series q

‫שאלה ‪1‬‬ ‫בסדרה חשבונית נתון‪:‬‬ ‫כמה איברים בסדרה?‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫רעיון הפתרון הוא כזה‪ :‬בעצם נתונה לנו הסדרה החשבונית הבאה‪:‬‬ ‫‪ .‬ע"י הצבה בנוסחת הסכום של סדרה חשבונית נקבל משוואה‬ ‫ונתון סכום הסדרה‪:‬‬ ‫עם נעלם אחד‪ ,n -‬שזה בעצם הנעלם שאת ערכו נדרשים לחשב בשאלה‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫המשוואה המתקבלת היא משוואה ריבועית ששני הפתרונות שלה הם‪:‬‬ ‫נשאלת השאלה‪ -‬מהי התשובה הנכונה מבין השתיים? והתשובה היא ששתיהן נכונות‪ .‬פה יש משהו שכדאי‬ ‫להכיר ולהבין איך זה קורה‪.‬‬ ‫נרשום את שני הסכומים הללו‪:‬‬ ‫מה שקורה זה‪ ,‬שבגלל שהסדרה יורדת והאיבר הראשון חיובי‪ ,‬בשלב מסוים האיברים מתחילים להיות‬ ‫)‪ .‬האיברים השליליים עלולים לקזז את הסכום‬ ‫שליליים (כאן זה קורה החל מהאיבר ה‪:11-‬‬ ‫(החיובי) בצורה כזו‪ ,‬ששוב נקבל את אותו הסכום עבור מספר גדול יותר שם איברי הסדרה‪ ,‬וזה בדיוק מה‬ ‫שקורה בדוגמא הזאת‪.‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫נתונה הסדרה החשבונית‪:‬‬ ‫מצאו בסדרה הנתונה איבר השווה לסכום כל האיברים שלפניו‪.‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫כאן לא היה איזה קטע מיוחד‪ ,‬מלבד שהיה צריך להבין איך לתרגם את הנתון למשוואה‪ .‬הרעיון הוא כזה‪:‬‬ ‫– האיבר‬ ‫קודם כל‪ ,‬נסמן את המקום הסידורי של האיבר הזה ב‪ , -‬כלומר האיבר שאנחנו מחפשים הוא‬ ‫ה‪- -‬י בסדרה‪ .‬נתון שערכו של האיבר הזה שווה לסכום כל האיברים שלפניו‪ .‬אם זהו האיבר ה‪- -‬י בסדרה‪,‬‬ ‫‪ .‬הסכום של‬ ‫האיברים הראשונים בסדרה‪:‬‬ ‫איברים‪ ,‬שהם בדיוק‬ ‫לפניו יש‬ ‫‪ .‬מכאן שהמשוואה היא‪:‬‬ ‫האיברים הללו הוא‪ ,‬אם כך‪ ,‬הוא‬ ‫נשתמש בנוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית עבור אגף שמאל‪ ,‬ובנוסחת הסכום של סדרה חשבונית‬ ‫עבור אגף ימין‪ ,‬ונקבל את המשוואה השקולה הבאה‪:‬‬ ‫‪ .‬לכן הנעלם היחידי במשוואה הוא ‪ .‬אחרי שנמצא‬ ‫הסדרה נתונה לנו‪ ,‬לכן קל לראות כי‪:‬‬ ‫את ערכו של (נקבל ‪ 2‬תשובות‪ ,‬שאחת מהן לא תהיה שלמה‪ ,‬ולכן נפסול אותה)‪ ,‬נחשב את ערכו של‬ ‫באמצעות נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית‪.‬‬  ‫שאלה ‪3‬‬ ‫באולם גדול ‪ 42‬שורות‪ ,‬בכל שורה ב‪ 2-‬מקומות יותר מאשר בשורה שקדמה לה‪.‬‬ ‫מס' מקומות הישיבה ב‪ 24-‬השורות הראשונות שווה למספר מקומות הישיבה ב‪ 18-‬השורות האחרונות‪.‬‬ ‫כמה מקומות ישיבה באולם?‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫איברים‪ ,‬ועם הפרש‬ ‫‪.‬‬ ‫מספרי מקומות הישיבה בשורות מתנהגים כמו סדרה חשבונית בת‬ ‫‪ ,‬כלומר סה"כ מקומות הישיבה בכל ‪ 42‬השורות‪.‬‬ ‫רוצים שנחשב את‬ ‫צריך לתרגם את השורה השנייה של השאלה למשוואה מתמטית‪ .‬טעות נפוצה היא לרשום את המשוואה‪:‬‬ ‫הוא סה"כ מספר‬ ‫זה לא נכון‪ ,‬כי בחלק השני של המשפט מדובר על ‪ 18‬השורות האחרונות‪ ,‬בעוד ש‪-‬‬ ‫תמיד מדובר ב‪ -‬האיברים הראשונים של‬ ‫מקומות הישיבה ב‪ 18-‬השורות הראשונות (בנוסחא של‬ ‫הסדרה)‪ .‬בשקפים הראשונים ראינו דרך לחשב סכום של חלק מהסדרה‪:‬‬ ‫במקרה שלנו‪:‬‬ ‫ולכן המשוואה הנכונה היא‪:‬‬ ‫‪ ,‬לכן הנעלם היחידי כאן הוא ‪ .‬אחרי שנחשב את ערכו‪ ,‬נשתמש בנוסחת הסכום של‬ ‫ידוע לנו ש‪-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫סדרה חשבונית כדי לחשב את‬ ‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫שאלה ‪4‬‬ ‫בסדרה חשבונית שהאיבר השמיני שלה הוא ‪ ,65‬סכום שבעת האיברים הראשונים גדול ב‪ 365-‬מסכום ‪23‬‬ ‫האיברים הבאים אחריהם‪.‬‬ ‫מצא את‬ ‫ו‪. -‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫אותו עקרון כמו בשאלה הקודמת – ‪ 23‬איברים שאחרי ‪ 7‬האיברים הראשונים הם בעצם‪:‬‬  ‫שאלה ‪5‬‬ ‫בסדרה חשבונית מספר זוגי של איברים‪.‬‬ ‫סכום האיברים במקומות האי‪-‬זוגיים הוא ‪ ,151‬וסכום האיברים במקומות הזוגיים הוא ‪.174‬‬ ‫כמו כן ידוע‪ ,‬שהאיבר האחרון גדול מהאיבר הראשון ב‪.44-‬‬ ‫מצאו את הפרש הסדרה ואת מספר איבריה‪.‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫כאן יש "טריקים" שחוזרים על עצמם הרבה בתרגילים בסדרות‪ ,‬וכדאי להכיר אותם‪.‬‬ ‫הדבר הראשון הוא סימון שמפשט לנו טיפה את העניינים‪ .‬כשמדובר בסדרה עם מספר זוגי של איברים‪ ,‬נבחר‬ ‫לסמן את מספר האיברים בה לא ב‪ , -‬אלא ב‪ . -‬כלומר הסדרה המדוברת היא‪:‬‬ ‫הדבר השני‪ :‬כשמדובר על האיברים במקומות הזוגיים או האי‪-‬זוגיים‪ ,‬נשים לב שהם בעצמם מהווים שתי‬ ‫סדרות חשבוניות‪:‬‬ ‫במקומות הזוגיים‬ ‫במקומות האי זוגיים‬ ‫(כאשר הוא הפרש הסדרה המקורית)‪ ,‬ובכל אחת מהן יש‬ ‫ההפרש של שתי הסדרות הללו הוא‬ ‫איברים (חצי מכמות האיברים בסדרה המקורית‪ ,‬שבה סימנו את כמות האיברים ב‪.) -‬‬ ‫כעת‪ ,‬נוכל לרשום את שני הסכומים בהתייחס לשתי הסדרות החדשות הללו‪:‬‬ ‫אי זוגיים‬ ‫זוגיים‬ ‫מהשורה האחרונה של השאלה נקבל משוואה נוספת‪ ,‬כך שסה"כ בידינו ‪ 3‬משוואות ב‪ 3-‬נעלמים‪.‬‬ ‫דבר אחרון שנשים לב אליו הוא שמפתרון מערכת המשוואות נקבל את הערך של ‪ .‬זהו לא מספר איברי‬ ‫הסדרה שאותו נתבקשנו למצוא‪ ,‬מכיוון שאת מספר איברי הסדרה סימנו ב‪ , -‬לכן חשוב לא לשכוח להכפיל‬ ‫פי‪.2-‬‬ ‫אגב‪ ,‬השיטה הזו של פירוק סדרה נתונה לתתי סדרות תעבוד בכל מקרה שבו מתייחסים לאיברים מסדרה‬ ‫נתונה במרווחים קבועים‪ .‬למשל‪ ,‬איברי הסדרה שהשארית מחלוקת האינדקס (המקום הסידורי) שלהם ב‪3-‬‬ ‫היא בדיוק ‪:2‬‬ ‫(כאשר הוא הפרש הסדרה המקורית)‪ .‬מכאן‪ ,‬שסכום‬ ‫הפרש הסדרה הוא‬ ‫המקורית שהאינדקס שלהם מתחלק ב‪ 3-‬עם שארית ‪ 2‬הוא‪:‬‬ ‫האיברים הראשונים בסדרה‬