5dynamika (PDF)

DYNAMIKA
DYNAMIKA: badanie ruchu ciał materialnych oraz związków
pomiędzy siłami i ruchem, korzystając z pojęć kinematyki.
SIŁA – pojęcie pierwotne
SIŁA – wynik wzajemnego mechanicznego oddziaływania
na siebie co najmniej dwóch ciał. Oddziaływania te przejawiają się przez wyprowadzenie ciała ze stanu spoczynku
lub zmianę parametrów ruchu ciała już poruszającego się1.

PRAWA NEWTONA (1687)
I prawo Newtona (prawo bezwładności)
II prawo Newtona (prawo zmienności ruchu)
III prawo Newtona (prawo akcji i reakcji)
Prawa Newtona są słuszne przy założeniu istnienia NIERUCHOMEGO UKŁADU ODNIESIENIA, związanego z ABSOLUTNĄ PRZESTRZENIĄ oraz czasu niezależnego od układu
odniesienia - CZASU ABSOLUTNEGO.
Układ Galileusza, układ bezwładnościowy (inercyjny)
W ZAGADNIENIACH TECHNICZNYCH
UKŁADEM ODNIESIENIA JEST ZIEMIA
(w pewnych przypadkach – SŁOŃCE).

1

Uwaga – szersza definicja pojęcia siły została przedstawiona we wprowadzeniu do mechaniki (rozdz. 1).

05 Dynamika

63

DYNAMICZNE RÓWNANIE RUCHU
PUNKTU MATERIALNEGO
MASA
(stały współczynnik
proporcjonalności)

 
ma  P

SIŁA DZIAŁAJĄCA NA
PUNKT MATERIALNY

PRZYSPIESZENIE PUNKTU
wywołane oddziaływaniem siły P

SKALARNIE:
ma = P
MASA [kg]
PRZYSPIESZENIE [m/s2]
SIŁA: P = m  a = kg

m
= 1 NEWTON (niuton)
s2

ZASADA NIEZALEŻNOŚCI DZIAŁANIA SIŁ
punktu materialnego na który działają siły
Przyspieszenie


P1, P2 , ...., Pn , równe jest sumie geometrycznej przyspieszeń,
które miał ten punkt, gdyby każda z tych sił działała na niego
osobno.

05 Dynamika

64

ZAGADNIENIE (ZADANIE) PROSTE

  
x
( t ),y( t ),z( t )
OBIEKT
P
(punkt, ciało)

Znane skutki – nieznane przyczyny

Rozwiązywanie zagadnień prostych:
Dane: równania ruchu x  x(t ), y  y(t ), z  z(t )
Szukane: siły
Px  m  x
Py  m  y

Pz  m  z
Wypadkowa wartość siły: P  Px2  Py2  Pz2
Cosinusy kierunkowe wypadkowej:



Py
Px
P
cos(P, x )  ,cos(P, y )  ,cos(P, z)  z
P
P
P

ZAGADNIENIE (ZADANIE) ODWROTNE
Znane przyczyny – nieznane skutki

Rozwiązywanie zagadnień odwrotnych:
 
Dane: siły P  P( t ) , współrzędne położenia (x, y, z), prędkość

   
P  P( t, x, x )
x  x(t ), y  y(t ), z  z(t )
Szukane: równania ruchu
m  x  Px
METODY NUMERYCZNE
m  y  Py
ZAŁOŻENIE: P = const


m  z  Pz

05 Dynamika

65

RUCH SWOBODNY
Ruch swobodny nie jest ograniczony działaniem więzów:

 
ma  P

Opis ruchu punktu materialnego w ruchu swobodnym we współrzędnych kartezjańskich przy stałej sile czynnej P = const dla
znanego przyspieszenia a( t )  a X (t ), a y ( t )  x(t ), y(t ),:
Y

Składowe siły P:

Py

Px  m  x( t ) 
P( t )  Px2  Py2 .

Py  m  y( t ) 

Punkt materialny o masie m

y(t)

Px
r(t)

y0

Tor punktu

x(t)

X

x0

Współrzędne ruchu punktu:

Warunki początkowe: dla t = 0
punkt
m startuje z położenia

x 0 =(x0, y0) z prędkością po
czątkową v 0  ( v 0 X , v 0 Y ) .

P
x( t )  x 0  v 0 X  t  x
m
P
y( t )  y 0  v 0 Y  t  y
m

t2
,
2
t2
.
2

RUCH PROSTOLINIOWY PUNKTU MATERIALNEGO:

 
ma  P

II prawo Newtona:


Zależności z kinematyki:

v x  x
a x  v x  x

m  ax  Px



ma  P

Dynamika:

P  P( t, x, x )
m  x  P(t, x, x )
x = x(t, C1, C2)
Warunki początkowe:

( x)t 0  x0,

05 Dynamika

( x )t 0  v 0

66

RUCH KRZYWOLINIOWY PUNKTU MATERIALNEGO.
RZUT UKOŚNY W PRÓŻNI

Równania dynamiczne ruchu dla osi X i Y:

Py = G = mg

Px = 0
m  x  0
v x  x  C1
x  C1t  C2

m  y  mg

gt 2
y
 C3 t  C 4
2

v y  y  gt  C3

Warunki początkowe:

( x ) t 0  0

( y ) t 0  0

( v x )t 0  v 0  cos 

( v y )t 0  v 0  sin 

Stałe całkowania:

C1  v 0  cos  C2  0

C3  v 0  sin  C4  0
v y  v 0  sin   gt

v x  v 0  cos 

gt 2
y  ( v 0  sin  )  t 
2

x  ( v 0  cos  )  t
Równanie toru:

y  x  tg 

g
x2
2
2
2v 0  cos 

Analiza ruchu:

y0
x

1
a
2

xa

a

y h

v 02
sin 2
g
h

amax 

v 02
sin2 
2g

v 02
g

hmax 

dla   45
v 02
2g

dla   90

(rzut pionowy w górę)

05 Dynamika

67

RUCH NIESWOBODNY
Ruch swobodny ograniczony działaniem więzów i ich reakcji.

  
ma  P  R

RUCH PROSTOLINIOWY PUNKTU MATERIALNEGO:

Schemat sił w ruchu nieswobodnym prostoliniowym (z uwzględnieniem sił tarcia)

Przykład ruchu prostoliniowego nieswobodnego:

Równanie dynamiczne ruchu dla osi X:

Równanie dynamiczne ruchu dla osi Y:

m  y  N  G cos 

m  x  G sin  T

y  0

N  G  cos  , T  N  G  cos 
Przyspieszenie ciała w ruchu nieswobodnym:

m  a  G(sin    cos )

05 Dynamika



a  g(sin    cos ) .

68

SIŁA BEZWŁADNOŚCI

 
ma  P 


 
P ma  0
Fikcyjna siła



Siłę  m  a , równą co do wartości iloczynowi masy
i przyspieszenia punktu materialnego, skierowaną
przeciwnie do przyspieszenia, nazywa się
siłą bezwładności lub siłą d’Alemberta.

SIŁA
BEZWŁADNOŚCI

Wypadkowa sił
czynnych działających na punkt

ZASADA D’ALEMBERTA
Podczas ruchu punktu materialnego w każdej chwili
wszystkie siły rzeczywiste działające na punkt materialny
oraz jego siła bezwładności pozostają w równowadze.

Działanie siły d’Alemberta

Dzięki zasadzie d’Alemberta równaniom różniczkowym
ruchu punktu materialnego nadana zostaje postać
równań równowagi (równań statyki)
05 Dynamika

69

ZASTOSOWANIE ZASADY D’ALEMBERTA
Przykład:
Przez gładki krążek przerzucono lekki, doskonale wiotki sznur, do
którego jednego końca przymocowano ciało 1 o masie m1, a drugi
koniec przymocowano do ciała 2 o masie m2 leżącego na chropowatej poziomej płaszczyźnie o współczynniku tarcia . Wyznaczyć
siłę napięcia S w linie oraz wartość przyspieszenia a, z jakim poruszać się będą oba ciała.
Równania dynamiczne ruchu:

m1a  m1g  S

m2a  S  T
T    N, N  m2g T  m2g
g(m1  m2 )
a
m1  m2

m1m2g(1   )
m1  m2
Równania statyki z zastosowaniem siły d’Alemberta:
P( x )  0
(1)
P( y )  0 S  m1a  P  0
S

P( x )  0 S  T  m2a  0
(2)
P( y )  0 N  Q
P  Q
ag
PQ
P  Q(1   )
S
PQ
Q  m2 g P  m1g

05 Dynamika

70

DYNAMIKA UKŁADU CIAŁ SZTYWNYCH

Układy punktów materialnych
Dla układu punktów materialnych w jednorodnym
polu grawitacyjnym środek masy pokrywa się ze
środkiem ciężkości.
SIŁY ZEWNĘTRZNE I WEWNĘTRZNE W UKŁADZIE CIAŁ
SIŁY ZEWNĘTRZNE CZYNNE I BIERNE
Siły zewnętrzne czynne – wywołują ruch.
Siły zewnętrzne bierne (reakcje więzów) – przeciwdziałają ruchowi.
Układ (zbiór) ciał sztywnych – układ mechaniczny
SIŁY WEWNĘTRZNE W UKŁADZIE MECHANICZNYM – siły
oddziaływania między elementami układu (siły zewnętrzne dla
danego elementu).
ZASADA RUCHU ŚRODKA MASY
Środek masy ciała (układu ciał) porusza się jak punkt
o masie równej masie całego układu, do którego przyłożono wszystkie siły zewnętrzne działające na ciało
(układ ciał).

05 Dynamika

71