Formelsammlung Technische Mechanik

Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Statik Kräfte  = Fx  F y  F z =F x⋅ F e x F y⋅ e y F z⋅ ez ∣F∣=F =  F 2x F 2y F 2z Fx F Fy cos = F F cos = z F F: Fx: Fy: Fz: cos = Kraft Komponente in x-Richtung Komponente in y-Richtung Komponente in z-Richtung y (S. 4) Fy β F γ Fx α x Fz z Ebene Kräftesysteme FR=∑ F i =∑ F ix⋅ e x ∑ F iy⋅ ey MRz =∑ M iz⋅ e z =∑  F iy⋅r ix−F ix⋅r y  M x R= Rz FR Seileckverfahren M C =H⋅y C (S. 28) FR: resultierende Kraft MRz: resultierendes Moment x R: Lage der resultierenden Kraft (Angriffspunkt auf x-Achse) (S. 25) F1 Kräfteplan 0 F1 Moment bezüglich Punkt C F2 F3 F2 1 2 F3 Pol 3 FR H Maßstäbe beachten bei H und yC! 1 Lageplan 0 2 2 1 3 0 yc C 3 FR H: C: yC: Polweite beliebiger Punkt Abstand von 0 bis 3 1. alle Kräfte im Kräfteplan zusammenfassen beliebige Pol wählen und mit Kraftvektoren verbinden Richtung der Polstrahlen in Lageplan übertragen; beginnend mit 0 FR liegt zwischen 0 und letzem Polstrahl; Richtung aus Kräfteplan 2. a 3. Voraussetzung: Alle Wirkungslinien bekannt! 1 von 20 4.  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Cullmannverfahren (S. 47) F1 A 1. 2. 3. FA Lageplan FB F1 C C F2 4. Kräfteplan Je zwei Kräfte schneiden Schnittpunkte verbinden Cullmanngerade in Kräfteplan übertragen Wirkungslinien in Kräfteplan übertragen und zu Krafteck verbinden Alle vier Wirkungslinien müssen bekannt sein! B Zerlegung einer Kraft (nach drei Richtungen; max. zwei parallel) F x =∑ F ix (S. 35) F y =∑ F iy M z =∑ F i⋅hi =F⋅h y 1 Lageplan F F 3 Kräfteplan F3 2 4. C x h 1. 2. 3. je zwei Wirkungslinien schneiden Schnittpunkte verbinden Cullmanngerade und Wirkungslinien in Kräfteplan übertragen Krafteck schließen C F1 F2 h2 Räumliche Kräftesysteme Zusammensetzung von Kräften F Rx e x ∑ F y⋅ e y ∑ F z⋅ ez F Ry = FR =∑ F i =∑ F x⋅ F Rz  ∣FR∣=F R= F 2RxF 2RyF 2Rz cos = F Rx FR cos = F Ry FR cos = (S. 36) F Rz FR Kräfte   ∣ ∣ ex ey ez M Rx  i =∑ ri × F i =∑ r r iy r iz M Ry = M R = rR × FR =∑ M ix F ix F iy F iz M Rz ∣M R∣=M R= M 2RxM 2Ry M 2Rz M M M cos = Rx cos = Ry cos = Rz MR MR MR Momente 2 von 20 (S. 36)  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Zerlegung einer Kraft (nach sechs gegebenen Richtungen) F F F ∑ F i = FR (S. 40) cos i = xi cos i = yi cos i = zi Fi Fi Fi ∑  ri × Fi = M R (S. 40) jeweils für x-, y- und z-Richtung (6 Gleichungen) y MR Kraftschraube / Dyname F × M a =a⋅ e a R 2 R (S. 38)  FR FR MRS Zentralachse φ ea MRF FR x a z MRF Freie Momente F1 FR=∑ F i M R=∑ ri × F i ∑ M k Mk (S. 40) FMk F2 FMk F3 Freiheitsgrade In der Ebene drei Freiheitsgrade: Translation x, y Rotation z Im Raum sechs Freiheitsgrade: Translation x, y, z Rotation x, y, z Gleichgewicht Ebene Kräftesysteme (3 Gleichungen für 3 Unbekannte) ∑ Miz  A=0 ∑ Fix=0 ∑ Fiy=0 oder ∑ Miz  B=0 (S. 42) ∑ M iz =0 ∑ Miz C =0 A, B, C dürfen nicht auf einer Geraden liegen { =3 statisch bestimmt Anzahl Unbekannte 3 statisch unbestimmt 3 statisch unterbestimmt Drei Kräfte im Gleichgewicht: Krafteck geschlossen Wirkungslinien schneiden sich in einem Punkt Vier Kräfte im Gleichgewicht: Krafteck und Seileck geschlossen es müssen sich je zwei Wirkungslinien schneiden 3 von 20  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Räumliche Kräftesysteme (6 Gleichunen für 6 Unbekannte) ∑ Fix=0 ∑ M ix=0 =6 statisch bestimmt   Anzahl Unbekannte F =0 M =0 6 statisch unbestimmt ∑ iy ∑ iy 6 statisch unterbestimmt ∑ Fiz =0 ∑ M iz=0 { Freischneiden eines Körpers F1 F1 1 5 F5 4 F2 F12 F2 1 2 F21 2 3 Gegenwirkungsprinzip F3 F4 Kräfte auf 'freigeschnittene' Körper sind Kräfte von der Umgebung auf den Körper! Lagerungen und Lagerreaktionen (S. 63) Bauart Ausprägung Symbol Reaktionen Wertigkeit Ebene Raum Ebene Raum Querlager   1 2 Gleitlager   1 1 Rollenlager  () 1 1 (2) Stablager   1 1 Quer- und Längslager   2 3 festes Gelenk   2 3 feste Einspannung   3 6 Feste Einspannungen nehmen auch Momente auf! Ebene=1; Raum=3 4 von 20  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Prinzip der virtuellen Arbeit Virtuelle Verschiebung F K⋅a⋅ =F Q⋅b⋅  b a·δφ a FK: FQ: a: b: b·δφ (S. 73) δφ Kraft Last Kaftweg Lastweg Q FK Virtuelle Arbeit ⋅ r W =F  W =∑ F is⋅ si ∑ M i ⋅ i FQ W: virtuelle Arbeit Fis: Kraftkomponente in Richtung des Weges si: Wegelement Miφ: Momente um Drehachse φi: Drehwinkel (S. 74) Gleichgewichtsarten (S. 84) stabil labil indifferent 2 1 1 2 2 1 Gleichgewicht: δW = 0 FS FS 2 1 0 FS M S =G⋅r M K =F⋅h 1 0 δs δs FS = 0 2 1 δW02 < 0 Standsicherheit δW10 < 0 δW02 > 0 δW10 = δW02 = 0 r F (S. 85) G S: Standsicherheit MS: Standmoment MK: Kippmoment h ∑MS ∑MK δs 0 FS δW10 > 0 S= δs δs Kippkante δs S 1 Einflußlinie / Wanderlast F Ay =F⋅ x x  x=1− l x η: F FAx A FAy B l FBy 5 von 20 Einflußfunktion 2  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Systeme starrer Körper Tragwerke f =3⋅n2⋅k −s−z t (S. 86) f: s: n: k: zt: r: eben f =6⋅n−3⋅k −s−z t (S. 92) räumlich f { 0 statisch unbestimmt =0 statisch bestimmt 0 nicht tragfähig Fachwerke s=2⋅k −r s=3⋅k −r (S. 99) eben Freiheitsgrad des Tragwerks Anzahl der Stäbe Anzahl der restlichen Tragwerkteile Anzahl der Stabknoten Anzahl der restl. Zwangsbedingungen Auflagerreaktionen (S. 131) räumlich Ermittlung von Stabkräften Knotenpunktverfahren (S. 104) Knoten freischneiden Stabkräfte als Zugkräfte einführen αI ∑ F ix=0 ∑ F iy=0 F AxS 1S 2⋅cos  I =0 F Ay S 2⋅sin I =0 Beispiel für Knoten I III 2 A 3 I 6 S2 V 9 VI IV FAx 1 II 4 F 8 a B αI I S1 FBy a S3 S2 FAx FAy a S5 S3 7 5 S6 III a • • S4 II S1 FAy Schnittverfahren nach Ritter (S. 107) Lagerreaktionen Fachwerk in zwei Teile teilen höchstens drei unbekannte Stäbe dürfen geschnitten werden Wirkungslinien dürfen sich nicht in einem Punkt schneiden F Ax=0 1 F Ay = ⋅F 3 III 2 F By = ⋅F 3 2 Lagerreaktionen ∑ M III =0 ∑ M A=0 ∑ F ix=0 A 1  S2 9 7 5 II 4 VI F 8 FAy a a III S6 Ermittlung der Stabkräfte ∑ F ix=0 V IV FAx  S 4=F Ay  S 6=−S 5⋅ 2 2  S 5=− ⋅F 3 3 I 6 a • • • • S5 I 2 =− ⋅F II 3 FAy Gleichgewicht an I 6 von 20 S4 a B FBy  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Cremonaplan (S. 110) Lageplan Auflagergrößen Nullstäbe kennzeichnen Kraftecke schließen (Beginn bei Knoten mit 2 Unbekannten; mathematisch positiver Knoten-Umlauf) jede Kraft kommt nur einmal im Cremonaplan vor • 10 VI 13 9 11 IIX A V Nullstab 4 II 5 7 12 F VII 8 IV 6 12 1 3 I III 2 Lageplan FAx a a a a IIX FAx a • • • • 11 13 VI B Cremonaplan FBx 4 FBx I 1 II 3 2 10 5 V III 6 9 Schwerpunkt rs = 1 ⋅∫ r⋅dF G FG rS: x S: yS: Li: Lges: Ai: Ages: Vi: Vges: x i: (S.136) allgemein xS = ∫ x⋅dL (S. 140) ∫ x⋅dA (S. 142) ∫ x⋅dV (S.141) ∑ Li⋅xi ∑ Li yS= ∑ Ai⋅xi ∑ Ai yS= ∑ V i⋅xi ∑Vi yS= L ges Linienschwerpunkt xS = A ges Flächenschwerpunkt xS = V ges Ortsvektor Schwerpunkt Schwerpunktkoordinate in x-Richtung Schwerpunktkoordinate in y- Richtung Einzellängen Gesamtlänge Einzelflächen Gesamtfläche Einzelvolumen Gesamtvolumen Schwerpunktkoordinate in x-Richtung der Einzelteile Volumenschwerpunkt Guldin'sche Regel (rotationssymmetrische Teile) A=2 ⋅y S⋅s A: Oberfläche Oberfläche V: yS: s: V =2 ⋅y s⋅A Volumen 7 von 20 Volumen Schwerpunktkoordinate in y-Richtung Länge einer Mantellinie  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Reibung Haftreibung R H =0⋅N ρ0 F Fn (S. 147) (Coulombsches Gesetz) tan o= Ft RH =0 N Gleitreibung RG =G⋅N N G 0 (S. 149) 0 S =S 1⋅e Rmax (S. 147) Seil- und Riemenreibung  ⋅ R=S 2−S 1=S 1⋅e −1 M =a⋅R ρ0 S 2S 1 (S. 157) (S. 157) 0⋅ (S. 157) RH: μ0: ρ0: F: N: Haftreibkraft Haftreibzahl Reibungswinkel Kraft Normalkraft RG: Gleitreibkraft μG: Gleitreibzahl N: Normalkraft R: M: S: β: μ0: a: Reibkraft übertragbares Moment Seilreibung Umschlingungswinkel Haftreibzahl Radius der Riemenscheibe H: V: η: q: Horizontalkraft Vertikalkraft Durchhang Streckenlast a: b: l: x: H: L: Q: S: V: η: Seillänge horizontal Seillänge vertikal Seillänge ohne Durchhang (gedacht) Laufvariable Horizontalkraft Seillänge Seilgewicht Seilkraft Vertikalkraft Durchhang Seile, Ketten, Stabketten Seile unter kontinuierlicher Belastung H⋅' ' =−q x (S. 160) Differentialgleichung des Durchhangs H⋅y ' ' =V ' =q  x (S. 161) Differentialgleichung der Seilkurve Seile mit schwachem Durchhang Q⋅x = ⋅a− x (S. 160) 2⋅H⋅a   max x= a Q⋅a = 2 H⋅8 (S. 160)   b Q  a 2⋅H b Q V min  x=0=H⋅ − a 2⋅H V max  x=a=H⋅ S =  H V 2 L≈l  2   (S. 163) (S. 163) q * 2a 4 24⋅H 2⋅l (S. 163) * q= Q Q ≈ L l 8 von 20  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Seile unter Eigengewicht (bei beliebigem Durchhang) H q* a: Seillänge horizontal y= *⋅cosh ⋅ x− x 0  C 1 (S. 165) b: Seillänge vertikal H q [ { [ ] ] [ ]} H q* q* L= *⋅ sinh ⋅ a−b sinh ⋅x 0 H H q S =  H 2V 2 q *= (S.166) (S. 165) Q Q ≈ L l l: q*: x: H: L: Q: S: Seillänge ohne Durchhang (gedacht) Streckenlast Laufvariable Horizontalkraft Seillänge Seilgewicht Seilkraft Stützlinien von Bogenträgern Stützlinie des stetig gekrümmten Bogenträgers mit konstanter Vertikallast q⋅a 2 (S. 166) H D= 8⋅h D=  H V 2 D h a V D =q⋅ 2 HD HD D a D 2 D VD (S. 166) VD Stützlinie des überschütteten Bogenträgers  y' ' ⋅h− y=0 HD h1 h Differentialgleichung =⋅g y=h−C 1⋅cosh y HD HD x [ x ⋅ x−C 2  HD ] D D VD VD Hydrostatik p= dF dA = dm dV A: F: V: m: p: ρ: 9 von 20 Fläche Kraft Volumen Masse Druck Dichte  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Kinematik Bewegung eines Punktes Im karthesischen Koordinatensystem e x  y t ⋅ e y z t ⋅ e z (S. 1) r t = x t ⋅ e x  y˙ ⋅ e y  z˙⋅ ez v =r˙ = x˙⋅ ∣v∣=  x˙ 2 y˙ 2 z˙ 2=  v 2x v 2y v 2z e x  y¨ ⋅ e y  z¨⋅ ez a =v˙ = r¨ = x¨ ⋅ ∣a∣=  x¨ 2 y¨ 2 z¨ 2=  a 2x a 2y a 2z (S. 2) (S. 3) Im Polarkoordinatensystem e r (S. 4) r =r t ⋅ e r r⋅⋅ v =r˙ t = r˙⋅ ˙ e d == ˙ dt Beschleunigung Einheitsvektoren Ortsvektor Geschwindigkeit e: v: a: R: Einheitsvektoren Geschwindigkeit Beschleunigung Abstand zum Momentanzentrum a: e: r: v: α: φ: ω: Beschleunigung Einheitsvektoren Ortsvektor Geschwindigkeit Winkelbeschleunigung Winkel von Ortsvektor Winkelgeschwindigkeit (S. 2) Im Normal-Tangential-System (Ebene) e t (S. 3) v =v⋅ v2 e  ⋅ e a = v⋅ ˙ t R n a: e: r: v: (S. 4/5) 2 r˙⋅ a =v˙ =r¨ = r¨ −r⋅ ˙ ⋅er  r⋅2⋅ ˙ ⋅e ¨ 2 d  = ¨ == ˙ dt (S. 5) Umrechnung karthesische, polare Koordinaten cos  −sin v r cos  sin v x vx vr = ⋅ = ⋅ sin cos  −sin cos  v y vy v v   gilt analog für Beschleunigung     Sonderfall: Ebene Kreisbewegung v=r⋅ (S. 11)  [ ]= 1 s ⋅n [ ] 1 min a: n: r: v: ω: (S. 11) 30 e r r⋅⋅ a =v˙ =−r⋅ ˙ ⋅ ¨ e˙ 2 (S.13) 10 von 20   Beschleunigung Drehzahl Kreisradius Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit (S. 7)  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Bewegung starrer Körper Translation Es gelten die Gleichugen für die Punktbewegungen, da sich der Körper nicht dreht! Rotation  r v = r˙ =× (S. 15) a =v˙ =r¨ = × ˙ r  ×  r˙  (S. 15) Allgemeine Bewegung rP= r0r (S. 17) e v = v0⋅r⋅  (S. 17) vT Euler × ˙ r     ×  r ¨0  × a = r  aT at (S. 18) aZ Bewegung in der Ebene e t (S. 20) v = v0⋅r⋅ 2 en a = a0 ⋅r⋅ ˙ e t  ⋅r⋅ (S. 20) Geschwindigkeitspol (Momentanzentrum) vA vB = = (S. 21) rA rB a: r: v: ω: Beschleunigung Ortsvektor Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit a: at: aT: aZ: e: rP: r0: r: v: v 0: v T: ω: Beschleunigung Tangentialbeschleunigung Translationsbeschleunigung Zentripedalbeschleunigung Einheitsvektor Ortsvektor Vektor der Translation Vektor der Rotation Geschwindigkeit Rotationsgeschwindigkeit Translationsgeschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit a: e: r: v: ω: Beschleunigung Einheitsvektoren Ortsvektor Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit r: v: ω: Ortsvektor Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit Methode der gleichen Winkel (S. 23) • • • • • • maßstäblich zeichnen überlegen wie die Geschwindigkeiten orientiert sind Senkrechte zu Geschwindigkeiten ergeben Pol Linie von Pol aus auf Geschwindigkeitsspitze Winkel α übertragen Pol ist Momentanzentrum Pol ω α α vA B 11 von 20 vB A  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Methode der gedrehten Geschwindigkeiten (S. 23) • • • • • maßstäblich zeichnen überlegen wie die Geschwindigkeiten orientiert sind Startgeschwindigkeit um 90° drehen Parallele zu Verbindungsstange zeichnen resultierende Geschwindigkeit um 90° drehen (in gegengesetze Richtung) Relativbewegung vabs=  r˙0× r˙rel  rrel   vF vrel vA B A vB aabs= r¨0 × × vrel   v˙rel ˙ rrel  ×   ×  rrel  2⋅  aF aabs: aF: aC: arel: r0: aC arel Beschleunigung Führungsbeschleunigung Coriolisbeschleunigung Relativbeschleunigung Vektor vom raumfesten zum bewegten Koordinatensystem rrel: Vektor vom bewegten Koordinatensystem zu einem Punkt v abs: Geschwindigkeit v F: Führungsgeschwindigkeit v rel: Relativgeschwindigkeit ω: Winkelgeschwindigkeit 12 von 20  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Kinetik Grundbegriffe Arbeit ⋅d r =∣F ∣⋅∣d r∣⋅cos =F⋅cos ⋅ds=F t⋅ds dW = F W =∫ dW =∫ F t⋅ds=∫  F x⋅dxF y⋅dyF z⋅dz  W =−∫ dU =−U 2−U 1 =U 1−U 2 (S. 2) für F ist Potentialkraft W =∫ M t⋅d  (s. 3) Arbeit aus Drehmoment Leistung dW P= dt P=M t⋅ (S. 3) (S. 3) Leistung aus Drehmoment Wirkungsgrad P P P P  ges= ab = 1 ⋅ 2⋅ ab =1⋅2⋅3 P zu P zu P 1 P 2 (S. 4) (S. 1) r: s: F: M: U: W: β: φ: Richtungsvektor der Bewegung Weg Kraft Moment Potential Arbeit Winkel zwischen F und r Drehwinkel t: M: P: W: ω: Zeit Moment Leistung Arbeit Winkelgeschwindigkeit P: η: Leistung Wirkungsgrad a: m: t: v: F: Beschleunigung Masse Zeit Geschwindigkeit Kraft m: v: E: U: W: Masse Geschwindigkeit kinetische Energie Potential Arbeit Kinetik des Massepunktes (Newton) Grundgesetz der Bewegung d v FR=∑ F i =m⋅ =m⋅a (S. 5) dt quasi statische Gleichung FR=m⋅a =0 (S. 5) Trägheitskräfte, d'Alembertsche Hilfskraft Arbeits- und Energiesatz 1 W 12= ⋅m⋅v 22 −v 12 =E 2−E 1 2 W 12=U 1−U 2=E 2−E 1 U 1E 1=U 2E 2=const. (S. 5) (S. 5) Energieerhaltungssatz 13 von 20  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Impulssatz p12=m⋅ v2− v1 = p2− p1 ∫ FR⋅dt=0 für gilt (S. 5) m⋅ v 2=m⋅ v 1=const. m: p: t: v: F: (S. 5) Masse Impuls Zeit Geschwindigkeit Kraft Impulsmomenten-, Flächen- und Drehimpulssatz  =r ×m⋅v =r ×p (S. 11) D Drall  =r ×m⋅d v = d ⋅r ×m⋅v = dD = D ˙ M R =r × F dt dt dt (S. 11) Impulsmomentensatz d d d2 A M R= ⋅r ×m⋅v =m⋅ ⋅r ×v =2⋅m⋅ 2 dt dt dt Flächensatz t2 t2 t1 t1  ∫ M R⋅dt=∫ ddtD⋅dt= D2− D1 (S. 12) Drehimpulssatz M R =0 für gilt 1= D 2=const. D (S. 12) (S. 12) m: p: r: t: v: A: D: F: M: Masse Impuls Ortsvektor Zeit Geschwindigkeit Fläche Drall Kraft Moment a: m: F: Beschleunigung Masse Kraft m: v: W: Masse Geschwindigkeit Arbeit m: p: v: F: Masse Impuls Geschwindigkeit Kraft Kinetik des Massepunktesystems Schwerpunktsatz n n ∑ F i =∑ mi⋅ai =m⋅a S i=1 (S. 12) i=1 Arbeitssatz n W 12=∑ i=1 mi 2 ⋅ v i2 −v i12  2 (S. 13) Falls kein Potential vorliegt (keine Verluste), dann gilt der Energieerhaltungssatz! Impulssatz n p2− p1=∑ mi⋅ vi2 − vi1 =m⋅ vS2 − vS1  (S. 13) i=1 für ∑ F i =0 gilt ∑ mi⋅v i1=∑ mi⋅vi2=const. m⋅vS1=m⋅vS2 =const. 14 von 20  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Impulsmomentensatz  ˙ d dD  M R= ⋅∑  ri ×m⋅ v i = =D dt dt D: MR: m: r: v: (S. 16)  =∑  ri ×m⋅ D vi  Drehimpulssatz  D  2− D 1 ∫ M R dt=∫ d D= für (S. 16) Drall resultierendes Momemt Masse Ortsvektor Geschwindigkeit D: Drall MR: resultierendes Momemt 1= D2 =const. M R=0 folgt D Kinetik des starren Körpers Translation 1 rF = ⋅∫ r dm m (S. 22) Definitionsgleichung für Massenmittelpunkt Rotation (Achse fest) M Rx=−˙ z⋅I xz 2z⋅I yz M Ry =−˙ z⋅I yz 2z⋅I xz M Rz =˙ z⋅I z W 12=∫ I z (S: 24) d z I ⋅d = z⋅2z −2z  dt 2 2 m: r: rF: Masse Ortsvektor Führungsvektor D: I: MR: W: ω: Drall Massenträgheitsmomente resultierendes Momemt Arbeit Winkelgeschwindigkeit (S: 24) 1 Arbeitssatz d D 2− D1=∫ I z⋅ ⋅dt= I z⋅ z − z  dt 2 (S: 24) 1 Drehimpulssatz für Rotationsachse gleich Hauptträgheitsachse folgt: Zentrifugalmomente = 0! Massenträgheitsmomente I z =∫  x 2 y 2  dm=∫ r 2z dm I x =∫  y  z  dm=∫ r dm 2 2 2 x 2 y D: I: (S: 25) Drall Massenträgheitsmomente I y =∫  x z  dm=∫ r dm 2 2 axiale Massenträgheitsmomente I xz =∫ x⋅z dm= I zx I yz =∫ y⋅z dm=I zy (S: 25) I xy =∫ x⋅y dm= I yx Zentrifugal- / Deviationsmomente 1 I p = ⋅ I x I y  I z  2     I x −I xy −I xz  x Dx  D= = −I yx I y −I yz ⋅  y Dy −I zx −I yz Iz Dz z Drall; Trägheitstensor (S: 25) polares Massenträgheitsmoment 15 von 20 (S. 25)  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik M  S  M  S  M  S  M  S  M  S  M  S  I z = I z m⋅r 2z I y = I y m⋅r 2y I x = I x m⋅r 2x I: Massenträgheitsmomente M: Momentanzentrum S: Schwerpunkt i: Trägheitsradius m: Masse m red: reduzierte Masse rred: reduzierter Abstand (theoretisch!) x S: Schwerpunktkoordinate yS: Schwerpunktkoordinate I xy = I xy m⋅x s⋅y s I xz = I xz m⋅x s⋅z s (S. 27) I yz = I yz m⋅y s⋅z s Steinerscher Satz (Umrechnung auf andere Achsen) i=  I m (S. 28) Trägheitsradius m red = I r 2red (S. 28) reduzierte Masse Bewegung starrer Körper in der Ebene I I m m W 12= ⋅v 2S  S⋅2S − ⋅v 2S  S⋅2S =E 2−E 1 2 2 2 2  2 2 Arbeitssatz  1 1  d M R= ⋅− z⋅I zx⋅ e x − z⋅I zy⋅ e y  z⋅I z⋅ ez  dt (S. 36) Impulsmomentensatz d ∣M R∣=M R= dt ⋅S⋅I S  D: E: I: M: W: e: m: p: v: ω: (S. 36) Impulsmomentensatz für z gleich Hauptträgheitsachse  p=m⋅ v2− v1 = p2 − p1 (S. 36) Impulssatz 1  D= I S⋅  2−  1 = D 2− D (S. 36) Drehimpulssatz Allgemeine räumliche Bewegung ∑ M i= D˙ = dtd ⋅∫  r ×v  dm ∑ F i=m⋅a Schwerpunktsatz Drall Energie Massenträgheitsmomente Moment Arbeit Einheitsvektoren Masse Impuls Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit (S. 38) Momentensatz         I x −I xy −I xz  x  D = I⋅ = −I yx I y −I yz ⋅  y −I zx −I zy Iz z I1 0 0 1  D = I⋅ = 0 I 2 0 ⋅ 2 0 0 I 3 3 Drall (S. 36) ˙ 1⋅I 12⋅3⋅ I 3− I 2   M R= ˙ 2⋅I 23⋅1⋅ I 1−I 3  ˙ 3⋅I 31⋅2⋅ I 2−I 1  (S. 38) D: F: I: I: M: a: m: r: v: ω: (S. 39) Eulersche Bewegungsgleichungen für Hauptträgheitsachsen in Schwerpunkt 16 von 20 Drall Kraft Massenträgheitsmomente Trägheitstensor Moment Beschleunigung Masse Ortsvektor Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik m⋅v 2S 1 2 2 2 E=  ⋅ I 1⋅1  I 2⋅2 I 3⋅3  2 2 D: E: I: M: m: v: ω: (S. 39) kinetische Energie ∫ M R dt=∫ d D = D2− D1 (S. 39) Drehimpulssatz  R=0 folgt D  2= D 1=const. , Für M d. h. Drallvektor behält seine Richtung bei. Drall kinetische Energie Massenträgheitsmomente Moment Masse Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit Relativbewegung aabs= r¨0× × vrel  v ˙ rrel ×   ×  rrel  2⋅ ˙rel  aC aF Beschleunigung FR=m⋅a =m⋅ a F m⋅ a C m⋅arel (S. 44) Grundgesetz Aufstellen von Bewegungsgleichungen (S. 44) arel aabs: aF: aC: arel: r0: Beschleunigung Führungsbeschleunigung Coriolisbeschleunigung Relativbeschleunigung Vektor vom raumfesten zum bewegten Koordinatensystem rrel: Vektor vom bewegten Koordinatensystem zu einem Punkt v rel: Relativgeschwindigkeit ω: Winkelgeschwindigkeit Prinzip von d'Alembert (S. 45) aus FR =m⋅ a folgt FR−m⋅a =0 mit  a =v˙ = r¨ ˙ folgt M − D ˙ =0 aus M R = D R Hilfskraft und -moment in negativer Richtung einführen! • • • geeignetes KOS wählen freischneiden und Größen antragen Gleichgewichtsbedingungen aufstellen Lagrange-Gleichungen d ∂E ∂E (S. 54) Q= − dt ∂ q˙ ∂q   q: E: L: U: Lagrange-Gleichung 1. Art   d ∂L ∂L − =0 dt ∂ q˙ ∂q (S. 55) Lagrange-Gleichung 2. Art L=E −U Lagrange-Funktion q=s q= ˙ s˙ =v Q=F q= q= ˙ ˙ = Q=M 17 von 20 allgemeine Koordinate kinetische Energie Lagrange-Funktion potentielle Energie  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Stoß Allgemeine Vorbemerkung v −v k = e2 e1 (S. 64) v a1−v a2 k: v e: v a: Stoßzahl, in Normalrichtung Stoßzahl Geschwindigkeit nach dem Stoß Geschwindigkeit vor dem Stoß 0k 1 k Holz Glas Stahl plastisch elastisch 0,50 0,95 0,65 0,00 1,00 Zentraler, gerader Stoß 1 v e1= ⋅[ m ⋅v m2⋅v a2 −k⋅m2⋅v a1−v a2  ] m1m2 1 a1 1 v e2= ⋅[ m2⋅v a2m 2⋅v a2k⋅m 2⋅v a1−v a2  ] m1 m2 (S. 65) Geschwindigkeiten im Bereich e v *= 1 ⋅m1⋅v a1m 2⋅v a2  m1m2 k: m: v: E: (S. 66) Geschwindigkeit im Bereich g 1 m ⋅m  E I = ⋅ 1 2 ⋅v a1−v a2 2 2 m1m 2 Stoßzahl Masse Geschwindigkeit kinetische Energie (S. 66) Energieverlust in Phase Ι (Zusammenstoß) 1 m ⋅m  E I I =− ⋅ 1 2 ⋅v e2 −v e1 2 2 m1m 2 (S. 66) Energieverlust in Phase ΙΙ (Auseinanderdriften) 1 m ⋅m  E ges = ⋅ 1 2 ⋅v a1−v a2 2⋅1−k 2 2 m1m2 (S. 66) Gesamtenergieverlust Zentraler, schiefer Stoß v a1=v a1⋅cos  v a2 =v a2⋅cos  (S. 68) v e1=v e1⋅sin ' v e2=v e2⋅sin  ' ve 1 α' α t ve β 2 β' n va va Neues v in Formeln vom zentralen, 1geraden Stoß einsetzen und damit weiterrechnen! 2 18 von 20  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Allgemeiner, exzentrischer Stoß I m 2red = 2A (S. 69) A l ω l: m: v: IA: ω: reduzierte Masse auf B v 2(B) =⋅l m (S. 69) Geschwindigkeit von B 1 v l m 2, IA Länge von A bis B Masse Geschwindigkeit Massenträgheitsmoment um A Winkelgeschwindigkeit 1 B Desweiteren gelten die Formeln des zentralen, geraden Stoßes! Allgemeiner Drehstoß I m1red = 21 (S. 69) l1 v 1(B)=1⋅l 1 m 2red = I2 2 l2 ω1 (S. 69) v 2(B) =2⋅l 2 ω2 I1 (S. 69) l: m: v: I: ω: Abstand Masse Geschwindigkeit Massenträgheitsmoment Winkelgeschwindigkeit I2 B l2 l1 (S. 69) Desweiteren gelten die Formeln des zentralen, geraden Stoßes! Schwingungen Freie, ungedämpfte Schwingung m⋅g (S. 76) x stat = c c: f: g: m: x: T: ω0: statische Ruhelage c x¨  ⋅x=0 m (S. 76) Schwingungsdifferentialgleichung 0 =  c m (S. 76) Eigenkreisfrequenz T=  2⋅ m =2⋅⋅ c 0 Schwingungsdauer (S. 76) f= 1 T (S. 76) Frequenz 19 von 20 Federrate Frequenz Fallbeschleunigung Masse Auslenkung Schwingungsdauer Eigenkreisfrequenz  Fachhochschule Kempten Formelsammlung Technische Mechanik Bestimmung der Federrate Elastisches System (Stabmasse wird vernachlässigt) c= 3⋅E⋅I l3 c= (S. 76) 48⋅E⋅I l3 E, I m l E, I m c: l: E: I: Federrate Abstand E-Modul Flächenmoment m: m F: x: E: angehängte Masse Federmasse Auslenkung kinetische Energie c: l: G: I t: φ: ω: Federrate Federlänge Schubmodul Flächenmoment der Torsion Drehwinkel Winkelgeschwindigkeit l/2 l Federrate bei Federschaltungen 1 1 =∑ c ges =∑ ci c ges ci Reihenschaltung Parallelschaltung Berücksichtigung der Federmasse m x˙ 2 E kin= ⋅ m F (S. 79) 2 3   Drehschwingung G⋅I t (S. 80) c= l Drehfederrate 2  ¨ 0⋅=0 (S. 80) Schwingungsdifferentialgleichung 20 von 20