. In Gasen und Flüssigkeiten von

w,

w

50

Grundgleichungen für die Transportprozesse

größerer Dichte ist nach den bisherigen Erkenntnissen 'f/v zumindest nicht sehr
bedeutsam [1.2]. Man begeht daher offenbar keinen wesentlichen Fehler, wenn
man 'f/v im Vergleich zu 'fj fortläßt.
Eine ausführliche Behandlung von GI. (1.81) sowie der darin benutzten Opera·
toren ist beispielsweise in [1.6] enthalten. In einem kartesischen System mit den
Koordinaten X; (i = 1, 2, 3) nimmt Gl.(1.81) die folgende Form an:
(1.82)
Wie für i gilt auch für den zweiten Index k = 1, 2, 3. Das Symbol (jik besitzt die
Werte (jik = 1 für i = k und (jik = 0 für i =/=- k. Bei inkompressiblen Medien ist
die Dichte örtlich und zeitlich konstant, so daß div = 0 ist. Damit entfällt der
zweite Summand auf der rechten Seite von GI. (1.82). Ändert sich in einem Strö·
mungsfeld lediglich die Geschwindigkeit W; = w 1 = w„ in Richtung der Koordinate xk = x 2 = y, so geht Gl.(1.82) in den Newtonschen Ansatz

w

dw„

't' = - ' f j xy
dy

(1.83)

über, der in Abschnitt 1.121 bereits erläutert wurde.
1.22

Die Energiestromdichte

Die gesamte Energiestromdichte setzt sich additiv aus Vier Anteilen zusammen:
q = q(F)

+ q(H) + q(D) + q(S).

(1.84)

Der erste Anteil q(Fl ist die Energiestromdichte auf Grund eines Temperatur·
gradienten. Hierfür hat FOURIER bei eindimensionaler Energieströmung einen
Ansatz geliefert, weshalb der Zeiger (F) zur Kennzeichnung dient. Der zweite
Term, q<HJ, berücksichtigt den Enthalpietransport, der mit den Diffusionsströmen
der Komponenten des Gemisches verbunden ist. Mit q(D) wird die Dufoursche
Energiestromdichte bezeichnet. DuFOUR hat im Jahre 1872 beobachtet, daß
durch einen Diffusionsstrom ein Energiestrom erzwungen wird. Man nennt diesen
Vorgang Diffusionsthermik. Zur Kennzeichnung der Energiestromdichte wird
nach DuFOUR der Zeiger (D) verwendet. Der vierte Anteil, q<8 >, ist die Energie·
stromdichte auf Grund von Wärmestrahlung. Dieser Anteil wird im folgenden
nicht behandelt.
Durch die beidenAnteileq(H) und q(D) ist das in einemMehrkomponentengemisch
vorhandene Temperaturfeld zwangsläufig mit einem Konzentrationsfeld verbun·
den. In aller Strenge ist also der Wärmetransport in einem Mehrkomponenten·
gemisch ohne einen gleichzeitigen Stofftransport nicht möglich. Das gilt auch
dann, wenn das Energiefeld im Ausgangszustand dadurch gekennzeichnet ist,
daß die Konzentrationen aller Gemischkomponenten im gesamten Feld konstant
sind. Ein auch noch so kleiner Wärmestrom erzwingt einen Stoffstrom.

Allgemeine Gleichung für die Energiestromdichte

51

In den meisten der praktisch wichtigen Fälle ist es bei überlagerter Energie·
und Stoffströmung zulässig, die Dufoursche Stoffstromdichte zu vernachlässigen.
Die gesamte Energiestromdichte setzt sich dann aus den beiden Anteilen (f (FJ und
q(H) zusammen. Im folgenden werden diese beiden sowie die Dufoursche Wärme·
stromdichte behandelt.

1.221

Die Fouriersche Energiestromdichte

Der Vektor der Fourierschen Energiestromdichte ist durch

(f(FJ = -.?. grad T

(1.85)

gegeben. Diese Gleichung gilt sowohl für den Energietransport in reinen Stoffen
als auch für den Energietransport in Gemischen. Für Gemische läßt sich ein
Mittelwert des Wärmeleitkoeffizienten A bestimmen, worauf in Abschnitt 1.33
eingegangen wird.
Für die in die y·Richtung weisende Komponente der Fourierschen Energiestrom·
dichte gilt die in Abschnitt 1.131 mitgeteilte GI. (1.ll ). Dort sind auch ihre Eigen·
schaften ausführlich besprochen worden. Sie lassen sich uneingeschränkt auf den
Vektor der Energiestromdichte übertragen.

1.222

Die Enthalpiestromdichte

Sind in einem Gemisch Temperatur· und Konzentrationsfeld überlagert, dann
sind die Stoffströme mit Enthalpieströmen verbunden. Für die sich insgesamt
einstellende Enthalpiestromdichte gilt in einem aus n Komponenten bestehenden
Gemisch folgende Beziehung:

(1.86)
Es bedeutet riii die vektorielle Stoffstromdichte (Massenstromdichte) der i-ten
Komponente des n-Stoffgemisches, die sich insgesamt durch Konduktion ergibt
und die im folgenden noch näher bestimmt wird. Außerdem sindµ; die Molmasse
der i-ten Komponente und h; deren molare Enthalpie. Mit der auf die Massen·
einheit bezogenen spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Druck (cp)i erhält
die Gleichung für die Enthalpiestromdichte die Form:
n

q(H)=iJT

};(cp)iifii.

(1.87)

i= 1

Mit iJ T wird die Differenz der Temperaturen bezeichnet, zwischen denen die
Stoffstromdichte riii auftritt. Für den Sonderfall des Zweistoffgemisches mit den
Komponenten A und B erhält man zunächst

(1.88)


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