Metody prob 1 .pdf

File information


Original filename: Metody prob 1.pdf
Title: Microsoft Word - Część 1 Zastosowanie Metod Probabilistycznych - pdfMachine from Broadgun Software, http://pdfmachine.com, a great PDF writer utility!

This PDF 1.3 document has been generated by pdfMachine from Broadgun Software, http://pdfmachine.com, a great PDF writer utility!, and has been sent on pdf-archive.com on 24/05/2017 at 12:37, from IP address 81.190.x.x. The current document download page has been viewed 442 times.
File size: 223 KB (19 pages).
Privacy: public file


Download original PDF file


Metody prob 1.pdf (PDF, 223 KB)


Share on social networks



Link to this file download page



Document preview


Materiaùy do zastosowañ metod probabilistycznych.
K.Lubnauer
Czêœã 1
Powtórzenie, prawdopodobieñstwo
Teoria
Podstawowy pojêciem probabilistycznym ( zwi¹zanym z teori¹ prawdopodobieñstwa)
jest przestrzeñ probabilistyczna czyli trójka , F, P  gdzie  przestrzeñ zdarzeñ
elementarnych czyli pewien zbiór, F jest  -ciaùem podzbiorów  , zaœ P miar¹
unormowan¹ na F czyli prawdopodobieñstwem. Zdefiniujmy wiêc te podstawowe
pojêcia:
Definicja 1
Rodzina zbiorów F nazywamy  -ciaùem na zbiorze  je¿eli speùnia nastêpuj¹ce
warunki:
(i)
F ,
(ii)
 A  F gdzie A oznacza   A czyli dopeùnienie zbioru A.
AF

(iii)

dla dowolnego ci¹gu zbiorów A1 , A2 , A3 ,... nale¿¹cych do F mamy

A

F .

A

F .

n

n

Ponadto z powy¿szej definicji wynika:
Wùasnoœã 1
Jeœli F jest  -ciaùem to:
(i)
dla dowolnego ci¹gu zbiorów A1 , A2 , A3 ,... nale¿¹cych do F mamy

n

n

(ii)
(iii)

Je¿eli A, B  F to A  B  F , A  B  F oraz A  B  F .
F

Dowód
(i)

Wynika z i¿

A

n

n

(ii)
(iii)



     An  oraz z warunków (i) i (ii) z Definicji 1.
 n


Ãwiczenie wùasne ( zauwa¿my ¿e dla dowolnych zbiorów A,B mo¿emy w
sposób sztuczny zbudowaã ci¹g nieskoñczony A, B, , , ,..... )
Zauwa¿my, ¿e     co daje tezê.

Podam teraz aksjomatyczn¹ definicjê prawdopodobieñstwa:
Definicja 2
Niech  pewien zbiór zaœ F  -ciaùo zdefiniowane na  . Prawdopodobieñstwem
nazywamy dowoln¹ funkcjê P okreœlon¹ na F i speùniaj¹c¹ warunki:
P : F  R
(i)
(ii)
P    1

1

(iii)

Jeœli Ai  F , i  1,2,3,... oraz Ai  A j   dla i  j ,(czyli s¹ parami










i 1

rozù¹czne) to P  Ai    P Ai 
 i 1

Mo¿emy mówiã równie¿ o klasycznej definicji prawdopodobieñstwa która jest
szczególnym, intuicyjnym przypadkiem:
Definicja3 (Klasyczna definicja prawdopodobieñstwa)
Niech  zbiór skoñczony,   1 , 2 ,..., n , F  2  oraz wszystkie zdarzenia
elementarne s¹ tak samo prawdopodobne to prawdopodobieñstwem klasycznym
nazywamy funkcjê P okreœlon¹ na F wzorem:
A

P  A 

, oraz P  i  



1
.
n

Przykùad 1
Rzucamy kostk¹ do gry, wtedy   1,2,3,4,5,6, wszystkie wyniki s¹ tak samo
prawdopodobne zaœ np. prawdopodobieñstwo zdarzenia A- wyrzucenia parzystej
liczby oczek wynosi P A 

2,4,6
1,2,3,4,5,6



3
 0,5 .
6

Z powy¿szych rozwa¿añ oraz z aksjomatycznej definicji prawdopodobieñstwa
otrzymujemy:
Twierdzenie 1 ( Wùasnoœci prawdopodobieñstwa)
Je¿eli , F, P  jest przestrzeni¹ probabilistyczn¹ oraz A, B, A1 , A2 ,..., An  F , to
(i)
P    0
(ii)
P A  0,1
(iii) Skoñczona addytywnoœã. Jeœli mamy skoñczony ci¹g
 n
 n
P  Ai    P  Ai 
 i 1  i 1
Monotonicznoœã. Dla dowolnych A, B  F takich, ¿e A  B mamy
P  A  P B  .
Przeliczalna subaddytywnoœã. Jeœli Ai  F , i  1,2,3,... , to
Ai  F , i  1,2,3,..., n oraz Ai  A j   dla i  j , to

(iv)
(v)

  
P  Ai    P  Ai  .
 i 1  i 1

(vi)

Skoñczona subaddytywnoœã. Jeœli Ai  F , i  1,2,3,..., n , to
 n
 n
P  Ai    P  Ai  .
 i 1  i 1

(vii)

Ci¹gùoœã.

2







a. Jeœli An  F oraz An  An 1 dla n=1,2,3,.... to P  An   lim P An  .
n 

 n 1 


b. Jeœli An  F oraz An  An 1 dla n=1,2,3,.... to P  An   lim P An  .
 n 1  n 
(viii) Dla dowolnych A, B  F takich, ¿e A  B mamy PB  A  PB   P A .
(ix)
P A  1  P A .
(x)
Dla dowolnych A, B  F mamy P A  B   P A  PB   P A  B  .
(xi) Dla dowolnych A, B, C  F mamy
P A  B  C   P A  PB   PC   P A  B   P A  C   PB  C   P A  B  C 

.
Dowód
(i)
Korzystaj¹c z przeliczalnej addytywnoœci prawdopodobieñstwa mamy
P   P      .....  P   P   P    ........ st¹d P    0
(ii)
Wyka¿ê (iv) wtedy (ii) jest oczywiste z faktu i¿ P   1 i P nieujemna
funkcja.
(iii) Weêmy Ai  F , i  1,2,3,..., n oraz Ai  A j   dla i  j , oraz dla i  n niech
An   wtedy korzystaj¹c z przeliczalnej addytywnoœci oraz z warunku (i)

(iv)

(v)

n
 n

  
mamy P  Ai   P  Ai    P Ai    P Ai 
i 1
 i 1 
 i 1  i 1
Skorzystamy z warunku (iii). Niech A, B  F takie, ¿e A  B , mamy wtedy:
PB   P A  B  A gdzie oczywiœcie oba skùadniki sumy s¹ rozù¹czne czyli
PB   P A  PB  A oraz PB  A  0 co daje tezê.
Dla Ai  F , i  1,2,3,... , zdefiniujmy w nastêpuj¹cy sposób ci¹g Bn . Niech

B1  A1 , Bn  An   A1  ...  An 1  , wtedy oczywiœcie mamy ci¹g zbiorów z F


rozù¹cznych parami i takich, ¿e



 Bn   An oraz dla ka¿dego n mamy
n 1

n 1

Bn  An czyli P Bn   P  An  . Policzmy wiêc:

 
  
P  Ai   P  Bi    P Bi    P  Ai  co daje tezê.
i 1
 i 1 
 i 1  i 1

(vi)
(vii)

Wniosek z (v) uzupeùniaj¹c ci¹g zbiorami pustymi.
Niech An  F oraz An  An 1 dla n=1,2,3,.... Zdefiniujemy ci¹g C n w
nastêpuj¹cy sposób: C1  A1 , C 2  A2  A1 ,...., C n  An  An 1 ,.... wtedy
n

oczywiœcie zbiory C n nale¿¹ do F oraz s¹ rozù¹czne oraz An   C i , wiêc
i 1

mamy:
n
 
  
 n

P  Ai   P  C i    P Ci   lim  P C i   lim P  C i   lim P An 
n
n 
i 1
 i 1 
 i 1  i 1
 i 1  n 
(viii) Weêmy dowolne A, B  F takie, ¿e A  B mamy
PB   PB  A  A  PB  A  P A bo A  B, A rozù¹czne. Ostatnia

równoœã daje tezê.

3

(ix)

Weêmy dowolne A, B  F korzystaj¹c z algebry zbiorów oraz wùasnoœci
(viii) oraz (iii) mamy:

P A  B   P A  B  A  P A  PB  A  P A  PB   A  B   P A  PB   P A  B 

(x)

Do samodzielnej pracy.

Innym przykùadem prawdopodobieñstwa jest prawdopodobieñstwo geometryczne:
Definicja 4
Niech  podzbiór R n taki, ¿e gdzie n miara Lebesgu’a okreœlona na R n (w
uproszczeniu oznacza to dùugoœã w R ,pole w R 2 , objêtoœã w R 3 ), wtedy
prawdopodobieñstwem geometrycznym na  nazywamy miarê P okreœlon¹
  A
wzorem P A  n
gdzie A dowolny zbiór mierzalny wzglêdem miary
 n  
Lebesgu’a.
Przykùad 2
Z odcinka (0,2) losujemy 2 liczby. Policzê prawdopodobieñstwo zdarzenia A, ¿e ich
suma jest mniejsza ni¿ 1.
Rys 1

Zauwa¿my, ¿e losowanie 2 liczb z odcinka (0,2) polega na wylosowaniu punktu z
kwadratu 0,2  0,2 czyli  to ten kwadrat. Oczywiœcie 2    4 , mamy
ponadto A   x, y    : x  y  1 czyli  2  A 

1
1
, st¹d P  A  .
2
8

Dwoma podstawowymi pojêciami w teorii prawdopodobieñstw, których nie nale¿y
myliã s¹ rozù¹cznoœã i niezale¿noœã zdarzeñ, przypomnijmy zdarzenia A,B s¹
rozù¹czne tak jak zbiory, gdy A  B   . Niezale¿noœã oznacza zaœ nastêpuj¹c¹
wùasnoœã pary zbiorów:
Definicja 5
Zbiory A,B s¹ niezale¿ne jeœli speùniaj¹ warunek: P A  B   P A  PB  .
Przykùad 3

4

Rzucamy 2 razy monet¹ i rozwa¿my zdarzenia A- wylosowaliœmy 1 reszkê i 1 orùa i
B- w drugim rzucie wylosowaliœmy orùa. Zbadaj niezale¿noœã zdarzeñ A,B.
  o, o , r , r , o, r , r , o  i mamy model klasyczny czyli P  A 

A


P B  

B







2 1
 ,
4 2

2 1
A B 1
 oraz mamy P  A  B  
 , czyli P A  B   P A  PB  .
4 2
4


Zdarzenia A,B s¹ wiêc niezale¿ne.
Uwaga.
Dla trzech zdarzeñ A,B,C mówimy ¿e s¹ one niezale¿ne gdy niezale¿ne s¹ pary A,B
i B,C i A,C oraz zachodzi warunek P A  B  C   P A  PB   PC  .
Przejdêmy teraz do prawdopodobieñstwa warunkowego które pozwoli nam
wprowadziã twierdzenie o prawdopodobieñstwie caùkowitym i wzór Bayes’a.
Definicja 6
Prawdopodobieñstwem warunkowym zajœcia zdarzenia A pod warunkiem zajœcia
zdarzenia B, gdzie PB   0 , nazywamy liczbê
P A / B  

P A  B 
.
P B 

Przykùad 4
Rozwa¿my pewn¹ rodzinê z dwójk¹ dzieci. Obliczymy prawdopodobieñstwo tego,
¿e w rodzinie s¹ dwie dziewczynki, jeœli wiemy, ¿e w tej rodzinie:
(i)
mùodsze dziecko jest dziewczynk¹
(ii)
co najmniej jedno z dzieci jest dziewczynk¹
W obu przypadkach   d , d , d , c , c, d , c, c  i mamy do czynienia z modelem
klasycznym.
(i)

1
1
P d , d /d , d , c, d   4 
1 2
2

(ii)

1
1
P d , d /d , d , c, d , d , c   4  .
3 3
4

Zauwa¿my, ¿e prawdopodobieñstwo warunkowe przy ustalonym warunku speùnia
wszystkie aksjomaty prawdopodobieñstwa. (Ãwiczenie do samodzielnej pracy).
Definicja 7

5

Ukùadem zupeùnym zdarzeñ (rozbiciem przestrzeni  ) nazywamy skoñczony b¹dê
nieskoñczony ci¹g zdarzeñ B1 , B2 , B3 ,.... parami rozù¹cznych i daj¹cych w sumie
przestrzeñ  :
 Bn  , Bi  B j   , i  j .
n

Twierdzenie 2 ( Wzór na prawdopodobieñstwo caùkowite)
Je¿eli B1 , B2 ,...., Bn  jest ukùadem zupeùnym zdarzeñ na  dodatnich niezerowych
prawdopodobieñstwach, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór:
n

P  A   P A / Bi P Bi 
i 1

Dowód
n
 n
 n
P  A  P   A  Bi    P  A  Bi    P  A / Bi P Bi  .
i 1
 i 1
 i 1

Rys 2

Uwaga
Powy¿sze twierdzenie jest prawdziwe równie¿ dla przeliczalnej, nieskoñczonej
liczby zdarzeñ Bi .
Przykùad 5
W fabryce pracuj¹ 3 roboty monta¿owe. Pierwszy robot ma 0,03 braków, robot
drugi ma 0,05 braków a robot trzeci ma 0,02 braków. Roboty te wykonuj¹ tyle
samo zabawek na godzinê.
Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e losowo wybrana zabawka z tej fabryki oka¿e siê
brakiem?
A -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka jest brakiem.
B1 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od
robota 1.

6

B2 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od

robota 2.
B3 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od
robota 3.
3
1
1
1
1 1
P  A   P A / Bi P Bi   0,03   0,05   0,02   0,1  
3
3
3
3 30
i 1

Drugim z podstawowych twierdzeñ jest twierdzenie pozwalaj¹ce przeœledziã przebieg
doœwiadczenia na podstawie jego wyniku:

Twierdzenie 3 (Wzór Bayes’a)
Je¿eli B1 , B2 ,...., Bn  jest ukùadem zupeùnym zdarzeñ na  dodatnich niezerowych
prawdopodobieñstwach i A dowolne zdarzenie o dodatnim prawdopodobieñstwie to
zachodzi wzór:
P B j / A 

P A / B j P B j 
n

.

 P A / B PB 
i

i

i 1

Dowód
Wystarczy skorzystaã ze wzoru na prawdopodobieñstwo warunkowe oraz ze wzoru na
prawdopodobieñstwo caùkowite aby otrzymaã:
P B j / A 

P B j  A
P A



P A / B j P B j 
n

 P A / B PB 
i

i

i 1

Wykorzystajmy sytuacjê z przykùadu 4 zmieniaj¹c tylko treœã pytania. Zauwa¿my, ¿e
znamy ju¿ wynik losowania a pytamy siê o przebieg losowania.
Przykùad 6
W fabryce pracuj¹ 3 roboty monta¿owe. Pierwszy robot ma 0,03 braków, robot drugi
ma 0,05 braków a robot trzeci ma 0,02 braków. Roboty te wykonuj¹ tyle samo
zabawek na godzinê.
Losujemy zabawkê, okazaùa siê ona brakiem. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e
pochodzi od robota nr 2?
A -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka jest brakiem.
B1 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od robota
nr 1.
B2 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od robota
nr 2.
B3 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od robota
nr 3.

7

P B 2 / A 

P  A / B2 P B2 
3

 P A / B PB 
i

i 1

i

0,05 


1
30

1
3  0,5 .

Definicja8
Schematem Bernoulliego nazywamy ci¹g niezale¿nych powtórzeñ tego samego
doœwiadczenia o dwu mo¿liwych wynikach nazwanych umownie sukcesem i pora¿k¹.
Poszczególne doœwiadczenia to próby Bernoulliego.
W powy¿szej sytuacji zachodzi wzór:
n
Pn k     p k q n  k
k 
gdzie: Pn k  prawdopodobieñstwo k sukcesów w n próbach Bernoulliego,
p prawdopodobieñstwo sukcesu w pojedynczej próbie, q  1  p prawdopodobieñstwo

pora¿ki w jednej próbie.

8

Zadania z przykùadowymi rozwi¹zaniami
Model klasyczny prawdopodobieñstwa
1. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisaã przestrzeñ
zdarzeñ elementarnych i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e otrzymamy wyraz
MATEMATYKA.
Rozwi¹zanie
Przyjmujemy, ¿e klocki s¹ rozró¿nialne i oznaczmy
T  M 1 , M 2 , A1 , A2 , A3 , T1 , T2 , Y , K , E.
Wtedy przestrzeñ zdarzeñ elementarnych to wszystkie permutacje elementów ze zbioru
T czyli:
   x1 , x 2 ,..., x10 , xi  x j , xi  T . Zauwa¿my, ¿e ka¿de ustawienie klocków jest tak
samo prawdopodobne a  jest zbiorem skoñczonym wiêc jest to model klasyczny. Z
kombinatoryki wiemy, ¿e   10!
Niech A zdarzenie polegaj¹ce na uùo¿eniu sùowa MATEMATYKA. £atwo widaã, z
kombinatoryki, ¿e A  2!3!2! 24 . St¹d:
P  A 

24
1

.
10! 151200

2. 2 chùopców i 3 dziewczynki ustawiam w szereg . Opisaã przestrzeñ zdarzeñ
elementarnych i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e
a) chùopcy stoj¹ obok siebie
b) chùopcy i dziewczynki stoj¹ na zmianê.
3. Cyfry 0,1,2,...,9 ustawiono losowo. Opisaã przestrzeñ zdarzeñ elementarnych i
obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e
a) miêdzy 0 i 9 stoj¹ dokùadnie 4 cyfry
b) 1,2,3,4 bêd¹ staùy obok siebie.
4. Przy okr¹gùym stole usiadùo dziesiêã kobiet i dziesiêciu mê¿czyzn. Opisaã
przestrzeñ zdarzeñ elementarnych i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e osoby tej samej
pùci nie siedz¹ koùo siebie.
5. Z grupy 25 osób w której jest 10 kobiet i 15 mê¿czyzn wybrano
a) 3 osoby na stanowisko starszego specjalisty.
b) 3 osoby do zarz¹du firmy (prezesa, wiceprezesa ds. marketingu i
wiceprezesa ds. produkcji)
Dla ka¿dego z przypadków opisaã przestrzeñ zdarzeñ elementarnych i obliczyã
prawdopodobieñstwo, ¿e wœród wybranych s¹ dokùadnie 2 kobiety.
Rozwi¹zanie
Przyjmujemy, ¿e ludzie s¹ zawsze rozró¿nialne i oznaczmy T  k1 ,..., k10 , m1 ,..., m15 .
a) Poniewa¿ wybór 3 specjalistów nie wymaga uwzglêdnienia kolejnoœci wiêc
przestrzeñ zdarzeñ elementarnych to wszystkie kombinacje 3 elementowe ze
zbioru T czyli:   x1 , x 2 , x3 , xi  x j , xi  T . Zauwa¿my, ¿e ka¿dy wybór 3 osób
jest tak samo prawdopodobny a  jest zbiorem skoñczonym wiêc jest to model
 25 

klasyczny. Z kombinatoryki wiemy, ¿e     .
3

9


Related documents


metody prob 1
wst p do logiki i teorii mnogo ci
metody prob 2
ss ogr zadania
wyk rrc3 5 6
ufo jako magnokraft

Link to this page


Permanent link

Use the permanent link to the download page to share your document on Facebook, Twitter, LinkedIn, or directly with a contact by e-Mail, Messenger, Whatsapp, Line..

Short link

Use the short link to share your document on Twitter or by text message (SMS)

HTML Code

Copy the following HTML code to share your document on a Website or Blog

QR Code

QR Code link to PDF file Metody prob 1.pdf