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1. Si S ∼ T y U ∼ V , demuestre que S × U ∼ T × V .
2. Demuestre que Qn es numerable.
3. Pruebe que (−1, 1) ∼ R (Sugerencia: Defina ϕ : (−1, 1) → R como ϕ(x) =

x
1−|x|

para x ∈ (−1, 1).)

4. Pruebe que cualesquiera dos intervalos con m´as de un punto son equivalentes.
5. Demuestre las siguientes afirmaciones:
El conjunto de los n´
umeros algebraicos E = {x ∈ R : p(x) = 0 con p ∈ Z[x]} es numerable.
Dado x ∈ R decimos que x es trascendente si no es algebraico. El conjunto de los n´
umeros
trascendentes es no numerable.
6. Sea d : M × M → R una m´etrica. Definimos D : M × M → [0, 1] como sigue:
D(x, y) = m´ın {d(x, y), 1} .
Pruebe que D es una m´etrica y que para todo  > 0 existe δ > 0 talque
{y : D(x, y) < δ} ⊂ {y : d(x, y) < }
7. Sea d : M × M → R una m´etrica, definimos D : M × M → [0, 1] como sigue:
D(x, y) =

d(x, y)
.
1 + d(x, y)

Pruebe que D es una m´etrica.
8.

Sea d : M × M → R una m´etrica. Pruebe la desigualdad tetrah´edrica:
|d(x, y) − d(z, w)| ≤ d(x, z) + d(y, w)
para toda x, y, z, w ∈ M .
Sea d : M × M → R una funci´
on talque d(x, y) = d(y, x) > 0 para toda x 6= y ∈ M , talque
d(x, x) = 0 para toda x ∈ M y que satisface la desigualdad tetrah´edrica. Pruebe que d es una
m´etrica.

9. ¿Cu´
ales de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas? Argumenten sus respuestas.
¯
Int(E) = Int(E)
¯
E = Int(E)
¯ = ∂E
∂E
∂E ◦ = ∂E
¯ ◦
E ◦ = (E)
E 0 = ∂E
(E c )c = E ◦
¯ \ E◦
∂E = E
∂E ∩ E ◦ = ∅
(E − F )◦ = E ◦ − F ◦
10. Sabemos que dado E ⊆ (X, d), E = E ∪ E 0 = E ∪ ∂E
Demostrar que E es un conjunto cerrado para cualquier conjunto E.
¿Es cierto que ∂E ⊆ E 0 ´
o E 0 ⊆ ∂E?.
¿Bajo que condiciones ∂E = E 0 ?.
E = {x ∈ X : d(x, E) = 0} donde d(x, E) = ´ınf {d(x, z) : z ∈ E}.
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11. Sea (X, d) un espacio m´etrico, Y, Z, U ⊆ X tales que Y es denso en Z y Z es denso en U , demostrar
que Y es denso en U .
12. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Probar que para toda A, B ⊆ X
(A ∪ B)0 = A0 ∪ B 0 .
(A \ A◦ )◦ = ∅.
Ext(A ∪ B) = Ext(A) ∩ Ext(B).
Ext(∅) = X.
Ext(X \ Ext(A)) = Ext(A).
[
[
Eα . Mostrar que la contenci´on puede ser propia.
Si {Eα } ⊆ X entonces
Eα ⊆
α

Si

S

α

α∈I

Eα es cerrado. Probar que

[

[

Eα =

α

Eα .

α∈I

13. Sea A ⊂ Rp un conjunto no numerable. Pruebe que A0 es no numerable.
14. Decimos que un punto x ∈ Rp es un punto de condensaci´on de A ⊂ Rp si Br (x)∩A es no numerable.
Pruebe: Todo conjunto cerrado A puede escribirse como la uni´on disjunta A = P ∪N de un conjunto
perfecto P y otro a lo m´
as numerable N .
15. Demuestre que en un espacio m´etrico general (M, d), el ser acotado y cerrado no implica compacidad
(Sugerencia:
 Sea M = (0, ∞). Examine la forma de las bolas cuando la m´etrica asociada a M es


d(x, y) =  x1 − y1 . Tome a H = [1, ∞) como probable contraejemplo).
16. ¿Es cierto que la uni´
on de dos conjuntos conjuntos compactos es compacto? ¿Qu´e sucede con la
intersecci´
on? Establezca las propiedades correspondientes a las cuestiones que acaba de analizar en
caso de tener uniones ( intersecciones) finitas o numerables.
17. Decida cu´
ales de los siguientes conjuntos son compactos usando solamente la definici´on de cubiertas:
[0, 1]
Q ∩ [0, 1]
18.

Sea A ⊂ Rp no vac´ıo y acotado, def´ınase K = {x ∈ Rp : d(x, A) ≤ 1}. Demostrar que K es
compacto.
Si A ⊂ Rp acotado, entonces A, A0 y ∂A son todos compactos, mientras que A◦ lo es si y s´olo
si A 6= ∅.

19. Un espacio m´etrico es llamado separable si contiene un subconjunto denso numerable. Pruebe que
Rn es separable.
20. Se le llama base a una colecci´
on {Vα } de subconjuntos abiertos de X que cumplen con lo siguiente:
para todo x ∈ X y cada conjunto abierto G ⊂ X tal que x ∈ G, tenemos x ∈ Vα ⊂ G para alguna
α. Es decir, cada conjunto abierto en X es la uni´on de una subcolecci´on de conjuntos de {Vα }.
Demuestre que cada espacio m´etrico separable tiene una base numerable.
21. Recuerde que A¯ es la cerradura del conjunto A.
De un ejemplo de un conjunto no conexo cuya cerradura sea conexa.
Si A es conexo ¿A¯ es conexo?
Si A es perfecto ¿A¯ es perfecto?
Si P es perfecto y K compacto ¿P ∩ K es necesariamente perfecto?, ¿es necesariamente
compacto?
Cerraduras e interiores de conjuntos conexos ¿son siempre conexos?
22. ¿Existe un conjunto perfecto en R que consista de s´olo n´
umeros racionales? ¿Existe alguno que
pueda no contener n´
umeros racionales?

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