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Appunti
Controlli
Automatici
A.2014/2015
Antonio Mignano
Per sistema si intendo un ente (fisico o astratto) dato dallโinterconnessione di piรน parti elementari,
per cui vale il principio di azione reazione. Indicheremo con ๐ข๐ข(โ) lโingresso (azione, causa) e con
๐ฆ๐ฆ(โ) lโuscita (reazione, effetto). Con la notazione ๐๐(โ), ๐๐(โ) si intendono le funzioni di ingresso e di
uscita con ๐๐(๐๐), ๐๐(๐๐) si intendono i valori dellโingresso e dellโuscita nellโistante t.
Per sistema statico si intende un sistema in cui il legame i/o รจ istantaneo โ ๐ฆ๐ฆ(๐ก๐ก) = ๐๐๏ฟฝ๐ข๐ข(๐ก๐ก)๏ฟฝ,
ovvero lโuscita dipende solo dallโingresso in quellโistante.
Per sistema dinamico si intende un sistema in cui il legame i/o รจ dinamico
โ ๐ฆ๐ฆ(๐ก๐ก) = ๐๐๏ฟฝ๐ข๐ข(] โ โ, ๐ก๐ก)๏ฟฝ, ovvero lโuscita dipende anche dagli ingressi precedenti.
Per riassumere tutta la โstoria passataโ del sistema del sistema fino allโistante ๐๐ si introduce lo
stato ๐๐(๐๐) โ ๐๐๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ(๐๐), ๐ข๐ข([๐๐, ๐ก๐ก])๏ฟฝ, โ๐ก๐ก โฅ ๐๐.
Definizione assiomatica di sistema dinamico: ๐๐(๐๐, ๐๐, ฮฉ, ๐๐, ๐๐, ฮ, ๐๐, ๐๐)
โข
โข
โข
โข
โข
โข
T: insieme ordinato dei tempi
U: insieme dei valori assunti dallโingresso u
ฮฉ: insieme delle funzioni di ingresso {๐ข๐ข(โ): ๐๐ โ ๐๐}
X: insieme dei valori assunti dallo stato x
Y: insieme dei valori assunti dallโuscita y
ฮ: insieme delle funzioni dโuscita {๐ฆ๐ฆ(โ): ๐๐ โ ๐๐}
La funzione di transizione dello stato ๐๐ rappresenta lโevoluzione temporale dello stato ed รจ
descritta dallโequazione ๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก) = ๐๐๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐๐, ๐ฅ๐ฅ(๐๐), ๐ข๐ข(โ)๏ฟฝ
La funzione di uscita ๐๐ rappresenta lโevoluzione temporale dellโuscita ed รจ descritta
dallโequazione:
โข
โข
SISTEMA IMPROPRIO: ๐ฆ๐ฆ(๐ก๐ก) = ๐๐๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก), ๐ข๐ข(๐ก๐ก)๏ฟฝ โ Non fisicamente realizzabile poichรฉ
lโuscita dipende dallโingresso nello stesso istante
SISTEMA PROPRIO: ๐ฆ๐ฆ(๐ก๐ก) = ๐๐๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก)๏ฟฝ
Classifichiamo i sistemi in sistemi a tempo continuo se ๐๐ โ โ, a tempo discreto se ๐๐ โ โค.
Un sistema si dice MIMO (multiple input multiple output) se presenta piรน ingressi e piรน uscite,
altrimenti SISO (single input single output) se presenta un solo ingresso ed una sola uscita.
Un sistema di dice a dimensione finita (o a parametri concentrati) se ha un numero finito di
variabili di stato, altrimenti si dice a dimensione infinita (o a parametri distribuiti) se ha un
numero infinito di variabili di stato.
Il sistema dinamico รจ lineare se
โข
โข
โข
๐๐, ฮฉ, ๐๐, ๐๐, ฮ sono spazi vettoriali
๐๐ รจ lineare in x e in u. ๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก) = ๐๐๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐๐, ๐ฅ๐ฅ(๐๐), ๐ข๐ข(โ)๏ฟฝ = ๐๐๐๐ (๐ก๐ก, ๐๐)๐ฅ๐ฅ(๐๐) + ๐๐๐๐ (๐ก๐ก, ๐๐)๐ข๐ข(โ) = ๐ฅ๐ฅ๐๐ (๐ก๐ก) + ๐ฅ๐ฅ๐๐ (๐ก๐ก)
dove ๐ฅ๐ฅ๐๐ (๐ก๐ก) รจ la risposta libera ed ๐ฅ๐ฅ๐๐ (๐ก๐ก) รจ la risposta forzata (dipende dallโingresso)
๐๐ รจ lineare in x e in u. ๐๐๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก), ๐ข๐ข(๐ก๐ก)๏ฟฝ = ๐ถ๐ถ(๐ก๐ก)๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก) + ๐ท๐ท(๐ก๐ก)๐ข๐ข(๐ก๐ก)
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Il sistema dinamico รจ stazionario (o tempo-invariante) se ๐๐ ed ๐๐ non dipendono esplicitamente
dal tempo (ovvero, se compare la t nelle variabili di stato e/o nella funzione di uscita), altrimenti il
sistema dinamico รจ non stazionario (o tempo-variante).
SLIDE 24
Criterio di Routh:
Per avere โ๏ฟฝ๐๐(๐๐๐๐ )๏ฟฝ < 0โ ๐๐๐๐ gli elementi della prima
colonna devo avere tutti segno concorde.
# radici con ๐ ๐ (๐๐) > 0 = # variazioni di segno (prima col)
Criterio di Jury: ๐๐(๐๐) = ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐โ1 ๐๐๐๐โ1 + โฏ + ๐๐1 ๐๐ + ๐๐0
Per avere โ๏ฟฝ๐๐(๐๐๐๐ )๏ฟฝ < 1โ ๐๐๐๐ :
- Per n = 2, siano soddisfatte 3 disuguaglianze:
1) ๐๐(๐๐ = 1) > 0
2) (โ1)๐๐ ๐๐(๐๐ = โ1) > 0
3) |๐๐๐๐ | > |๐๐0 |
- Per n > 2 oltre le disuguaglianze siano soddisfatte altre n-2
disuguaglianze nella tabella (con n-1 coppie di righe)
1) |๐๐0 | > |๐๐๐๐1 |
2) |๐๐0 | > |๐๐๐๐โ2 |
3) โฆ
4) |๐ง๐ง0 | > |๐ง๐ง2 |
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Infine
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Sistemi di Controllo
La funzione di trasferimento ad anello chiuso ๐๐๐ฆ๐ฆ (๐ ๐ ) =
dove ๐ฆ๐ฆ(๐ ๐ ) = ๐บ๐บ(๐ ๐ )๐๐(๐ ๐ ) = ๐บ๐บ(๐ ๐ )[๐ฆ๐ฆ๐๐๐๐๐๐ (๐ ๐ ) ยฑ ๐ฆ๐ฆโ (๐ ๐ )]
๐ฎ๐ฎ(๐๐)
โ ๐พ๐พ๐๐ (๐๐) =
๐๐ โ ๐ฎ๐ฎ(๐๐)๐ฏ๐ฏ(๐๐)
๐ฆ๐ฆ(๐ ๐ )
๐ฆ๐ฆ_๐๐๐๐๐๐(๐ ๐ )
Funzione di trasferimento dโanello: ๐บ๐บ(๐ ๐ )๐ป๐ป(๐ ๐ )
Guadagno stazionario: ๐พ๐พ๐บ๐บ = lim{๐ ๐ โ โ ๐บ๐บ(๐ ๐ )}, con h molteplicitร polo in s = 0
Errore in regime
permanente:
Tipo 1
๐๐(t)
๐พ๐พ๐๐
1 + ๐พ๐พ๐บ๐บ๐บ๐บ
Tipo 2
0
Tipo 0
Sistema
๐ ๐ โ0
0
Disturbo entrante:
Riferimento r(t)
๐ก๐ก
๐ก๐ก 2 /2
โ
๐พ๐พ๐๐
๐พ๐พ๐บ๐บ๐บ๐บ
0
โ
โ
๐พ๐พ๐๐
๐พ๐พ๐บ๐บ๐บ๐บ
Lโeffetto del disturbo entrante in un punto qualsiasi del sistema e uguale a |Kr/(prodotto dei
guadagni stazionari dei blocchi precedenti)|
Vincoli sul numero di poli in s = 0
๐๐0,๐น๐น = # poli in s = 0 di F(s) ๐๐0,๐ถ๐ถ = # poli n s = 0 di C(s) k = grado riferimento polinomiale
Se ๐๐0,๐น๐น < ๐๐ โ ๐๐0,๐ถ๐ถ = (๐๐ โ ๐๐0,๐น๐น )
per errore finito
๐๐0,๐ถ๐ถ = (๐๐ + 1 โ ๐๐0,๐น๐น ) per errore nullo
Comandi MatLab:
Sintassi
s=tf(โsโ)
feedback($ramo_diretto, $ramo_retr, [$segno])
step($fdt_anello_chiuso, $istante_finale_simul)
damp($fdt)
margin($fdt)
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Funzione
Permetti di calcolare la fdt di un sistem LTI
Calcola la fdt
Applica il gradino unitario alla fdt
Calcola poli, pulsazioni e ๐๐
Calcola margine di fase e di guadagno
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Diagrammi di Bode:
Fattori elementari:
-
-
Guadagno:
๐๐1 (๐ ๐ ) = ๐พ๐พ, ๐พ๐พ โ 0
o ๐๐(๐๐) = 20 log10 (|๐พ๐พ|), ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โ๐๐
0ยฐ ๐๐๐๐๐๐ ๐พ๐พ > 0, ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โ๐๐
o ๐๐(๐๐) = ๏ฟฝ
โ180ยฐ ๐๐๐๐๐๐ ๐พ๐พ < 0, ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โ๐๐
๐พ๐พ
Polo nellโorigine:
๐๐2 (๐ ๐ ) = , ๐พ๐พ > 0
๐ ๐
|๐พ๐พ|
o ๐๐(๐๐) = 20 log10 ๏ฟฝ ๏ฟฝ = ๐พ๐พ๐๐๐๐ โ 20 log10 (๐๐)
๐๐
-
o ๐๐(๐๐) = โ90ยฐ = ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โ๐๐
Polo reale ๐๐(negativo o positivo)
๐ ๐ โ1
๐๐3 (๐ ๐ ) = ๏ฟฝ1 โ ๏ฟฝ
๐๐
๐๐ โ1
โ ๐๐3 (๐๐๐๐) = ๏ฟฝ1 โ ๐๐ ๏ฟฝ
๐๐
Approssimando per basse freq. (๐๐ โช |๐๐|), alte freq. (๐๐ โซ |๐๐|) e pt. centrale (๐๐ = |๐๐| ):
๐๐ = โ20 log10 (ฮฉ)
๐๐ = 0 ๐๐๐๐
1
๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ (๐๐๐๐ ) = โ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ (๐๐) โ ๏ฟฝ
๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ (๐๐๐๐ ) = 1 โ ๏ฟฝ
๐๐ฮฉ
๐๐ = 0ยฐ
๐๐โช|๐๐|
๐๐โซ|๐๐|
๐๐ = ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ (๐๐) โ 90ยฐ
๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ (๐๐๐๐ ) = ๏ฟฝ1 โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐(๐๐)๏ฟฝ
๐๐=|๐๐|
-
โ1
1
๐๐ = 20 log10 ๏ฟฝ
โ๏ฟฝ
Coppia di poli complessi coniugati ๐๐4 (๐ ๐ ) = ๏ฟฝ1 +
๏ฟฝ โ โ3๐๐๐๐
โ2
๐๐ = ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ (๐๐) โ 45ยฐ
2ฮถ
๐๐๐๐
๐ ๐ +
๐ ๐ 2
โ1
2๏ฟฝ
๐๐๐๐
Approssimando per basse freq. (๐๐ โช ๐๐๐๐ ), alte freq. (๐๐ โซ ๐๐๐๐ ) e pt. Centrale(๐๐ = ๐๐๐๐ ):
๐๐ = โ40 log10 (ฮฉ)
๐๐ = 0 ๐๐๐๐
๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ (๐๐๐๐ ) = 1 โ ๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐๐๐โซ๐๐๐๐ (๐๐๐๐ ) = ๏ฟฝ
๐๐
=
0ยฐ
๐๐โช๐๐๐๐
๐๐ = โ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ (ฮถ) โ 180ยฐ
1
๐๐ = 20 log10 ๏ฟฝ
๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐๐๐=๐๐๐๐ (๐๐๐๐ ) = ๏ฟฝ
2|๐๐|
๐๐ = โ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ (๐๐) โ 90ยฐ
Diagrammi di Nyquist:
๐๐๐๐,๐๐ = #poli instabili di ๐บ๐บ๐๐ (๐ ๐ )
๐๐๐๐,๐๐ = # polito instabili di ๐๐(๐ ๐ )
๐๐ = # giri compiuti in senso orario da ๐บ๐บ๐๐ (๐๐๐๐) attorno al punto (โ1,0) al variare di ๐๐
Si puรฒ dimostrare che ๐๐ = ๐๐๐๐,๐๐ โ ๐๐๐๐,๐๐
Criterio di Nyquist: Condizione necessaria e sufficiente per lโasintotica stabilitร โ
๐๐๐๐,๐๐ = 0 โ ๐๐ = โ๐๐๐๐,๐๐
Con guadagno variabile si considera come punto critico ๏ฟฝโ
Margini di stabilitร :
1
๐พ๐พ๐๐
, 0๏ฟฝ al posto di (โ1,0)
Margine di guadagno:
Bode: ๐๐๐บ๐บ,๐๐๐๐ = โ|๐บ๐บ๐๐ (๐๐๐๐๐๐ )|๐๐๐๐ = valore del modulo in corrispondenza di ๐๐ = โ180ยฐ
1
Nyquist: ๐๐๐บ๐บ = |๐๐ | dove ๐๐๐ด๐ด รจ il punto di attraversamento dellโasse delle ascisse
๐ด๐ด
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Margine di fase:
Bode: Valore della fase in corrispondenza di |๐บ๐บ๐๐ (๐๐๐๐)| = 0
Nyquist: ๐๐๐๐ = 180ยฐ + โ ๐บ๐บ๐๐ (๐๐๐๐๐๐ ) ovvero la fase che presenta il diagramma nel punto di
intersezione con la circonferenza di raggio unitario
Margini indiretti:
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ /|๐๐(0)| dove ๐๐๐๐ = max{|๐๐(๐๐๐๐)|}
Valori tipici 1๐๐๐๐ < ๐๐๐๐ < 5๐๐๐๐
Quanto piรน รจ significativa lโentitร del picco di risonanza tanto piรน il sistema รจ โvicinoโ alla
condizione di instabilitร
Si ha robustezza della stabilitร in catena chiusa sei ๐๐๐๐ รจ piccolo: ๐๐๐๐ โค ๐๐๐๐,lim ; Affinchรฉ tale
relazione sia soddisfatta, il diagramma di Nyquist deve essere esterno alla circonferenza
corrispondente a ๐ด๐ด๐๐,๐๐๐๐๐๐ per tutti i valori di ๐๐
Risposta transitoria e risposta in frequenza:
Definendo la fdt dโanello ๐บ๐บ๐๐ (๐ ๐ ) =
๐๐๐๐ (๐ ๐ )
๐ท๐ท๐๐ (๐ ๐ )
=
๐๐
๐๐ ๏ฟฝ๐ ๐ โฮถ ๏ฟฝ๏ฟฝ
๏ฟฝ๐พ๐พ๐๐ โ๐๐=1
j
๐๐๐๐
โ๐๐=1
(๐ ๐ โ๐๐๐๐ )
Definendo le fdt della catena chiusa ๐๐(๐ ๐ ) = ๐พ๐พ๐๐ ๐๐๐ฆ๐ฆ (๐ ๐ )
๐๐๐ฆ๐ฆ (๐ ๐ ) =
๐๐๐๐ (๐ ๐ )
๐ท๐ท๐๐ (๐ ๐ )
Si ricava ๐๐๐ฆ๐ฆ =
Dunque:
-
=
๐๐๐๐
๐ท๐ท๐๐
๐๐
๐๐ ๏ฟฝ๐ ๐ โฮถ ๏ฟฝ๏ฟฝ
๏ฟฝ๐พ๐พ๐๐ โ๐๐=1
j
๐๐
, con ๐๐๐๐ < ๐๐๐๐
, con ๐๐๐๐ < ๐๐๐๐
๐๐ (๐ ๐ โ๐๐ )
โ๐๐=1
๐๐
๐บ๐บ๐๐
๐๐๐๐
=
1+๐บ๐บ๐๐
=
๐ท๐ท๐๐ +๐๐๐๐
Lโordine della catena chiusa coincide con quello della catena aperta
Il numeratore della catena chiusa coincide con quello della catena aperta
La catena chiusa ha gli stessi zeri della catena aperta
Si definisce banda di bassa frequenza BF lโinsieme di ๐๐ โช ๐๐๐๐
Si definisce banda di alta frequenza AF lโinsieme di ๐๐ โซ ๐๐๐๐
In genere |๐บ๐บ๐๐ |๐ต๐ต๐ต๐ต โซ 1 a motivo delle specifiche di precisione in regime permanente
In genere |๐บ๐บ๐๐ |๐ด๐ด๐ด๐ด โช 1 in quanto il sistema รจ strettamente proprio
Si deduce che nella banda in cui |๐บ๐บ๐๐ | โซ 1(in genere BF) il guadagno staziona della catena chiusa รจ
circa unitario e i suoi poli sono approssimativamente coincidenti con gli zeri della catena aperta.
Si deduce che nella banda in cui |๐บ๐บ๐๐ | โช 1(in genere AF) la catena chiusa coincide
approssimativamente con la catena aperta. In particola i poli della catena chiusa in AF sono
approssimativamente coincidenti con quelli della catena aperta.
A seguito delle approssimazioni si possono estrarre delle relazioni notevoli per ๐พ๐พ๐๐๐๐๐๐ :
- ๐๐๐ต๐ต ๐ก๐ก๐ ๐ โ 3 (banda passanteโ tempo di salita)
- ๐๐๐๐ /๐๐๐ต๐ต โ 0.63
- 1 + ๐ ๐ ฬ /๐๐๐๐ โ 0.9
- ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ โ 60 (in gradi โ ๐ข๐ข๐๐ )
Possiamo approssimare
๏ฟฝ๐๐๐๐,๐๐๐๐๐๐ ๏ฟฝ
โ 60ยฐ โ 5๏ฟฝ๐๐๐๐,๐๐๐๐๐๐ ๏ฟฝ๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
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Facendo riferimento al consueto schema di controllo, si consideri in particolare:
๐๐๐๐ (๐ ๐ ) =
๐๐(๐ก๐ก) = sin(๐๐0 ๐ก๐ก)
๐๐(๐ ๐ )
๐๐(๐ ๐ )
=
๐พ๐พ๐๐
1+๐บ๐บ๐๐ (๐ ๐ )
Lโerrore di inseguimento in regime permanente รจ pertanto dato da ๐๐๐๐ (๐ก๐ก) = ๐ธ๐ธ โ sin(๐๐0 ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ) con
๐ธ๐ธ = |๐๐๐๐ (๐๐๐๐0 )| e ๐๐๐๐ = arg๏ฟฝ๐๐๐๐ (๐๐๐๐0 )๏ฟฝ. Lโerrore massimo in modulo in regime permanente รจ E.
Se ho un errore di tipo sinusoidale:
-Se posto sullโingresso lo riuscirรฒ ad attenuare in alta frequenza ๐๐๐๐ โซ ๐๐๐๐
-Se posto sullโuscita lo riuscirรฒ ad attenuare in bassa frequenza ๐๐๐๐ โช ๐๐๐๐
-Se posto sulla retroazione lo riuscirรฒ ad attenuare in bassa frequenza ๐๐๐๐ โซ ๐๐๐๐
Rete anticipatrice o derivativa:
๐ ๐ ๐๐ (๐ ๐ ) =
1+๐๐๐๐ ๐ ๐
๐๐
Introduce un aumento (anticipo) di fase crescente al crescere di ๐๐๐๐
1+๐๐๐๐ ๐ ๐
๐๐
dove ๐๐๐๐ = ๐ฅ๐ฅ๐๐ /๐๐๐๐,๐๐๐๐๐๐ dove ๐ฅ๐ฅ๐๐ รจ lโascissa sul diagramma
Per disegnarmi il diagramma generalizzato di una rete ๐๐๐๐ faccio bode((1+s)/(1+s/md))
Rete attenuatrice:
๐ ๐ ๐๐ (๐ ๐ ) =
๐๐
1+ ๐๐ ๐ ๐
๐๐๐๐
Introduce un attenuazione di modulo crescente al crescere di ๐๐๐๐
1+๐๐๐๐ ๐ ๐
dove ๐๐๐๐ = ๐ฅ๐ฅ๐๐ /๐๐๐๐,๐๐๐๐๐๐ dove ๐ฅ๐ฅ๐๐ รจ lโascissa sul diagramma. Lโaumento di ๐ฅ๐ฅ๐๐ fa aumentare il tempo di
assestamento.
Funzione di sensibilitร : ๐๐(๐ ๐ ) =
PID: ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ (๐ ๐ ) = ๐พ๐พ๐๐ +
๐พ๐พ๐ผ๐ผ
๐ ๐
1
1+๐บ๐บ๐๐ (๐ ๐ )
๐๐ (๐ ๐ )
oppure ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐
= ๐พ๐พ๐๐ ๏ฟฝ1 +
+ ๐พ๐พ๐ท๐ท ๐ ๐
1
๐๐๐ผ๐ผ ๐ ๐
con ๐๐๐ผ๐ผ = ๐พ๐พ๐๐ /๐พ๐พ๐ผ๐ผ tempo integrale e ๐๐๐ท๐ท = ๐พ๐พ๐ท๐ท /๐พ๐พ๐๐ tempo derivativo
+
๐๐๐ท๐ท ๐ ๐
๐๐
1+ ๐ท๐ท ๐ ๐
๐๐
๏ฟฝ
Prendendo come ๐พ๐พ๐๐ il margine di guadagno ๐๐๐บ๐บ del sistema, e come ๐๐ il periodo dellโoscillazione
sullโuscita pari a 2๐๐/๐๐๐๐ possiamo ricavare secondo:
๐ฒ๐ฒ๐ท๐ท
๐ป๐ป๐ฐ๐ฐ
๐ป๐ป๐ซ๐ซ
P
0.5๐พ๐พ๐๐
PI
0.45 ๐พ๐พ๐๐ 0.8๐๐
PID
0.6๐พ๐พ๐๐ 0.5๐๐ 0.125๐๐
Nel metodo di Ziegler-Nichols in anello aperto, si utilizza una fdt approssimata del I ordine con
ritardo:
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๐น๐น(๐ ๐ ) =
๐พ๐พ๐น๐น
1+๐๐๐น๐น ๐ ๐
โ ๐๐ โ๐๐๐น๐น ๐ ๐
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Per determinare ๐พ๐พ๐น๐น , ๐๐๐๐ , ๐๐๐น๐น si utilizza il metodo della tangente (leggendo dallo step della funzione)
๐ฆ๐ฆ(๐๐๐น๐น + ๐๐๐น๐น ) = 0.63 ๐ฆ๐ฆโ
๐๐๐น๐น = da dove comincia il grafico (ritardo)
P
PI
PID
Discretizzazione controllore:
๐๐๐๐ =
2๐๐
20โ๐๐๐ต๐ต
๐บ๐บ๐๐๐๐๐๐โ =
๐บ๐บ๐๐
๐๐
1+๐ ๐ โ 2๐ถ๐ถ
๐ฒ๐ฒ๐ท๐ท
๐๐๐น๐น
๐พ๐พ๐น๐น ๐๐๐น๐น
0.9๐๐๐น๐น
๐พ๐พ๐น๐น ๐๐๐น๐น
๐๐
1.2 ๐น๐น
๐พ๐พ๐น๐น ๐๐๐น๐น
๐ป๐ป๐ฐ๐ฐ
๐ป๐ป๐ซ๐ซ
3๐๐๐น๐น
2๐๐๐น๐น 0.5๐๐๐น๐น
Cz1 = c2d(C, Tc, 'zoh');
Cz2 = c2d(C, Tc, 'tustin');
Cz3 = c2d(C, Tc, 'matched');
Fz = c2d(F, Tc, 'zoh');
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