ueb8a (PDF)

Fakultät für Mathematik und Physik
Wintersemester 2015/16
apl.Prof. Dr. Anne Frühbis-Krüger
PD Dr. David Ploog
Dipl. Math. Jörg Kortemeyer

Mathematik für Ingenieure I
Gruppenübung 8
Aufgabe 8.1 Untersuchen Sie, ob die Folge (an )n∈N konvergiert und berechnen Sie gegebenenfalls
ihren Grenzwert.
(a) an =

n − sin(n)
3n − 4

(b)an =

(d) an =

2n
n

(e) an =

√
n

2n + 5n + 8n

n
3n

(c) an =

7n2 + 2n + 1
3n2 − 2

(f) an =

(n + 2)! − n!
(n2 − 1)n!

Aufgabe 8.2 Untersuchen Sie, ob die Folge (an )n∈N konvergiert und berechnen Sie ggf. ihren Grenzwert.
√

n


i + 34
4n4 + 5n3 − 2n2 + 1
4n
2+8n
(a) an =
+ i · (−i) + i
(b) an =
7n2 + 3n + 2
3 + 4i
(c) an =

8n2 + 7n + 14
+ eπ·n(n+1)i
−8n3 + 9n2 + 5n + 11

(d) an =

(3 + 4i)2n
· (−3 + 4i)2n
262n

Aufgabe 8.3 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit:



(a) f (x) = |x − 5|
(b) f (x) =  x+1
x−1
n 2

n

n

x+5
(c) f (x) = 2 x +3
für ein beliebiges,
7n
aber festes n ∈ N

(d) f (x) =

x2 −4
x+2

Aufgabe 8.4 Bestimmen Sie Nullstellen, Pole und maximalen Definitionsbereich D ⊂ R der Funktion f : D → R mit
x4 − 6x3 + 12x2 − 8x
f (x) =
.
x4 − 6x3 + 8x2
Wie ist das Verhalten der Funktion an den Polstellen?
Aufgabe 8.5 Bestimmen Sie eine gebrochenrationale Funktion f : D → R mit maximalem Definitionsbereich D ⊂ R, so dass die folgenden Bedingungen (A), (B) und (C) erfüllt sind:
• f hat nur einfache Nullstellen. Diese sind x0 = −2 und x1 = 0. (A)
• f hat Pole in x2 = 1 und x3 = −3. (B)
• limx→∞ f = 23 . (C)
Geben Sie sowohl eine allgemeine als auch eine Lösung minimalen Grades an. Bestimmen Sie für die
Funktion minimalen Grades das Verhalten der links- und rechtsseitigen Grenzwerte der Funktion an
den Polstellen.