zbior zadan AMII 2014 (PDF)




File information


This PDF 1.4 document has been generated by TeX / MiKTeX pdfTeX-1.40.10, and has been sent on pdf-archive.com on 07/06/2014 at 12:11, from IP address 78.88.x.x. The current document download page has been viewed 1547 times.
File size: 337.18 KB (64 pages).
Privacy: public file
















File preview


ZBIÓR ZADAŃ

ANALIZA MATEMATYCZNA II

dr Barbara Wikieł, doc. PG
Centrum Nauczania Matematyki i Kształcenia na Odległość
Politechniki Gdańskiej

Gdańsk, 2014

Spis treści
1 Całki
1.1 Całki potrójne . . . .
1.2 Całki krzywoliniowe .
1.3 Całki powierzchniowe
1.4 Elementy teorii pola

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

2 Szeregi
2.1 Szeregi liczbowe . . . . . . .
2.2 Szeregi funkcyjne i potęgowe
2.3 Szereg Taylora i Maclaurina
2.4 Szereg Fouriera . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

3
3
11
18
25

.
.
.
.

30
30
36
40
41

3 Równania różniczkowe
44
3.1 Równania różniczkowe rzędu pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Równania różniczkowe liniowe rzędu n o stałych
współczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Przekształcenie Laplace’a i jego zastosowanie
60
4.1 Przekształcenie Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Zastosowanie przekształcenia Laplace’a do
rozwiązywania równań różniczkowych liniowych
rzędu n przy danych warunkach początkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 Odpowiedzi do zadań

65

2

Rozdział 1
Całki
1.1

Całki potrójne

Twierdzenie o zamianie całki potrójnej po prostopadłościanie na całkę
iterowaną
Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest ciągła na prostopadłościanie P : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d i
e ¬ z ¬ f (z wyjątkiem co najwyżej zbioru punktów, dającego się pokryć skończoną
liczbą prostopadłościanów, których suma objętości jest dowolnie mała), to
ZZ Z

(1.1)

f (x, y, z)dxdydz =

 
Zb 
Zd Zf




a

P

c







f (x, y, z)dz 
 dy dx



e

Umownie pisze się również
Zb
a

dx

Zd

dy

c

Zf

f (x, y, z)dz

zamiast

e

 
Zb 
Zd Zf




a

c

e







f (x, y, z)dz  dy dx





Całkę występującą po prawej stronie wzoru (1) nazywamy całką dwukrotnie iterowaną
funkcji po prostopadłościanie.

Uwaga
W przypadku spełnienia założeń powyższego twierdzenia, całka (1) jest równa każdej
z pozostałych całek dwukrotnie iterowanych, różniących się od niej tylko kolejnością
całkowania.

Zadanie 1.1.1 Obliczyć całki:
a)

ZZ Z

(x2 + y 2 + z 2 ) dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ¬ x ¬ a, 0 ¬ y ¬ b, 0 ¬ z ¬ c }

V

b)

!

1 1 1
+ +
dxdydz, gdzie V jest obszarem ograniczonym płaszczyznami x = 1,
x y z
V
x = 2, y = 1, y = 2, z = 1 i z = 2.

ZZ Z

3

Zbiór zadań - Analiza matematyczna II

4

Twierdzenie o zamianie całki potrójnej po obszarze normalnym na całkę
iterowaną
¯ określonym następująco
Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym Ω,
Ω = {(x, y, z) : (x, y) ∈ DXY , ϕ(x, y) ¬ z ¬ ψ(x, y)}
normalnym względem płaszczyzny OXY , gdzie funkcje ϕ i ψ są ciągłe na obszarze
regularnym DXY , to

ZZ Z

f (x, y, z)dxdydz =

ZZ

f (x, y, z)dz  dxdy



DXY





ψ(x,y)
Z



ϕ(x,y)

Prawdziwe są również analogiczne wzory dla całek iterowanych po obszarach normalnych
względem pozostałych płaszczyzn układu współrzędnych.
Uwaga
Jeżeli obszar Ω normalny względem płaszczyzny OXY można zapisać w postaci
Ω = {(x, y, z) : a ¬ x ¬ b, f (x) ¬ y ¬ g(x), ϕ(x, y) ¬ z ¬ ψ(x, y)}
to zachodzi równość
ZZ Z

f (x, y, z)dxdydz =



Zb





a




g(x)
Z
Z  ψ(x,y)

f (x)




ϕ(x,y)







f (x, y, z)dz dy  dx





Zadanie
1.1.2 Obliczyć całki:
ZZ Z
dxdydz
, gdzie bryła V ograniczona jest płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0 i
a)
(1 + x + y + z)4
V
x + y + z = 1,
b)

ZZ Z

y cos(x + z)dxdydz, gdzie bryła V ograniczona jest płaszczyznami y = 0, z = 0,

V

x + z = π2 i

powierzchni¸a y = x,
c)

ZZ Z

(2x+3y −z) dxdydz, gdzie V jest graniastosłupem ograniczonym płaszczyznami x = 0,

V

y = 0, z = 0, z = 3 i x + y = 2,

d)

ZZ Z

x2 y 2 z dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ x, 0 ¬ z ¬ xy },

V

e)

ZZ Z

(4 + z) dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : −1 ¬ x ¬ 1, x2 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2 },

V

f)

g)

dxdydz
, gdzie bryła V ograniczona jest płaszczyznami x + z = 3, y = 2
(x + y + z + 1)3
V
i płaszczyznami układu współrz¸ednych,
ZZ Z

z dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ¬ x ¬ 12 , x ¬ y ¬ 2x, 0 ¬ z ¬ 1 − x2 − y 2 }.
ZZ Z

V

Zbiór zadań - Analiza matematyczna II

5

Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce potrójnej
Niech przekształcenie




x = x(u, v, w)
y = y(u, v, w)


z = z(u, v, w)

(1.2)

odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie wnętrze U obszaru regularnego U¯ na wnętrze Ω
¯ przy czym każda z funkcji (2) jest klasy C 1 w pewnym obszarze
obszaru regularnego Ω,
zawierającym U¯ w swym wnętrzu.
Jeżeli ponadto f (x, y, z) jest funkcją ciągłą w obszarze U¯ oraz jakobian przekształcenia
(2) postaci

D(x, y, z)
D(u, v, w)

(1.3)






df
=





∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u

∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v

∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
∂w













jest różny od zera w obszarze U , to
ZZ Z

f (x, y, z)dxdydz =



=

ZZ Z
U



D(x, y, z)


f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) ·
dudvdw
D(u, v, w)

Zbiór zadań - Analiza matematyczna II
Definicja współrzędnych sferycznych, typ I
Położenie punktu P w przestrzeni można opisać trójką liczb (ρ, ϕ, ψ), gdzie
ρ – oznacza odległość punktu P od początku układu współrzędnych, przy czym 0 ¬ ρ <
∞,
ϕ – oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę
OXY a dodatnią częścią osi OX, przy czym 0 ¬ ϕ < 2π,
ψ – oznacza miarę kąta między promieniem wodzącym a płaszczyzną OXY , przy czym
− π2 ¬ ψ ¬ π2 .
Trójkę liczb (ρ, ϕ, ψ) nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu przestrzeni.
Współrzędne kartezjańskie (x, y, z) punktu przestrzeni danego we współrzędnych
sferycznych (ρ, ϕ, ψ) określone są zależnościami

(1.4)





x = ρ cos ϕ cos ψ
y = ρ sin ϕ cos ψ


z = ρ sin ψ

Przekształcenie, które punktowi (ρ, ϕ, ψ) przyporządkowuje punkt (x, y, z) określony
powyższymi wzorami nazywamy przekształceniem sferycznym.
Jakobian przekształcenia sferycznego jest równy
J(ρ, ϕ, ψ) = ρ2 cos ψ

Definicja współrzędnych sferycznych, typ II
Położenie punktu można opisać również trójką liczb (ρ, ϕ, θ), gdzie ρ i ϕ oznaczają jak
poprzednio, natomiast
θ – oznacza miarę kąta między promieniem wodzącym punktu P a dodatnim kierunkiem
osi OZ, przy czym 0 ¬ θ ¬ π.
Współrzędne kartezjańskie (x, y, z) punktu przestrzeni danego we współrzędnych
sferycznych (ρ, ϕ, θ) określone są zależnościami

(1.5)





x = ρ cos ϕ sin θ
y = ρ sin ϕ sin θ


z = ρ cos θ

gdzie 0 ¬ ρ < +∞, 0 ¬ ϕ < 2π i 0 ¬ θ ¬ π.
Jakobian tego przekształcenia sferycznego jest równy
J(ρ, ϕ, θ) = ρ2 sin θ

6

Zbiór zadań - Analiza matematyczna II

7

Definicja współrzędnych sferycznych uogólnionych, typ I




x = aρ cos ϕ cos ψ
y = bρ sin ϕ cos ψ


z = cρ sin ψ
Maksymalny zakres zmiennych:
0 ¬ ρ < ∞,

0 ¬ ϕ < 2π,



π
π
¬ψ¬
2
2

Jakobian:
J(ρ, ϕ, ψ) = abcρ2 cos ψ

Definicja współrzędnych sferycznych uogólnionych, typ II




x = aρ cos ϕ sin θ
y = bρ sin ϕ sin θ


z = cρ cos θ
Maksymalny zakres zmiennych:
0 ¬ ρ < ∞,

0 ¬ ϕ < 2π,

0¬θ¬π

Jakobian:
J(ρ, ϕ, θ) = abcρ2 sin θ

Zbiór zadań - Analiza matematyczna II

8

Definicja współrzędnych walcowych (cylindrycznych)
Położenie punktu P w przestrzeni można opisać trójką liczb (ρ, ϕ, h), gdzie
ρ – oznacza odległość rzutu punktu P na płaszczyznę OXY od początku układu
współrzędnych, przy czym 0 ¬ ρ < ∞,
ϕ – oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę
OXY a dodatnią częścią osi OX, przy czym 0 ¬ ϕ < 2π,
h – oznacza odległość (dodatnią dla z > 0 i ujemną dla z < 0) punktu P od płaszczyzny
OXY , przy czym −∞ ¬ h ¬ ∞.
Trójkę liczb (ρ, ϕ, h) nazywamy współrzędnymi walcowymi.
Współrzędne kartezjańskie (x, y, z) punktu przestrzeni danego we współrzędnych
walcowych (ρ, ϕ, h) określone są zależnościami




x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ


z=h

(1.6)

Przekształcenie, które punktowi (ρ, ϕ, h) przyporządkowuje punkt (x, y, z) określony
powyższymi wzorami nazywamy przekształceniem walcowym.
Jakobian przekształcenia walcowego jest równy
J(ρ, ϕ, ψ) = ρ

Definicja współrzędnych walcowych uogólnionych




x = aρ cos ϕ
y = bρ sin ϕ


z=h
Maksymalny zakres zmiennych:
0 ¬ ρ < ∞,

0 ¬ ϕ < 2π,

−∞ < h < ∞

Jakobian:
J(ρ, ϕ, h) = abρ

Zbiór zadań - Analiza matematyczna II

9

Zadanie 1.1.3 Obliczyć całki:
a)

ZZ Z

x2 dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ¬ R2 },

V

b)

ZZ Z

(x2 + y 2 ) dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ¬ a2 ∧ z ­ 0},

V

c)

ZZ Z

x2

V

d)

ZZ Z q

dxdydz
, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ¬ R2 , x ¬ 0, y ¬ 0, z ­ 0},
+ y2 + z2

x2 + y 2 + z 2 dxdydz, gdzie bryła V ograniczona jest powierzchni¸a x2 + y 2 + z 2 = z,

V

e)

ZZ Z q

x2 + y 2 dxdydz, gdzie bryła V ograniczona jest powierzchni¸a x2 +y 2 = z 2 i płaszczyznami

V

z = 1, z = 0,

f)

ZZ Z

q

z x2 + y 2 dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬



2x − x2 ,

V

0 ¬ z ¬ a},
g)

ZZ Z

z dxdydz, gdzie bryła V ograniczona jest powierzchni¸a z 2 =

V

h2 2
(x + y 2 ) i płaszczyzn¸a
2
R

z = h,
h)

ZZ Z

x2 dxdydz, gdzie bryła V ograniczona jest powierzchni¸a

V

i)

ZZ Z

z dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 :

V

j)

ZZ Z

x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1,
a2
b
c

x2 y 2
+
+ z 2 ¬ 1, x ­ 0, y ­ 0, z ­ 0},
4
9

(1 − 2y + 2z) dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : 36x2 + 9y 2 + 16z 2 ¬ 144},

V

k)

ZZ Z

(y 2 + z 2 ) dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : y 2 + z 2 ¬ 2x ∧ x = 2},

V

l)

ZZ Z q

x2 + y 2 + z 2 dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 − y ¬ 0},

V

m)

n)

z dxdydz
, gdzie bryła V ograniczona jest powierzchni¸a z 2 = 2x2 + 2y 2 oraz
4 − x2 − y 2
V
płaszczyznami x = 0, y = 0 i z = 2 dla x ­ 0, y ­ 0 i z ­ 0,

ZZ Z

ZZ Z



q

z x2 + y 2 dxdydz, gdzie bryła V ograniczona jest powierzchniami x2 + y 2 − 2z = 0,

V

x2 + y 2 + z 2 − 3 = 0 i płaszczyznami układu współrz¸ednych dla x ­ 0, y ­ 0, z ­ 0.






Download zbior zadan AMII 2014



zbior_zadan_AMII_2014.pdf (PDF, 337.18 KB)


Download PDF







Share this file on social networks



     





Link to this page



Permanent link

Use the permanent link to the download page to share your document on Facebook, Twitter, LinkedIn, or directly with a contact by e-Mail, Messenger, Whatsapp, Line..




Short link

Use the short link to share your document on Twitter or by text message (SMS)




HTML Code

Copy the following HTML code to share your document on a Website or Blog




QR Code to this page


QR Code link to PDF file zbior_zadan_AMII_2014.pdf






This file has been shared publicly by a user of PDF Archive.
Document ID: 0000167597.
Report illicit content