Analizis I tum (PDF)

Psa L ajos

ANALZIS 1.
tanri tmutat

Műszaki Könyvkiadó, Budapest

A könyv a Soros Alapítvány támogatásában részesülő
Matematika-módszertani Kutatócsoport közreműködésével készült.

A rajzokat készítette: Varga János és Halmos Mária

c Pósa Lajos 1982, 2000

c Műszaki Könyvkiadó, 2000


Az 1982-ben azonos címen megjelent jegyzet tanítási gyakorlatban kipróbált
és tanári vélemények felhasználásával javított anyagának 1. kiadása.

ISBN 963 16 2659 8
Azonosító szám: MK 1101501

Kiadja a Műszaki Könyvkiadó
Felelős kiadó: Bérczi Sándor ügyvezető igazgató
Felelős szerkesztő: Halmos Mária
Műszaki vezető: Abonyi Ferenc
Borítóterv: Biró Mária
Műszaki szerkesztő: Ihász Viktória
A könyv terjedelme: 3,93 (A/5) ív
E-mail: vevoszolg@muszakikiado.hu
Honlap: www.muszakikiado.hu
Készült a Dabas Jegyzet Nyomdában
Felelős vezető: Marosi György ügyvezető igazgató

Nhny sz a knyvsorozatrl
A Matematika-módszertani Kutatócsoport középiskolai matematikatankönyv-sorozata,
melynek ez a könyv is része, egy 1973-tól mintegy másfél évtizeden keresztül folyt
tanítási kísérlet eredménye.
Ezúton mondunk köszönetet azoknak a tanároknak, akik részt vettek a kísérletben és
minden munkatársunknak, akik értékes tapasztalataikkal, beszámolóikkal, megjegyzéseikkel nagyon sokat csiszoltak, javítottak az anyagokon.
Köszönetet mondunk Surányi Jánosnak, aki két évtizedig vezette a kutatócsoport sok
nehézséggel terhes munkáját, figyelemmel kísérte, összefogta és kézben tartotta a tanítási
kísérletet, nagy szakmai tudásával és emberségével segítette az iskolákban folyó munkát,
a tanárok számára komoly támaszt jelentve; vállalta a kísérleti anyagok elkészítésének
folyamatos szakmai irányítását, beleértve az anyagokhoz készített részletes bírálatait,
amelyek alapján az évek folyamán sok jelentős javításra került sor.
Köszönettel tartozunk Gádor Endrénének, aki a kísérletező tanárok munkáját segítette, és akinek a kísérleti anyagok javításában is sok része volt, és Genzwein Ferencnek, aki
a 80-as években nagy segítséget nyújtott ahhoz, hogy a kísérleti munkákat folytathassa a
kutatócsoport.
Nagy szeretettel gondolunk Gábos Ildikóra, aki már sajnos nincs közöttünk, és aki
nagy tanári tapasztalatával, a kísérletben való lelkes és áldozatkész részvételével, tanári
útmutatók készítésével nagyon jelentős részt vállalt könyvsorozatunk kialakításában.
Hálával tartozunk Péter Rózsának, aki élete utolsó éveiben – már nagyon betegen
is – igen sokat segített a könyvek elkészítésében; Rényi Alfrédnak, aki annak idején a
Matematika-módszertani Kutatócsoportot a Matematikai Kutató Intézetben létrehozta, és
aki nagyon hatékonyan támogatta a tanulók önállóságára, kezdeményezéseire, tapasztalataira, felfedezéseire építő matematikatanítást.
Köszönettel tartozunk Kékes Máriának, aki a Műszaki Kiadó részéről sokat tett azért,
hogy ez a könyvsorozat minél tökéletesebben juthasson el az iskolákba.
Könyveink szedését D. E. Knuth amerikai matematikus TEX matematikai kiadványszerkesztő programjával készítjük. Bori Tamásnak, Fried Katalinnak és Juhász Lehelnek
köszönjük, hogy ennek a lenyűgözően matematikuslelkületű programnak különböző fortélyait megismertették velünk.
Halmos Mária
a könyvsorozat alkotó szerkesztője

5

Elsz az 1982-es kiadshoz
Mindjárt az elején el szeretném mondani, hogy ez az egész anyag túlméretezett, mégpedig
nemcsak terjedelmében, hanem a benne szereplő fogalmak nehézsége következtében is.
Véleményem szerint az analízist a középiskolában sokkal heurisztikusabban kéne tanítani.
Az itt szereplő fogalmak egy részét teljesen mellőzni lehetne, egy másik részét pedig
intuitíven kezelhetnénk. Így természetesen az e fogalmakkal kapcsolatos tételek száma
is megcsappanna. Az persze nem baj, ha a diákok néhány esetben látják, hogy miként
lehet a szemléletes képeket lefordítani a precíz matematika nyelvére, és azt is, hogy
ennek mi az értelme; de ezzel be is érhetnénk, a precíz fogalmakon alapuló felépítés nem
középiskolába, hanem az egyetemre való. Azt hiszem a sorozatok határértéke az a téma,
ahol legkönnyebb bemutatni azt, hogy hogyan néz ki a logikailag szigorú analízis, és ez
után elhihető, hogy a többi terület is felépíthető hasonló precízséggel.
Az anyag írásánál azonban kénytelen voltam az A-fakultatív anyag tantervét feldolgozni, hiszen nem tudhatjuk, hogy az egyetemi felvételik során nem kérik-e számon
tanítványainktól az idevágó ismereteket.
Aki nem tart ettől a veszélytől, az nyugodtan módosíthatná az anyagot a jelzett irányban.
Az itt következő közel 80 oldalból alighanem úgyis sokat kell kihagyni, és az nyilván
az osztálytól és a tanár gusztusától függ, hogy mit célszerű megtartani. Mindenesetre a
nehéz feladatok nagyobb részére az órán aligha jut idő, ezek a legokosabb diákok számára
jelenthetnek komoly erőpróbát, de az osztály egészét kár megterhelni velük.
Az is kérdés, hogy a kaptafák közül √
melyeket
√ érdemes begyakoroltatni. Szívesen
lemondanék jó néhány típusról, például a A − B szerkezetű határértékekről, hiszen
ettől nem fogja senki se jobban érteni a matematikát. De a felvételivel kapcsolatos (alighanem túlzott) aggodalom visszatartott attól, hogy ezeket a feladattípusokat kihagyjam
az anyagból.

Kiegszts a rgi elszhoz 2000-ben
Az 1982-ben megfogalmazott aggodalmam a felvételiket illetően alaptalannak bizonyult,
a diákokat nem érte semmiféle hátrány, ha analízisből a tantervben megfogalmazottnál
kevesebbet, vagy akár semmit sem tanultak. Az új kiadás alkalmából mégsem változtattam az anyag túlméretezettségén. Ennek két oka is van. Egyrészt küszöbön áll a kétszintes
érettségi bevezetése, és most még nem lehet tudni, hogy mi lesz a vizsgaanyag. Másrészt
tapasztalatból tudom, hogy a tanárok egy része igényli a könyvben szereplő lexikális
ismereteket, még akkor is, ha ennél jóval heurisztikusabban végzi a tárgyalást az órákon.
Végül is könnyebb figyelmen kívül hagyni az itt leírtak egy részét, mint fordított esetben
mégis csak megtanítani valamit, ami kimaradna a tankönyvből. Így minden tanár saját
6

belátása szerint döntheti el, hogy a precízség milyen szintjén kíván dolgozni, és hogy a
sok szóba jövő feladattípusból mit tart igazán fontosnak és elvégzendőnek a rendelkezésre
álló időben.

!

1982-ben szabályos munkatankönyvet írtam, az akkori elképzeléseinknek megfelelően a kérdések egy része után helyet hagyva a diákoknak a válasz beírására. Ma erre
gazdasági okok miatt nincs lehetőség, ezért a helykihagyás mértéke jóval kisebb lett.
A
jel figyelmeztet arra, hogy a könyv szövegéből most hiányzik valami, amit oda be
lehet írni. Célszerű, ha ezt a diákok először önállóan megfogalmazzák a füzetükben, és
csak a közös megbeszélés után írják be a tankönyvbe. (Ha a tankönyvet több évfolyam
fogja használni, akkor természetesen csak a füzetükbe írhatnak.)

Szeretném, ha diákjaink nemcsak az érdekes feladatok megoldásában, új problémák
felvetésében, tételek kitalálásában és bebizonyításában vennének alkotó módon részt,
hanem a fogalmak megalkotásában is. Kezdődik ez azzal, hogy megízlelik például a
határérték lm ny t, szemléletes jelentését, elboldogulnak egy ideig ezzel a szemléletes
jelentéssel, megszületik az igény a fogalom precíz jelentésének megalkotására, és ott

bábáskodnak a definíció születésénél Mi lenne, ha így vagy úgy értelmeznénk . . . , a definíció persze önkényes emberi alkotás, de szeretnénk-e, ha az egyik szóba jövő definíció

1 1
következményeképpen például az 1, , , . . . sorozat a −5-höz tartana? . Meggyőződé2 3
sem, hogy kőbe vésett, befejezett fogalmak közlése és számonkérése helyett ez a kicsit
kalandos út az, amelyik megfelel a matematika szellemének, amelyikből kiderül, hogy a
matematika miért olyan, amilyen.
Most pedig térjünk át a részletekre.

7

I. F ggvnyek
Időhiány esetén az egész fejezet elhagyható vagy a minimumra redukálható.

Halmazjel lsek, elnevezsek
7. oldal
Két beírni való van itt:
c r sugarú környezete: (c − r, c + r)
a lyukas környezet: (c − r, c) ∪ (c, c + r) vagy (c − r, c + r) \ {c}
Lehet, hogy a gyerekeknek szokatlan még a tulajdonsággal való halmazmegadás, ez
esetben néhány további példát is nézzünk meg erre.

A fggvny fogalma (ismtls)
8. oldal
Számíthatunk arra a kérdésre, hogy miért szabad két nyílnak egy pontba befutnia, ha egyszer nem szabad egy pontból kettőnek kiindulnia. Ez jó alkalom arra, hogy a matematikai fogalomalkotás szabadságáról, önkényességéről beszélgessünk egy kicsit. A definíció
szólhatna másként is, de így a célszerű. Gondolhatunk például arra, hogy a függvényfogalom egyik legfontosabb haszna: lehetővé teszi egy test mozgásának leírását. Nos: egy
test egy időpontban nem lehet két helyen (egy t-hez csak egy s tartozhat), de különböző
időpontokban lehet ugyanazon a helyen. Hívjuk fel a figyelmet arra, hogy ha érdekünk
úgy kívánja, azonnal módosíthatjuk a definíciót; van a matematikában úgynevezett többértékű függvény is – mert előfordul, hogy éppen ez a célszerű számunkra.

Fggvnyek megadsa
9. oldal
I. 1. A képlet minden számra értelmes, nem jelöltünk meg értelmezési tartományt, célszerű megállapodni abban, hogy ilyenkor R az értelmezési tartomány. 2-nél egy ennél
erősebb megállapodást is elfogadunk. Említsük meg, hogy ezek a megállapodások nem
általánosan elfogadottak.

II. Nagyon fontos, hogy a gyerekek eljussanak annak megértéséhez, hogy a függvény
teljesen tetszleges hozzárendelés. Az üresen hagyott helyre beírhatunk egy-két dolgot,
ami az órán előjön, de el is lehet tenni a kitöltését későbbre. A Dirichlet-függvény lenne
9

itt igen jó példa, de semmi esetre se közöljük egyelőre a definícióját, hátha később
maguktól is mondanak majd „vad” függvényeket. Az anyagban jó néhány olyan pont
van, amely épp a függvényalkotás teljes szabadságát teszi próbára.

10. oldal
III. Jó lenne kicsit mesélni a függvényfogalom történetéről. Ehhez olvasmánynak ajánlom Lackovich cikkét (megtalálható Pósa Lajos Analízis II. végén – Műszaki Könyvkiadó, 2001). Ha van rá érdeklődés, néhány példán megmutathatjuk a változó mennyiségben
való gondolkodást, és azt, hogy hogyan lehet eljutni ezen az úton a függvényekhez.

Fggvny grakonja
10. oldal
4. Lehetséges válaszok:
ábrával:
z
}|

f (x )

{
x

szöveggel:
„Az (x, f (x)) pontok alkotják az f függvény grafikonját”, vagy
„az f függvény grafikonját az y = f (x) feltételnek eleget tevő pontok alkotják”.

12. oldal
9. a) és b) Két nehéz feladat.
Ez az anyagunkban az egyetlen pont, amikor síkmozgást írunk le. Mindkét mozgás egyenes vonalú.

Feladatok
12. oldal
10. e) El is tehető a feladat a differenciálszámításig, de a tanult ismeretekkel is meg-

4
= b egyenlet mely b értékekre
x
2
oldható meg. Innen x − bx + 4 = 0, majd a megoldhatóság feltételére b2 − 16 ≥ 0
adódik. x > 0 miatt b > 0, így b ≥ 4 mellett oldható meg az egyenlet.

oldható: azt kell megvizsgálnunk, hogy az x +

Az értékkészlet tehát [4, ∞).
10

11. Nem igaz. Az ellenpélda keresése is egy jó alkalom függvény konstruálására, annak
érzékeltetésére, hogy mekkora szabadságunk van, amikor egy függvényt értelmezünk.
Aki már érzi ezt a szabadságot, annak nem jelent semmi problémát a feladat megoldása.
Néhány ellenpélda: Dg = {1,3}, g(x) = x, ha x = 1 vagy 3.


1, ha x < 0;
x, ha x = 2;
vagy f (x) =
f (x) =
3, ha x ≥ 0;
0, ha x = 2.
A két utóbbi példánál Df = R is teljesül!
(Azt is érzékeltethetjük a megbeszélés során, hogy ez a jelenség intervallumon értelmezett
„folytonos” függvénynél nem fordulhat elő.)

13. oldal
13. Ismét a függvényképzés szabadságát lenne jó átélni. Engedjük meg a rajzzal való
megadást is!


a) Például: f (x) =

0, különben


b) Például: f (x) =
c)

x, ha − 1 ≤ x ≤ 1

x, ha 0 ≤ x ≤ 1
0, különben

⎧
⎨ 1 , ha 0 < x ≤ 1
Például: f (x) = x
⎩

5, ha x = 0

d)

⎧
⎨ 1 − 1, ha 0 < x ≤ 1
Például: g(x) = x
⎩

5, ha x = 0

Ha a tan tvnyaink egyelre m g nehezen konstrulnak fggv nyeket, el lehet halasztani
k sbbre a feladatok feladst, illetve megbesz l s t.
14. Fontos feladat, ez is pontosabbá teszi a függvényekről alkotott képet. Néhány konkrét eset megvizsgálása után el lehetne jutni a következő általánosításhoz:
Ha A n elemű, B pedig k elemű halmaz, akkor a kívánt tulajdonságú függvények
száma: kn
A függvényekkel kapcsolatos fogalmak bejáratását ilyen módon össze lehet kapcsolni a
kombinatorika tanulmányozásával (ismétlésével). További lehetséges feladatok például:
1. Legyen B = {1, 2, 3, . . . , 6}, C = {1, 2, 3, . . . , 7}
Hány olyan f függvény van, melyre
a) Df ⊂ B, Rf ⊂ C;
b) Df = C, Rf = B?
11

Az inverz függvény tanításakor azt is megkérdezhetjük, hogy hány B → C típusú invertálható függvény létezik. (f : B → C, ha Df = B és Rf ⊂ C.)
A páros, páratlan, illetve a periodikus függvény fogalmához kapcsolódó kérdések:
2. a) Legyen B = {−3, − 2, −1, 0, 1, 2, 3}, C = {−3, − 2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
Hány olyan f : B → C függvény van, amely páros?
Hány, amely páratlan?
b) Legyen H = {1, 2, 3, 4}. Z az egész számok halmaza.
Hány olyan periodikus Z → H típusú függvény van, amelynek a 6 periódusa?
Hány olyan, amelynek a 6 a legkisebb periódusa?

Monotonits, szlsrtk
13. oldal
Ezek a definíciók később szerepelnek megfogalmazva, tehát nem nagy baj, ha elmarad
a közös kitöltés. Ugyanakkor hasznos, ha a diákok gyakorolják magukat a definíciók
kitalálásában és pontos megfogalmazásában. Várható, hogy néhány „rossz” definíció is
elhangzik, ilyenkor célszerű azt is megbeszélni, hogy mit jelentene, ha ezt fogadnánk el.

Feladatok
14. oldal
15. és 16. Itt is az a legfontosabb, hogy a függvény alkotásának szabadságát megértsék
a gyerekek.

15. a) rajzzal:

1

1
⎧
0, ha x < 0
⎪
⎨

képlettel: f (x) =

⎪
⎩

x, ha 0 ≤ x ≤ 1

1, ha x > 1
Természetesen a rajzzal való definíció is teljes értékű, ha a rajz jól definiált. Például
az előző ábra egyértelműen megadja a függvényt, ha hozzámondjuk, hogy (0, 0) és
(1, 1) között egyenes vonal vezet.

12