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Projet de Modélisation Statistique - Une stratégie optimale de
vente
Amine Hamdaoui, Clémence Lenoir
30 Mai 2014

1

Table des matières
1 Intérêt du problème

3

2 Modélisation

3

3 Une stratégie de vente optimale

4

3.1

Montrons que T (γ) est une stratégie de vente optimale . . . . . . . . . . . . . .

7

4 Estimation de Gamma γ

10

5 Annexe

14

5.1

Code R de la partie IV : estimation de Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2

1

Intérêt du problème

Un armateur met l'un de ses paquebots en vente publique. Il se charge lui-même d'aller
demarcher des acquéreurs et se réserve le droit d'accepter ou de refuser leurs o res de manière
à réaliser un pro t maximum. Etant très pris par ses a aires, il ne peut rendre visite qu'à un
acquéreur par mois, et celui-ci lui fait une o re le 1er jour du mois. A n d'éviter certaines
pratiques malhonnêtes, les o res d'achat que l'armateur reçoit ne sont pas rendues publiques.
Cependant, l'armateur ne doit pas attendre trop longtemps pour accepter une o re. En e et,
il doit d'une part tenir compte du fait que son paquebot, en attendant d'être vendu, est en
mouillage dans la rade de Saint-Nazaire ce qui lui coûte m K-e par mois. D'autre part, il ne
doit pas non plus négliger le taux d'in ation mensuel de α ∈]0; 1[, en un mois, la valeur d'1
e passe à (1 + α).
On a donc :
m ∈ R∗+ : Le coût du mouillage du bateau (en milliers d'euros) dans la baie
α ∈]0; 1[ : Le taux d'in ation mensuel

2

Modélisation

A n de pouvoir comparer les gains associés à chaque o re, il s'agit tout d'abord de les
actualiser en les replaçant sur une même période de temps, par convention celle du mois n =
0. Alors, chaque o re d'achat étant supposée être l'une des réalisation d'une variable aléatoire
et, dans la mesure où il n'est pas possible de prévoir les montants des o res d'achat, l'armateur
décide de dé nir sa stratégie optimale comme étant une stratégie nancière qui maximise son
gain actualisé moyen.
On note Xn la variable aléatoire qui désigne le montant, exprimé en K-e, de la n-ième
o re d'achat.
Pour le mois n ≥ 0, le gain actualisé pour l'armateur est :
n

X
Xn
m

n
(1 + α)
(1 + α)i
i=1

La stratégie de vente optimale correspond au moment T ∈ N pour lequel le gain moyen est
maximisé. La stratégie revient au choix du moment auquel vendre le bateau. Cette stratégie
est modélisée par une variable aléatoire T à valeur dans N.
On se réduit au cas où T ∈ Θ où Θ est l'ensemble des (Fn )n∈N temps d'arrêts presque
sûrement nis. Ici, (Fn )n∈N représente la ltration naturelle du processus (Xn )n∈N , c'est donc
σ(X1 , X2 , ..., Xn ), c'est-à-dire la plus petite tribu rendant (X1 , ..., Xn ) mesurable.
Pour tout T ∈ Θ, on dé nit alors la gain moyen par l'espérance du prix de vente actualisé
au temps d'arrêt T actualisé moins le coût de mouillage actualisé.
n

µ(T ) = E[

X
m
XT
]

(1 + α)T
(1 + α)i
i=1

3

Il s'agit alors de trouver la stratégie optimale de vente, i.e le temps d'arrêt T qui maximise
ce gain moyen.
On fait par ailleurs, l'hypothèse que (Xn )n∈N est une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi intégrable, de densité positive sur ]A; +∞[ où A > 0 et A est
grand.

3

Une stratégie de vente optimale

Pour tout τ ≥ 0, on note T (τ ) le (Fn )n≥0 -temps d'arrêt presque sûrement ni dé ni comme
suit :
m
T (τ ) = inf {n ≥ 0 : Xn +
> τ}
α
m
On remarque alors que Xn + est en fait la partie aléatoire du gain actualisé de l'armateur.
α
En e et,

Xn

(1 + α)n

n
X
i=1

1 n
)
Xn
m
m
1+α
=

1
(1 + α)i
(1 + α)n (1 + α)
1−
1 +
α

m
1 n
Xn

1−(
)
=
(1 + α)n
α
1+α

1
m m

=
X
+
n
(1 + α)n |
{z α } α
1−(

Zn

m
On note donc cette partie "aléatoire" du gain moyen par la variable aléatoire Zn = Xn + ,
α
∀n ≥ 0. Z est alors un variable aléatoire de même loi que Z0 et G la fonction de répartition
de Z . On peut alors réécrire le temps d'arrêt par rapport à Z :
T (τ ) = inf {n ≥ 0 : Zn > τ }
Le temps d'arrêt correspond au premier moment à partir duquel le gain moyen atteint ou
dépasse une certaine valeur dépendant de τ .
On calcule alors le gain moyen pour ce temps d'arrêt T (τ ) en utilisant la variable aléatoire
Zn :
" +∞
#


X
ZT (τ )
Zk
m

=E
∗ 1{T (τ )=k}
µ(T (τ )) = E
α
(1 + α)k
(1 + α)T (τ )
k=0
hT
iT
k−1
{Zk > τ }
Or {T (τ ) = k} =
i=0 {Zi ≤ τ }
4

d'où on déduit que

µ(T (τ )) = E

" +∞
X
k=0

Zk
1
(1 + α)k

(k−1
\
i=0

)#
\
m
{Zi ≤ τ } {Zk > τ }

α

De plus, la suite (Zn )n≥0 est une suite de variables aléatoires indépendantes car c'est une
transformée de (Xn )n≥0 qui est une suite de variables aléatoires indépendantes.
On a donc,

µ(T (τ )) = E

" +∞
X
k=0

#
k−1
Y
m
Zk
1{Zi ≤τ } 1{Zk >τ } −
k
α
(1 + α)
i=0

Et d'après Fubini,

µ(T (τ )) =

=

+∞
X
k=0
+∞
X
k=0

#
k−1
Y
Zk
m
E
1{Zi ≤τ } 1{Zk >τ } −
k
α
(1 + α)
"

i=0

1
(1 + α)k

k−1
Y
i=0



m
E 1{Zi ≤τ } E Zk 1{Zk >τ } −
α

(Par indépendance des Zi et linéarité de l'espérance)

loi,

On
remarque alors que E [1{Zi ≤ τ }] = P (Zi ≤ τ ), et comme les Zi suivent tous la même
Qk−1
k
i=0 P (Zi ≤ τ ) = P (Z ≤ τ ) ce qui donne :

µ(T (τ )) =

+∞
X
k=0




m
1
k
P
(Z

τ
)
E
Z1

{Z>τ
}
α
(1 + α)k | {z }

= E Z1{Z>τ }

G(τ )



+∞
X
k=0

Et comme, 1 + α ≥ 1 et G(τ ) ≤ 1 la série

G(τ )
1+α


Pk

k


m
α

G(τ ) i
)
i=0 (
1+α



µ(T (τ )) = E Z1{Z>τ }

5


k

1
m

G(τ )
α
1−
1+α

converge. On a donc :

Ce qui donne le résultat présenté dans le problème :



µ(T (τ )) = E Z1{Z>τ }

1+α
m

1 + α + G(τ )
α

(1)



On cherche alors à expliciter E Z1{Z>τ } . D'après le théorème de transfert,


E Z1{Z>τ } =

Z

∂G
(x) dx
|∂x{z }

x1x>τ
R

densité de Z

Z

+∞

=
τ

Or les

∂G
x
(x)dx
∂x

∂G
est une fonction continue, par IPP on obtient :
∂x
Z +∞


E Z1{Z>τ } = [−(1 − G(x))x]+∞
+
(1 − G(x))dx
τ
τ

d'où



Z



+∞

E Z1{Z>τ } = lim (−(1 − G(x))) + τ (1 − G(τ )) +
x→+∞

(1 − G(x))dx
τ

Or lim (−(1−G(x))) = 0 car on suppose que G converge vers 1 à une vitesse exponentielle
x→+∞

ce qui est cohérent compte tenu de la défnition de X .
On en déduit donc :



E Z1{Z>τ } = τ (1 − G(τ )) +

Z

+∞

(1 − G(x))dx

(2)

τ

En réinjectant (2) dans (1), on obtient :



Z +∞
1+α
m
τ (1 − G(τ )) +
(1 − G(x))dx −
µ(T (τ )) =
1 + α + G(τ )
α
τ

(3)

G étant dérivable en tant que fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité (on
note g sa dérivée), la fonction précédente µ(T (t)) est dérivable sur R+ par rapport à t. On a
donc pout t ∈ R+ :

6



Z +∞
(1 + α)g(t)
(1 − G(x))dx
t(1 − G(t)) +
µ (T (t)) =
(1 + α + G(t))2
t
(1 + α)
+
[(1 − G(t)) − tg(t) − (1 − G(t))]
1 + α + G(t)
0

D'où



Z +∞
g(t)
t(1 − G(t)) +
(1 − G(x))dx − tg(t) = 0
1 + α + G(t)
t
Z +∞
⇔ t(1 + α + G(t)) = t(1 − G(t)) +
(1 − G(x))dx
t
Z +∞
⇔ αt =
(1 − G(x))dx

µ0 (T (t)) = 0 ⇔

t

Il reste à montrer que le point γ qui véri e cette égalité est un maximum global.
3.1

Montrons que

T (γ)

est une stratégie de vente optimale

Dans un premier temps, remarquons que E (max(Z, γ)) = γ + αγ . En e et,

E (max(Z, γ)) = E (max(Z, γ)(1Z>τ + 1Z≤τ ))
= E (max(Z, γ)1Z>τ ) + E (max(Z, γ)1Z≤τ )
= E (Z1Z>τ ) + γE (1Z≤τ )
= E (Z1Z>τ ) + γG(γ)
Et d'après (2)

Z
E (max(Z, γ)) = γ(1 − G(γ)) +

+∞

(1 − G(x))dx + γG(γ)
γ

Z

+∞

(1 − G(x))dx

=γ+
γ

Et par dé nition de γ :

E (max(Z, γ)) = γ + γα
On considère ensuite le processus suivant :

∀n ∈ N, Vn =
7

max(Zn , γ)
(1 + α)n

(4)

Montrons qu'il s'agit d'une surmartingale :

∀n ∈ N, Vn est Fn -mesurable car Zn est Fn -mesurable
Vn est intégrable pour tout entier n (cf ci-dessus)
∀n ∈ N,


max(Zn+1 , γ)
E [Vn+1 |Fn ] = E
|Fn
(1 + α)n+1


m
max(Xn+1 + , γ)
α
= E
|Fn 
(1 + α)n+1
Or, Xn+1 ⊥ σ(X1 , ..., Xn ) d'où




max(Zn+1 , γ)
E [Vn+1 |Fn ] = E
|Fn = E [Vn+1 ]
(1 + α)n+1
Par ailleurs, γ ≤ max(Zn , γ) par dé nition

⇒ (1 + α)γ ≤ (1 + α)max(Zn , γ)
Or (1 + α)γ = E[max(Z, γ)] d'après (4)

⇒ E[max(Z, γ)] ≤ (1 + α)max(Zn , γ)
Or Zn et Zn+1 ont la même loi

⇒ E[max(Zn+1 , γ)] ≤ (1 + α)max(Zn , γ)
et en divisant pas (1 + α)n+1 > 0

⇒ E[Vn+1 ] ≤ Vn
et on sait que E [Vn+1 |Fn ] = E[Vn+1 ]

8

Donc (Vn )n≥0 est une surmartingale (par rapport à la ltration σ(X1 , ..., Xn )).
T étant un temps d'arrêt, on sait que (VnT )n ≤ 0 est également une surmartingale (cf cours
processus). On a donc l'inégalité suivante ∀n ∈ N,

E[VnT ] ≤ E[V0T ] = E[V0 ] = γ(1 + α) ⇔ E[VnT ] ≤ γ(1 + α)∀n ∈ N
On admet ensuite que lim E[VnT ] = E[VT ]. On a alors
n→+∞

(5)

E[VT ] ≤ γ(1 + α)
Et

ZT
max(ZT , γ)

(1 + α)T
(1 + α)T
ZT
m
m
⇒ VT ≥

car
>0
T
(1 + α)
α
α


ZT
⇒ E[VT ] ≥ E
(1 + α)T

VT =



ZT
En reprenant (5), on a : E
(1 + α)T

et µ(T (γ)) =


≤ γ(1 + α)


Z +∞

 m
1+α


(1 − G(x))dx −
d'où
γ(1 − G(γ)) +
1 + α − G(γ) 
 α
γ
|
{z
}
αγ par dé nition de γ

1+α
m
(γ − γG(γ) + αγ) −
1 + α − G(γ)
α
1+α
m
γ (1 + α − G(γ)) −
=
1 + α − G(γ)
α
m
= γ(1 + α) −
α

µ(T (γ)) =

On a donc en reprenant l'inégalité (5) et en soustrayant

∀T ∈ Θ, µ(T ) ≤ µ(T (γ))




m
ZT
m

= µ(T ) et γ(1 + α) −
= µ(T (γ))
T
(1 + α)
α
α
T est donc bien un stratégie de vente optimale.
Car E

9

m
des deux côtés :
α
(6)


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