PDF Archive

Easily share your PDF documents with your contacts, on the Web and Social Networks.

Share a file Manage my documents Convert Recover PDF Search Help Contact



Appunti Controlli Automatici Antonio Mignano .pdf


Original filename: Appunti Controlli Automatici - Antonio Mignano.pdf
Author: Antonio Mignano

This PDF 1.5 document has been generated by Acrobat PDFMaker 11 per Word / Adobe PDF Library 11.0, and has been sent on pdf-archive.com on 21/06/2017 at 19:04, from IP address 2.225.x.x. The current document download page has been viewed 426 times.
File size: 280 KB (9 pages).
Privacy: public file




Download original PDF file









Document preview


Appunti
Controlli
Automatici
A.2014/2015
Antonio Mignano

Per sistema si intendo un ente (fisico o astratto) dato dallโ€™interconnessione di piรน parti elementari,
per cui vale il principio di azione reazione. Indicheremo con ๐‘ข๐‘ข(โˆ™) lโ€™ingresso (azione, causa) e con
๐‘ฆ๐‘ฆ(โˆ™) lโ€™uscita (reazione, effetto). Con la notazione ๐’–๐’–(โˆ™), ๐’š๐’š(โˆ™) si intendono le funzioni di ingresso e di
uscita con ๐’–๐’–(๐’•๐’•), ๐’š๐’š(๐’•๐’•) si intendono i valori dellโ€™ingresso e dellโ€™uscita nellโ€™istante t.
Per sistema statico si intende un sistema in cui il legame i/o รจ istantaneo โ‡’ ๐‘ฆ๐‘ฆ(๐‘ก๐‘ก) = ๐‘”๐‘”๏ฟฝ๐‘ข๐‘ข(๐‘ก๐‘ก)๏ฟฝ,
ovvero lโ€™uscita dipende solo dallโ€™ingresso in quellโ€™istante.
Per sistema dinamico si intende un sistema in cui il legame i/o รจ dinamico
โ‡’ ๐‘ฆ๐‘ฆ(๐‘ก๐‘ก) = ๐‘”๐‘”๏ฟฝ๐‘ข๐‘ข(] โˆ’ โˆž, ๐‘ก๐‘ก)๏ฟฝ, ovvero lโ€™uscita dipende anche dagli ingressi precedenti.

Per riassumere tutta la โ€œstoria passataโ€ del sistema del sistema fino allโ€™istante ๐œ๐œ si introduce lo
stato ๐’™๐’™(๐‰๐‰) โ‡’ ๐‘”๐‘”๏ฟฝ๐‘ฅ๐‘ฅ(๐œ๐œ), ๐‘ข๐‘ข([๐œ๐œ, ๐‘ก๐‘ก])๏ฟฝ, โˆ€๐‘ก๐‘ก โ‰ฅ ๐œ๐œ.
Definizione assiomatica di sistema dinamico: ๐‘†๐‘†(๐‘‡๐‘‡, ๐‘ˆ๐‘ˆ, ฮฉ, ๐‘‹๐‘‹, ๐‘Œ๐‘Œ, ฮ“, ๐œ‘๐œ‘, ๐œ‚๐œ‚)
โ€ข
โ€ข
โ€ข
โ€ข
โ€ข
โ€ข

T: insieme ordinato dei tempi
U: insieme dei valori assunti dallโ€™ingresso u
ฮฉ: insieme delle funzioni di ingresso {๐‘ข๐‘ข(โˆ™): ๐‘‡๐‘‡ โ†’ ๐‘ˆ๐‘ˆ}
X: insieme dei valori assunti dallo stato x
Y: insieme dei valori assunti dallโ€™uscita y
ฮ“: insieme delle funzioni dโ€™uscita {๐‘ฆ๐‘ฆ(โˆ™): ๐‘‡๐‘‡ โ†’ ๐‘Œ๐‘Œ}

La funzione di transizione dello stato ๐œ‘๐œ‘ rappresenta lโ€™evoluzione temporale dello stato ed รจ
descritta dallโ€™equazione ๐‘ฅ๐‘ฅ(๐‘ก๐‘ก) = ๐œ‘๐œ‘๏ฟฝ๐‘ก๐‘ก, ๐œ๐œ, ๐‘ฅ๐‘ฅ(๐œ๐œ), ๐‘ข๐‘ข(โˆ™)๏ฟฝ
La funzione di uscita ๐œ‚๐œ‚ rappresenta lโ€™evoluzione temporale dellโ€™uscita ed รจ descritta
dallโ€™equazione:
โ€ข

โ€ข

SISTEMA IMPROPRIO: ๐‘ฆ๐‘ฆ(๐‘ก๐‘ก) = ๐œ‚๐œ‚๏ฟฝ๐‘ก๐‘ก, ๐‘ฅ๐‘ฅ(๐‘ก๐‘ก), ๐‘ข๐‘ข(๐‘ก๐‘ก)๏ฟฝ โ† Non fisicamente realizzabile poichรฉ
lโ€™uscita dipende dallโ€™ingresso nello stesso istante
SISTEMA PROPRIO: ๐‘ฆ๐‘ฆ(๐‘ก๐‘ก) = ๐œ‚๐œ‚๏ฟฝ๐‘ก๐‘ก, ๐‘ฅ๐‘ฅ(๐‘ก๐‘ก)๏ฟฝ

Classifichiamo i sistemi in sistemi a tempo continuo se ๐‘‡๐‘‡ โŠ† โ„, a tempo discreto se ๐‘‡๐‘‡ โŠ† โ„ค.

Un sistema si dice MIMO (multiple input multiple output) se presenta piรน ingressi e piรน uscite,
altrimenti SISO (single input single output) se presenta un solo ingresso ed una sola uscita.
Un sistema di dice a dimensione finita (o a parametri concentrati) se ha un numero finito di
variabili di stato, altrimenti si dice a dimensione infinita (o a parametri distribuiti) se ha un
numero infinito di variabili di stato.
Il sistema dinamico รจ lineare se
โ€ข
โ€ข
โ€ข

๐‘ˆ๐‘ˆ, ฮฉ, ๐‘‹๐‘‹, ๐‘Œ๐‘Œ, ฮ“ sono spazi vettoriali
๐œ‘๐œ‘ รจ lineare in x e in u. ๐‘ฅ๐‘ฅ(๐‘ก๐‘ก) = ๐œ‘๐œ‘๏ฟฝ๐‘ก๐‘ก, ๐œ๐œ, ๐‘ฅ๐‘ฅ(๐œ๐œ), ๐‘ข๐‘ข(โˆ™)๏ฟฝ = ๐œ‘๐œ‘๐‘™๐‘™ (๐‘ก๐‘ก, ๐œ๐œ)๐‘ฅ๐‘ฅ(๐œ๐œ) + ๐œ‘๐œ‘๐‘“๐‘“ (๐‘ก๐‘ก, ๐œ๐œ)๐‘ข๐‘ข(โˆ™) = ๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘™๐‘™ (๐‘ก๐‘ก) + ๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘“๐‘“ (๐‘ก๐‘ก)

dove ๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘™๐‘™ (๐‘ก๐‘ก) รจ la risposta libera ed ๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘“๐‘“ (๐‘ก๐‘ก) รจ la risposta forzata (dipende dallโ€™ingresso)

๐œ‚๐œ‚ รจ lineare in x e in u. ๐œ‚๐œ‚๏ฟฝ๐‘ก๐‘ก, ๐‘ฅ๐‘ฅ(๐‘ก๐‘ก), ๐‘ข๐‘ข(๐‘ก๐‘ก)๏ฟฝ = ๐ถ๐ถ(๐‘ก๐‘ก)๐‘ฅ๐‘ฅ(๐‘ก๐‘ก) + ๐ท๐ท(๐‘ก๐‘ก)๐‘ข๐‘ข(๐‘ก๐‘ก)

Last Rev: 12/06/2015

[Controlli Automatici]
Antonio Mignano

Pag. 2 a 9
Rev. 3

Il sistema dinamico รจ stazionario (o tempo-invariante) se ๐œ‘๐œ‘ ed ๐œ‚๐œ‚ non dipendono esplicitamente
dal tempo (ovvero, se compare la t nelle variabili di stato e/o nella funzione di uscita), altrimenti il
sistema dinamico รจ non stazionario (o tempo-variante).

SLIDE 24

Criterio di Routh:
Per avere โ„œ๏ฟฝ๐‘๐‘(๐œ†๐œ†๐‘–๐‘– )๏ฟฝ < 0โˆ€ ๐œ†๐œ†๐‘–๐‘– gli elementi della prima
colonna devo avere tutti segno concorde.
# radici con ๐‘…๐‘…(๐œ†๐œ†) > 0 = # variazioni di segno (prima col)

Criterio di Jury: ๐‘๐‘(๐œ†๐œ†) = ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› ๐œ†๐œ†๐‘›๐‘› + ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘›โˆ’1 ๐œ†๐œ†๐‘›๐‘›โˆ’1 + โ‹ฏ + ๐‘Ž๐‘Ž1 ๐œ†๐œ† + ๐‘Ž๐‘Ž0
Per avere โ„œ๏ฟฝ๐‘๐‘(๐œ†๐œ†๐‘–๐‘– )๏ฟฝ < 1โˆ€ ๐œ†๐œ†๐‘–๐‘– :
- Per n = 2, siano soddisfatte 3 disuguaglianze:
1) ๐‘๐‘(๐œ†๐œ† = 1) > 0
2) (โˆ’1)๐‘›๐‘› ๐‘๐‘(๐œ†๐œ† = โˆ’1) > 0
3) |๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› | > |๐‘Ž๐‘Ž0 |
- Per n > 2 oltre le disuguaglianze siano soddisfatte altre n-2
disuguaglianze nella tabella (con n-1 coppie di righe)
1) |๐‘๐‘0 | > |๐‘๐‘๐‘›๐‘›1 |
2) |๐‘๐‘0 | > |๐‘๐‘๐‘›๐‘›โˆ’2 |
3) โ€ฆ
4) |๐‘ง๐‘ง0 | > |๐‘ง๐‘ง2 |

Last Rev: 12/06/2015

[Controlli Automatici]
Antonio Mignano

Infine

Pag. 3 a 9
Rev. 3

Last Rev: 12/06/2015

[Controlli Automatici]
Antonio Mignano

Pag. 4 a 9
Rev. 3

Sistemi di Controllo
La funzione di trasferimento ad anello chiuso ๐‘Š๐‘Š๐‘ฆ๐‘ฆ (๐‘ ๐‘ ) =

dove ๐‘ฆ๐‘ฆ(๐‘ ๐‘ ) = ๐บ๐บ(๐‘ ๐‘ )๐‘’๐‘’(๐‘ ๐‘ ) = ๐บ๐บ(๐‘ ๐‘ )[๐‘ฆ๐‘ฆ๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ (๐‘ ๐‘ ) ยฑ ๐‘ฆ๐‘ฆโ„Ž (๐‘ ๐‘ )]
๐‘ฎ๐‘ฎ(๐’”๐’”)
โ†’ ๐‘พ๐‘พ๐’š๐’š (๐’”๐’”) =
๐Ÿ๐Ÿ โˆ“ ๐‘ฎ๐‘ฎ(๐’”๐’”)๐‘ฏ๐‘ฏ(๐’”๐’”)

๐‘ฆ๐‘ฆ(๐‘ ๐‘ )

๐‘ฆ๐‘ฆ_๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘(๐‘ ๐‘ )

Funzione di trasferimento dโ€™anello: ๐บ๐บ(๐‘ ๐‘ )๐ป๐ป(๐‘ ๐‘ )
Guadagno stazionario: ๐พ๐พ๐บ๐บ = lim{๐‘ ๐‘  โ„Ž โ‹… ๐บ๐บ(๐‘ ๐‘ )}, con h molteplicitร  polo in s = 0
Errore in regime
permanente:

Tipo 1

๐œ€๐œ€(t)
๐พ๐พ๐‘Ÿ๐‘Ÿ
1 + ๐พ๐พ๐บ๐บ๐บ๐บ

Tipo 2

0

Tipo 0
Sistema

๐‘ ๐‘ โ†’0

0

Disturbo entrante:

Riferimento r(t)
๐‘ก๐‘ก
๐‘ก๐‘ก 2 /2
โˆž

๐พ๐พ๐‘Ÿ๐‘Ÿ
๐พ๐พ๐บ๐บ๐บ๐บ
0

โˆž
โˆž

๐พ๐พ๐‘Ÿ๐‘Ÿ
๐พ๐พ๐บ๐บ๐บ๐บ

Lโ€™effetto del disturbo entrante in un punto qualsiasi del sistema e uguale a |Kr/(prodotto dei
guadagni stazionari dei blocchi precedenti)|
Vincoli sul numero di poli in s = 0
๐‘›๐‘›0,๐น๐น = # poli in s = 0 di F(s) ๐‘›๐‘›0,๐ถ๐ถ = # poli n s = 0 di C(s) k = grado riferimento polinomiale
Se ๐‘›๐‘›0,๐น๐น < ๐‘˜๐‘˜ โ†’ ๐‘›๐‘›0,๐ถ๐ถ = (๐‘˜๐‘˜ โˆ’ ๐‘›๐‘›0,๐น๐น )
per errore finito
๐‘›๐‘›0,๐ถ๐ถ = (๐‘˜๐‘˜ + 1 โˆ’ ๐‘›๐‘›0,๐น๐น ) per errore nullo

Comandi MatLab:

Sintassi

s=tf(โ€˜sโ€™)
feedback($ramo_diretto, $ramo_retr, [$segno])
step($fdt_anello_chiuso, $istante_finale_simul)
damp($fdt)
margin($fdt)

Last Rev: 12/06/2015

Funzione

Permetti di calcolare la fdt di un sistem LTI
Calcola la fdt
Applica il gradino unitario alla fdt
Calcola poli, pulsazioni e ๐œ๐œ
Calcola margine di fase e di guadagno

[Controlli Automatici]
Antonio Mignano

Pag. 5 a 9
Rev. 3

Diagrammi di Bode:
Fattori elementari:
-

-

Guadagno:
๐‘“๐‘“1 (๐‘ ๐‘ ) = ๐พ๐พ, ๐พ๐พ โ‰  0
o ๐‘€๐‘€(๐œ”๐œ”) = 20 log10 (|๐พ๐พ|), ๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘ โˆ€๐œ”๐œ”
0ยฐ ๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘ ๐พ๐พ > 0, ๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘ โˆ€๐œ”๐œ”
o ๐œ‘๐œ‘(๐œ”๐œ”) = ๏ฟฝ
โˆ’180ยฐ ๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘ ๐พ๐พ < 0, ๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘ โˆ€๐œ”๐œ”
๐พ๐พ
Polo nellโ€™origine:
๐‘“๐‘“2 (๐‘ ๐‘ ) = , ๐พ๐พ > 0
๐‘ ๐‘ 

|๐พ๐พ|

o ๐‘€๐‘€(๐œ”๐œ”) = 20 log10 ๏ฟฝ ๏ฟฝ = ๐พ๐พ๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ โˆ’ 20 log10 (๐œ”๐œ”)
๐œ”๐œ”

-

o ๐œ‘๐œ‘(๐œ”๐œ”) = โˆ’90ยฐ = ๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘ โˆ€๐œ”๐œ”

Polo reale ๐œ†๐œ†(negativo o positivo)

๐‘ ๐‘  โˆ’1

๐‘“๐‘“3 (๐‘ ๐‘ ) = ๏ฟฝ1 โˆ’ ๏ฟฝ
๐œ†๐œ†

๐œ”๐œ” โˆ’1

โ†’ ๐‘“๐‘“3 (๐‘—๐‘—๐‘—๐‘—) = ๏ฟฝ1 โˆ’ ๐‘—๐‘— ๏ฟฝ
๐œ†๐œ†

Approssimando per basse freq. (๐œ”๐œ” โ‰ช |๐œ†๐œ†|), alte freq. (๐œ”๐œ” โ‰ซ |๐œ†๐œ†|) e pt. centrale (๐œ”๐œ” = |๐œ†๐œ†| ):
๐‘€๐‘€ = โˆ’20 log10 (ฮฉ)
๐‘€๐‘€ = 0 ๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘
1
๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ (๐’‡๐’‡๐Ÿ‘๐Ÿ‘ ) = โˆ’๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ (๐œ†๐œ†) โ†’ ๏ฟฝ
๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ (๐’‡๐’‡๐Ÿ‘๐Ÿ‘ ) = 1 โ†’ ๏ฟฝ
๐‘—๐‘—ฮฉ
๐œ‘๐œ‘ = 0ยฐ
๐Ž๐Žโ‰ช|๐€๐€|
๐Ž๐Žโ‰ซ|๐€๐€|
๐œ‘๐œ‘ = ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ (๐œ†๐œ†) โ‹… 90ยฐ
๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ (๐’‡๐’‡๐Ÿ‘๐Ÿ‘ ) = ๏ฟฝ1 โˆ’ ๐‘—๐‘—๐‘—๐‘—๐‘—๐‘—๐‘—๐‘—๐‘—๐‘—(๐œ†๐œ†)๏ฟฝ

๐Ž๐Ž=|๐€๐€|

-

โˆ’1

1

๐‘€๐‘€ = 20 log10 ๏ฟฝ

โ†’๏ฟฝ

Coppia di poli complessi coniugati ๐‘“๐‘“4 (๐‘ ๐‘ ) = ๏ฟฝ1 +

๏ฟฝ โ‰… โˆ’3๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘
โˆš2
๐œ‘๐œ‘ = ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ (๐œ†๐œ†) โ‹… 45ยฐ

2ฮถ

๐œ”๐œ”๐‘›๐‘›

๐‘ ๐‘  +

๐‘ ๐‘  2

โˆ’1

2๏ฟฝ

๐œ”๐œ”๐‘›๐‘›

Approssimando per basse freq. (๐œ”๐œ” โ‰ช ๐œ”๐œ”๐‘›๐‘› ), alte freq. (๐œ”๐œ” โ‰ซ ๐œ”๐œ”๐‘›๐‘› ) e pt. Centrale(๐œ”๐œ” = ๐œ”๐œ”๐‘›๐‘› ):
๐‘€๐‘€ = โˆ’40 log10 (ฮฉ)
๐‘€๐‘€ = 0 ๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘
๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ (๐’‡๐’‡๐Ÿ’๐Ÿ’ ) = 1 โ†’ ๏ฟฝ
๐’๐’๐’๐’๐’Ž๐’Ž๐Ž๐Žโ‰ซ๐Ž๐Ž๐’๐’ (๐’‡๐’‡๐Ÿ’๐Ÿ’ ) = ๏ฟฝ
๐œ‘๐œ‘
=
0ยฐ
๐Ž๐Žโ‰ช๐Ž๐Ž๐’๐’
๐œ‘๐œ‘ = โˆ’๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ ๐‘ (ฮถ) โ‹… 180ยฐ
1
๐‘€๐‘€ = 20 log10 ๏ฟฝ
๏ฟฝ
๐’๐’๐’๐’๐’Ž๐’Ž๐Ž๐Ž=๐Ž๐Ž๐’๐’ (๐’‡๐’‡๐Ÿ’๐Ÿ’ ) = ๏ฟฝ
2|๐œ๐œ|
๐œ‘๐œ‘ = โˆ’๐‘ ๐‘ ๐‘–๐‘–๐‘–๐‘–๐‘–๐‘– (๐œ๐œ) โ‹… 90ยฐ

Diagrammi di Nyquist:
๐‘›๐‘›๐‘–๐‘–,๐‘Ž๐‘Ž = #poli instabili di ๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž (๐‘ ๐‘ )
๐‘›๐‘›๐‘–๐‘–,๐‘๐‘ = # polito instabili di ๐‘Š๐‘Š(๐‘ ๐‘ )
๐‘๐‘ = # giri compiuti in senso orario da ๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž (๐‘—๐‘—๐‘—๐‘—) attorno al punto (โˆ’1,0) al variare di ๐œ”๐œ”
Si puรฒ dimostrare che ๐‘๐‘ = ๐‘›๐‘›๐‘–๐‘–,๐‘๐‘ โˆ’ ๐‘›๐‘›๐‘–๐‘–,๐‘Ž๐‘Ž
Criterio di Nyquist: Condizione necessaria e sufficiente per lโ€™asintotica stabilitร  โ†’
๐‘›๐‘›๐‘–๐‘–,๐‘๐‘ = 0 โ‡’ ๐‘๐‘ = โˆ’๐‘›๐‘›๐‘–๐‘–,๐‘Ž๐‘Ž
Con guadagno variabile si considera come punto critico ๏ฟฝโˆ’

Margini di stabilitร :

1

๐พ๐พ๐‘๐‘

, 0๏ฟฝ al posto di (โˆ’1,0)

Margine di guadagno:
Bode: ๐‘š๐‘š๐บ๐บ,๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ = โˆ’|๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž (๐‘—๐‘—๐œ”๐œ”๐œ‹๐œ‹ )|๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ = valore del modulo in corrispondenza di ๐œ‘๐œ‘ = โˆ’180ยฐ
1

Nyquist: ๐‘š๐‘š๐บ๐บ = |๐‘‹๐‘‹ | dove ๐‘‹๐‘‹๐ด๐ด รจ il punto di attraversamento dellโ€™asse delle ascisse
๐ด๐ด

Last Rev: 12/06/2015

[Controlli Automatici]
Antonio Mignano

Pag. 6 a 9
Rev. 3

Margine di fase:
Bode: Valore della fase in corrispondenza di |๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž (๐‘—๐‘—๐‘—๐‘—)| = 0
Nyquist: ๐‘š๐‘š๐œ‘๐œ‘ = 180ยฐ + โˆ ๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž (๐‘—๐‘—๐œ”๐œ”๐‘๐‘ ) ovvero la fase che presenta il diagramma nel punto di
intersezione con la circonferenza di raggio unitario
Margini indiretti:
๐‘€๐‘€๐‘Ÿ๐‘Ÿ = ๐‘Š๐‘Š๐‘Ÿ๐‘Ÿ /|๐‘Š๐‘Š(0)| dove ๐‘Š๐‘Š๐‘Ÿ๐‘Ÿ = max{|๐‘Š๐‘Š(๐‘—๐‘—๐‘—๐‘—)|}
Valori tipici 1๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ < ๐‘€๐‘€๐‘Ÿ๐‘Ÿ < 5๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘
Quanto piรน รจ significativa lโ€™entitร  del picco di risonanza tanto piรน il sistema รจ โ€œvicinoโ€ alla
condizione di instabilitร 
Si ha robustezza della stabilitร  in catena chiusa sei ๐‘€๐‘€๐‘Ÿ๐‘Ÿ รจ piccolo: ๐‘€๐‘€๐‘Ÿ๐‘Ÿ โ‰ค ๐‘€๐‘€๐‘Ÿ๐‘Ÿ,lim ; Affinchรฉ tale
relazione sia soddisfatta, il diagramma di Nyquist deve essere esterno alla circonferenza
corrispondente a ๐‘ด๐‘ด๐’“๐’“,๐’๐’๐’๐’๐’๐’ per tutti i valori di ๐œ”๐œ”

Risposta transitoria e risposta in frequenza:
Definendo la fdt dโ€™anello ๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž (๐‘ ๐‘ ) =

๐‘๐‘๐‘Ž๐‘Ž (๐‘ ๐‘ )
๐ท๐ท๐‘Ž๐‘Ž (๐‘ ๐‘ )

=

๐‘š๐‘š

๐‘Ž๐‘Ž ๏ฟฝ๐‘ ๐‘ โˆ’ฮถ ๏ฟฝ๏ฟฝ
๏ฟฝ๐พ๐พ๐‘Ž๐‘Ž โˆ๐‘—๐‘—=1
j
๐‘›๐‘›๐‘Ž๐‘Ž
โˆ๐‘–๐‘–=1
(๐‘ ๐‘ โˆ’๐œ†๐œ†๐‘–๐‘– )

Definendo le fdt della catena chiusa ๐‘Š๐‘Š(๐‘ ๐‘ ) = ๐พ๐พ๐‘Ÿ๐‘Ÿ ๐‘Š๐‘Š๐‘ฆ๐‘ฆ (๐‘ ๐‘ )
๐‘Š๐‘Š๐‘ฆ๐‘ฆ (๐‘ ๐‘ ) =

๐‘๐‘๐‘Š๐‘Š (๐‘ ๐‘ )
๐ท๐ท๐‘Š๐‘Š (๐‘ ๐‘ )

Si ricava ๐‘Š๐‘Š๐‘ฆ๐‘ฆ =

Dunque:
-

=

๐‘๐‘๐‘Š๐‘Š
๐ท๐ท๐‘Š๐‘Š

๐‘š๐‘š

๐‘Š๐‘Š ๏ฟฝ๐‘ ๐‘ โˆ’ฮถ ๏ฟฝ๏ฟฝ
๏ฟฝ๐พ๐พ๐‘Ž๐‘Ž โˆ๐‘—๐‘—=1
j
๐‘›๐‘›

, con ๐‘š๐‘š๐‘Ž๐‘Ž < ๐‘›๐‘›๐‘Ž๐‘Ž

, con ๐‘š๐‘š๐‘Š๐‘Š < ๐‘›๐‘›๐‘Š๐‘Š

๐‘Š๐‘Š (๐‘ ๐‘ โˆ’๐œ†๐œ† )
โˆ๐‘–๐‘–=1
๐‘–๐‘–
๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž
๐‘๐‘๐‘Ž๐‘Ž

=

1+๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž

=

๐ท๐ท๐‘Ž๐‘Ž +๐‘๐‘๐‘Ž๐‘Ž

Lโ€™ordine della catena chiusa coincide con quello della catena aperta
Il numeratore della catena chiusa coincide con quello della catena aperta
La catena chiusa ha gli stessi zeri della catena aperta

Si definisce banda di bassa frequenza BF lโ€™insieme di ๐œ”๐œ” โ‰ช ๐œ”๐œ”๐‘๐‘
Si definisce banda di alta frequenza AF lโ€™insieme di ๐œ”๐œ” โ‰ซ ๐œ”๐œ”๐‘๐‘
In genere |๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž |๐ต๐ต๐ต๐ต โ‰ซ 1 a motivo delle specifiche di precisione in regime permanente
In genere |๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž |๐ด๐ด๐ด๐ด โ‰ช 1 in quanto il sistema รจ strettamente proprio

Si deduce che nella banda in cui |๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž | โ‰ซ 1(in genere BF) il guadagno staziona della catena chiusa รจ
circa unitario e i suoi poli sono approssimativamente coincidenti con gli zeri della catena aperta.
Si deduce che nella banda in cui |๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž | โ‰ช 1(in genere AF) la catena chiusa coincide
approssimativamente con la catena aperta. In particola i poli della catena chiusa in AF sono
approssimativamente coincidenti con quelli della catena aperta.

A seguito delle approssimazioni si possono estrarre delle relazioni notevoli per ๐‘พ๐‘พ๐’“๐’“๐’“๐’“๐’“๐’“ :
- ๐œ”๐œ”๐ต๐ต ๐‘ก๐‘ก๐‘ ๐‘  โ‰… 3 (banda passanteโ‹…tempo di salita)
- ๐œ”๐œ”๐‘๐‘ /๐œ”๐œ”๐ต๐ต โ‰… 0.63
- 1 + ๐‘ ๐‘ ฬ‚ /๐‘€๐‘€๐‘Ÿ๐‘Ÿ โ‰… 0.9
- ๐‘š๐‘š๐œ‘๐œ‘ ๐‘€๐‘€๐‘Ÿ๐‘Ÿ โ‰… 60 (in gradi โ‹… ๐‘ข๐‘ข๐‘›๐‘› )
Possiamo approssimare
๏ฟฝ๐‘š๐‘š๐œ‘๐œ‘,๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™ ๏ฟฝ
โ‰… 60ยฐ โˆ’ 5๏ฟฝ๐‘€๐‘€๐‘Ÿ๐‘Ÿ,๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™ ๏ฟฝ๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘
๐‘”๐‘”๐‘”๐‘”๐‘”๐‘”๐‘”๐‘”๐‘”๐‘”

Last Rev: 12/06/2015

[Controlli Automatici]
Antonio Mignano

Pag. 7 a 9
Rev. 3

Facendo riferimento al consueto schema di controllo, si consideri in particolare:
๐‘Š๐‘Š๐‘’๐‘’ (๐‘ ๐‘ ) =

๐‘Ÿ๐‘Ÿ(๐‘ก๐‘ก) = sin(๐œ”๐œ”0 ๐‘ก๐‘ก)

๐‘’๐‘’(๐‘ ๐‘ )
๐‘Ÿ๐‘Ÿ(๐‘ ๐‘ )

=

๐พ๐พ๐‘Ÿ๐‘Ÿ

1+๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž (๐‘ ๐‘ )

Lโ€™errore di inseguimento in regime permanente รจ pertanto dato da ๐‘’๐‘’๐‘๐‘ (๐‘ก๐‘ก) = ๐ธ๐ธ โ‹… sin(๐œ”๐œ”0 ๐‘ก๐‘ก + ๐œ‘๐œ‘๐‘’๐‘’ ) con
๐ธ๐ธ = |๐‘Š๐‘Š๐‘’๐‘’ (๐‘—๐‘—๐œ”๐œ”0 )| e ๐œ‘๐œ‘๐‘’๐‘’ = arg๏ฟฝ๐‘Š๐‘Š๐‘’๐‘’ (๐‘—๐‘—๐œ”๐œ”0 )๏ฟฝ. Lโ€™errore massimo in modulo in regime permanente รจ E.

Se ho un errore di tipo sinusoidale:
-Se posto sullโ€™ingresso lo riuscirรฒ ad attenuare in alta frequenza ๐œ”๐œ”๐‘‘๐‘‘ โ‰ซ ๐œ”๐œ”๐‘๐‘
-Se posto sullโ€™uscita lo riuscirรฒ ad attenuare in bassa frequenza ๐œ”๐œ”๐‘‘๐‘‘ โ‰ช ๐œ”๐œ”๐‘๐‘
-Se posto sulla retroazione lo riuscirรฒ ad attenuare in bassa frequenza ๐œ”๐œ”๐‘‘๐‘‘ โ‰ซ ๐œ”๐œ”๐‘๐‘
Rete anticipatrice o derivativa:
๐‘…๐‘…๐‘‘๐‘‘ (๐‘ ๐‘ ) =

1+๐œ๐œ๐‘‘๐‘‘ ๐‘ ๐‘ 
๐œ๐œ

Introduce un aumento (anticipo) di fase crescente al crescere di ๐‘š๐‘š๐‘‘๐‘‘

1+๐‘š๐‘š๐‘‘๐‘‘ ๐‘ ๐‘ 
๐‘‘๐‘‘

dove ๐œ๐œ๐‘‘๐‘‘ = ๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘‘๐‘‘ /๐œ”๐œ”๐‘๐‘,๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ dove ๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘‘๐‘‘ รจ lโ€™ascissa sul diagramma
Per disegnarmi il diagramma generalizzato di una rete ๐‘š๐‘š๐‘‘๐‘‘ faccio bode((1+s)/(1+s/md))
Rete attenuatrice:
๐‘…๐‘…๐‘–๐‘– (๐‘ ๐‘ ) =

๐œ๐œ
1+ ๐‘–๐‘– ๐‘ ๐‘ 
๐‘š๐‘š๐‘–๐‘–

Introduce un attenuazione di modulo crescente al crescere di ๐‘š๐‘š๐‘–๐‘–

1+๐œ๐œ๐‘–๐‘– ๐‘ ๐‘ 

dove ๐œ๐œ๐‘–๐‘– = ๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘–๐‘– /๐œ”๐œ”๐‘๐‘,๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ dove ๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘–๐‘– รจ lโ€™ascissa sul diagramma. Lโ€™aumento di ๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘–๐‘– fa aumentare il tempo di
assestamento.
Funzione di sensibilitร : ๐‘†๐‘†(๐‘ ๐‘ ) =
PID: ๐‘…๐‘…๐‘ƒ๐‘ƒ๐‘ƒ๐‘ƒ๐‘ƒ๐‘ƒ (๐‘ ๐‘ ) = ๐พ๐พ๐‘๐‘ +

๐พ๐พ๐ผ๐ผ
๐‘ ๐‘ 

1

1+๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž (๐‘ ๐‘ )

๐‘Ÿ๐‘Ÿ (๐‘ ๐‘ )
oppure ๐‘…๐‘…๐‘ƒ๐‘ƒ๐‘ƒ๐‘ƒ๐‘ƒ๐‘ƒ
= ๐พ๐พ๐‘ƒ๐‘ƒ ๏ฟฝ1 +

+ ๐พ๐พ๐ท๐ท ๐‘ ๐‘ 

1

๐‘‡๐‘‡๐ผ๐ผ ๐‘ ๐‘ 

con ๐‘‡๐‘‡๐ผ๐ผ = ๐พ๐พ๐‘ƒ๐‘ƒ /๐พ๐พ๐ผ๐ผ tempo integrale e ๐‘‡๐‘‡๐ท๐ท = ๐พ๐พ๐ท๐ท /๐พ๐พ๐‘ƒ๐‘ƒ tempo derivativo

+

๐‘‡๐‘‡๐ท๐ท ๐‘ ๐‘ 

๐‘‡๐‘‡
1+ ๐ท๐ท ๐‘ ๐‘ 
๐‘๐‘

๏ฟฝ

Prendendo come ๐พ๐พ๐‘๐‘ il margine di guadagno ๐‘š๐‘š๐บ๐บ del sistema, e come ๐‘‡๐‘‡ il periodo dellโ€™oscillazione
sullโ€™uscita pari a 2๐œ‹๐œ‹/๐œ”๐œ”๐œ‹๐œ‹ possiamo ricavare secondo:
๐‘ฒ๐‘ฒ๐‘ท๐‘ท
๐‘ป๐‘ป๐‘ฐ๐‘ฐ
๐‘ป๐‘ป๐‘ซ๐‘ซ
P
0.5๐พ๐พ๐‘ƒ๐‘ƒ
PI
0.45 ๐พ๐พ๐‘ƒ๐‘ƒ 0.8๐‘‡๐‘‡
PID
0.6๐พ๐พ๐‘ƒ๐‘ƒ 0.5๐‘‡๐‘‡ 0.125๐‘‡๐‘‡
Nel metodo di Ziegler-Nichols in anello aperto, si utilizza una fdt approssimata del I ordine con
ritardo:

Last Rev: 12/06/2015

๐น๐น(๐‘ ๐‘ ) =

๐พ๐พ๐น๐น

1+๐œ๐œ๐น๐น ๐‘ ๐‘ 

โ‹… ๐‘’๐‘’ โˆ’๐œƒ๐œƒ๐น๐น ๐‘ ๐‘ 

[Controlli Automatici]
Antonio Mignano

Pag. 8 a 9
Rev. 3

Per determinare ๐พ๐พ๐น๐น , ๐œ๐œ๐‘“๐‘“ , ๐œƒ๐œƒ๐น๐น si utilizza il metodo della tangente (leggendo dallo step della funzione)
๐‘ฆ๐‘ฆ(๐œ๐œ๐น๐น + ๐œƒ๐œƒ๐น๐น ) = 0.63 ๐‘ฆ๐‘ฆโˆž
๐œƒ๐œƒ๐น๐น = da dove comincia il grafico (ritardo)
P
PI
PID
Discretizzazione controllore:
๐‘‡๐‘‡๐‘๐‘ =

2๐œ‹๐œ‹

20โˆ—๐œ”๐œ”๐ต๐ต

๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Žโ„Ž =

๐บ๐บ๐‘Ž๐‘Ž
๐‘‡๐‘‡
1+๐‘ ๐‘ โ‹… 2๐ถ๐ถ

๐‘ฒ๐‘ฒ๐‘ท๐‘ท
๐œ๐œ๐น๐น
๐พ๐พ๐น๐น ๐œƒ๐œƒ๐น๐น
0.9๐œ๐œ๐น๐น
๐พ๐พ๐น๐น ๐œƒ๐œƒ๐น๐น
๐œ๐œ
1.2 ๐น๐น

๐พ๐พ๐น๐น ๐œƒ๐œƒ๐น๐น

๐‘ป๐‘ป๐‘ฐ๐‘ฐ

๐‘ป๐‘ป๐‘ซ๐‘ซ

3๐œƒ๐œƒ๐น๐น

2๐œƒ๐œƒ๐น๐น 0.5๐œƒ๐œƒ๐น๐น

Cz1 = c2d(C, Tc, 'zoh');
Cz2 = c2d(C, Tc, 'tustin');
Cz3 = c2d(C, Tc, 'matched');
Fz = c2d(F, Tc, 'zoh');

Last Rev: 12/06/2015

[Controlli Automatici]
Antonio Mignano

Pag. 9 a 9
Rev. 3


Related documents


appunti controlli automatici antonio mignano
24 10 wild1
corso estivo moda
le civilta precolombiane 2
formulario mignano a
scaricare libri eccomi gratis di jonathan safran foer


Related keywords