УДК 373: [512 + 517]
ББК 22.12я721 + 2.161я721
Н49
Рекомендовано Министерством образования и науки Украины
(письмо № 1/11–3169 от 29 июня 2004 г.)
Переведено по изданию:
Нелін Є. П. Алгебра і початки аналізу:
Дворівневий підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів. —
2е вид., виправ. і доп. — Х.: Світ дитинства, 2006. — 448 с.
Перевел с украинского Е. П. Нелин
Р е ц е н з е н т ы:
М. И. Бурда, членкорреспондент АПН Украины, доктор педагогических наук,
профессор, заместитель директора Института педагогики АПН
Украины
В. А. Золотарев, доктор физикоматематических наук, профессор, заведующий
кафедрой высшей математики и информатики Харьковского на
ционального университета им. В. Н. Каразина
А. Н. Роганин, учитель математики высшей категории, учительметодист Песо
чинского коллегиума Харьковского района Харьковской области
Х у д о ж н и к С. Э. Кулинич
Условные обозначения в учебнике
главное в учебном материале
X начало решения задачи
Y окончание решения задачи
( начало обоснования утверждения
) окончание обоснования утверждения
Н49
Нелин Е. П.
Алгебра и начала анализа: Двухуровневый учеб. для 10 кл. общеоб
разоват. учеб. заведений/Пер. с укр. Е. П. Нелина. — Х.: Мир детства,
2006.— 448 с.
ISBN 9665443798 (рус.).
ISBN 9665443852 (укр.).
УДК 373: [512 + 517]
ББК 22.12я721 + 2.161я721
ISBN 9665443798 (рус.)
ISBN 9665443852 (укр.)
©
©
©
©
Є. П. Нелін, 2004
Є. П. Нелін, 2006, з доповненнями
Е. П. Нелин, перевод на русский язык, 2006
НМЦ «Мир детства» ООО, оригиналмакет,
художественное оформление, 2006
Предисловие для учащихся
Вы начинаете изучать новый предмет «Алгебра и начала анализа», который
объединяет материал нескольких отраслей математической науки. Как и в курсе
алгебры, значительное внимание будет уделено преобразованию выражений,
решению уравнений, неравенств и их систем и изучению свойств функций.
Наряду с решением знакомых задач, связанных с многочленами, рациональ
ными дробями, степенями и корнями, в 10 классе будут рассмотрены новые
виды функций: тригонометрические, показательные и логарифмические и со
ответствующие уравнения и неравенства.
Принципиально новая часть курса — начала анализа — будет рассматри
ваться в 11 классе. Математический анализ (или просто анализ) — отрасль
математики, сформированная в XVIII в., которая сыграла значительную роль
в развитии природоведения: появился мощный, достаточно универсальный
метод исследования функций, которые возникают во время решения разнооб
разных прикладных задач.
Несколько замечаний о том, как пользоваться учебником.
Система учебного материала учебника по каждой теме представлена на
двух уровнях. Основной материал приведен в параграфах, номера которых
обозначены синим цветом. Дополнительный материал (номера параграфов
обозначены серым цветом) предназначен для овладения темой на более глубо
ком уровне и может осваиваться учеником самостоятельно или под руковод
ством учителя при изучении математики в классах универсального или есте
ственного профилей, а может использоваться для систематического изуче
ния углубленного курса алгебры и начал анализа в классах, школах, лицеях
и гимназиях физикоматематического профиля.
В начале многих параграфов приводятся справочные таблицы, которые со
держат основные определения, свойства и ориентиры по поиску плана решения
задач по теме. Для ознакомления с основными идеями решения задач приводят
ся примеры, в которых, кроме самого решения, содержится также коммента(
рий, который поможет составить план решения аналогичного задания.
С целью закрепления, контроля и самоконтроля усвоения учебного мате
риала после каждого параграфа предлагается система вопросов и упражне
ний. Ответы на эти вопросы и примеры решения аналогичных упражнений
можно найти в тексте параграфа. Система упражнений к основному материа
лу дана на трех уровнях. Задачи среднего уровня обозначены символом «°»,
более сложные задачи достаточного уровня даны без обозначений, а задачи
высокого уровня сложности обозначены символом «*». В учебнике и для мно
гих задач углубленного уровня предлагаются специальные ориентиры, по
зволяющие освоить методы их решения. Ответы и указания для большин
ства упражнений приведены в соответствующем разделе. О происхождении
понятий, терминов и символов вы узнаете, прочитав «Сведения из истории».
В конце учебника приведен справочный материал.
3
Предисловие для учителя
Предлагаемый учебник направлен на реализацию основных положений кон
цепции профильного обучения в старшей школе, на организацию личностно
ориентированного обучения математике. Учебник подготовлен в соответствии
с действующей программой по алгебре и началам анализа для 10–11 классов
с учетом программы по алгебре и началам анализа для 10–12 классов.
Отметим основные отличия предложенного учебника от других учебников
по алгебре и началам анализа.
Это двухуровневый учебник, который содержит общий материал для клас
сов универсального, естественного и физикоматематического профилей и до
полнительный материал для классов физикоматематического профиля.
В каждом разделе наряду с параграфами, предназначенными для овладения
учениками стандартного математического образования на академическом
уравне, есть систематический материал, предназначенный для организации
индивидуальной работы с учениками, которые интересуются математикой.
Предложенный дополнительный материал может использоваться и для орга
низации обучения алгебре и началам анализа в классах физикоматематиче
ского профиля или в специализированных школах и классах с углубленным
изучением математики.
Основной материал, который должны усвоить ученики, структурирован
в форме справочных таблиц в начале параграфа, содержащих систематиза
цию теоретического материала и способы деятельности с этим материалом
в форме специальных ориентиров по решению задач. В первую очередь уче
ники должны усвоить материал, который содержится в таблицах. По
этому при объяснении нового материала целесообразно применить работу
с учебником по соответствующим таблицам и рисункам. Все необходимые по
яснения и обоснования тоже приведены в учебнике, но каждый ученик может
выбирать свой собственный уровень ознакомления с этими обоснованиями.
В каждом разделе решению упражнений предшествует выделение общих ори
ентиров по решению таких задач. Поэтому важной составляющей работы с пред
ложенным учебником является обсуждение выбора соответствующих ориен
тиров и планов решения задач. Пояснение методов решения ведется по схеме:
Решение
Комментарий
Как можно записать
решение задачи
Как можно рассуждать
при решении такой задачи
При такой подаче учебного материала комментарий, в котором поясняет
ся решение, не мешает восприятию основной идеи и плана решения задач
определенного типа. Это позволяет ученику, который уже усвоил способ ре
шения, с помощью приведенного примера вспомнить, как решать задания, а
ученику, которому необходима консультация по решению, — получить та
кую детальную консультацию, содержащуюся в комментарии.
4
За счет четкого выделения общих ориентиров работы с практическими зада
ниями курса удается часть «нестандартных» (с точки зрения традиционных
учебников) задач перевести в разряд «стандартных» (например, уравнения, для
решения которых приходится применять свойства функций). Это позволяет
уменьшить разрыв между уровнем требований государственной аттестации по
алгебре и началам анализа и уровнем требований по этому курсу на вступи
тельных экзаменах в вузы, а также ознакомить учеников с методами решения
задач, которые предлагаются на вступительных экзаменах в вузы.
Заметим, что детальная систематизация по содержательным линиям учеб
ного материала и соответствующим способам деятельности по решению за
дач курса содержится также в пособии Е. П. Нелина «Алгебра в таблицах.
Учебное пособие для учащихся 7–11 классов».— Харьков: Мир детства, 1998–
2005, которое целесообразно использовать в учебном процессе в комплекте
с учебником.
Обозначения, встречающиеся в учебнике
N — множество всех натураль
ных чисел
Z — множество всех целых чи
сел
Z0 — множество всех неотрица
тельных целых чисел
Q — множество всех рациональ
ных чисел
R — множество всех действитель
ных чисел, числовая прямая
R+ — множество всех положи
тельных действительных
чисел
[a; b] — отрезок (замкнутый проме
жуток) с концами a и b,
a<b
(a; b) — интервал (открытый проме
жуток) с концами a и b,
a<b
| x | — модуль (абсолютная величи
на) числа x
[x] — целая часть числа x
{x} — дробная часть числа x
f (x) — значение функции f в точке x
D (f) — область определения функ
ции f
E (f) — область значений функции f
sin — функция синус
cos — функция косинус
tg — функция тангенс
ctg — функция котангенс
arcsin — функция арксинус
arccos — функция арккосинус
arctg — функция арктангенс
arcctg — функция арккотангенс
a — арифметический корень из
числа a
2k
(a; b],
[a; b) — полуоткрытые промежутки
с концами a и b, a < b
2k +1
a — арифметический корень 2k(й
степени из числа a (k ∈ N)
a — корень (2k+1)(й степени из
числа a (k ∈ N)
loga — логарифм по основанию a
lg — десятичный логарифм (лога
рифм по основанию 10)
ln — натуральный логарифм (лога
рифм по основанию e)
(a; +×),
[a; +×),
(–×; b],
(–×; b) — бесконечные промежутки
(–×; +×) — бесконечный промежуток,
числовая прямая
5
Раздел
Тригонометрические функции
§1
1
ПОВТОРЕНИЕ И РАСШИРЕНИЕ
СВЕДЕНИЙ О ФУНКЦИИ
1.1. ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОЙ ФУКЦИИ. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ
Таблица 1
1. Понятие числовой функции
Числовой функцией с областью оп
ределения D называется зависи
мость, при которой каждому числу x
из множества D (области определе
ния) ставится в соответствие един
ственное число y.
Записывают это соответствие так:
y = f (x).
Обозначения и термины
D (f) — область определения
E (f) — область значений
x — аргумент (независимая
переменная)
y — функция (зависимая
переменная)
f — функция
f (x0)— значение функции f
в точке x0
2. График функции
Графиком функции f называется
множество всех точек координат
ной плоскости с координатами
(x; f (x)), где первая координата x
«пробегает» всю область определе
ния функции, а вторая координа
та равна соответствующему значе
нию функции f в точке x.
6
§ 1. Повторение и расширение сведений о функции
П р о д о л ж. т а б л. 1
3. Возрастающие и убывающие функции
Функция f (x) возрастающая:
если х2 > x1, то f (x2) > f (x1)
(при увеличении аргумента соответ
ствующие точки графика поднима
ются).
Функция f (x) убывающая:
если x2 > x1, то f (x2) < f (x1)
(при увеличении аргумента соот
ветствующие точки графика опус
каются).
4. Четные и нечетные функции
Функция f (x) четная:
f (–x) = f (x)
для всех x из области определения.
График четной функции симметри
чен относительно оси Oy.
Функция f (x) нечетная:
f (–x) = –f (x)
для всех x из области
определения.
График нечетной функции сим
метричен относительно начала
координат (точки О).
7
РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции
Объяснение и обоснование
1. Понятие функции. С понятием функции вы ознакомились в курсе алгеб
ры. Напомним, что зависимость переменной y от переменной x называется
функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y.
В курсе алгебры и начал анализа мы будем пользоваться таким определе
нием числовой функции.
Числовой функцией с областью определения D называется зависимость,
при которой каждому числу x из множества D ставится в соответствие
единственное число y.
Функции обозначают латинскими (иногда греческими) буквами. Рассмот
рим произвольную функцию f. Число y, соответствующее числу x (на рисун
ке 1 это показано стрелкой), называют значением функции f в точке x и обо
значают f (x).
Область определения функции f — это множество тех значений, которые
может принимать аргумент x. Она обозначается D (f).
Область значений функции f — это множество, состоящее из всех чисел
f (x), где x принадлежит области определения. Ее обозначают E (f).
Чаще всего функцию задают с помощью какойлибо формулы. Если нет
дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной
формулой, считается множество всех значений переменной, при которых
эта формула имеет смысл.
Например, если функция задана формулой y = x +1 , то ее область опре
деления: x 0, то есть D (y) = [0; +), а область значений: y 1, то есть
E (y) = [1; +).
Иногда функция может задаваться разными формулами на разных множе
x при x 0,
ствах значений аргумента. Например, y = x =
−x при x < 0.
Функция может задаваться не только с помощью формулы, а и с помощью
таблицы, графика или словесного описания. Например, на рисунке 2 графи
Рис. 1
Рис. 2
8
§ 1. Повторение и расширение сведений о функции
y =[x]
y=| x |
Рис. 3
Рис. 4
чески задана функция y = f (x) с областью определения D (f) = [–1; 3] и множе
ством значений E (f) = [1; 4].
2. График функции. Напомним, что
графиком функции y = f (x) называется множество всех точек коорди
натной плоскости с координатами (x; f (x)), где первая координата x «про
бегает» всю область определения функции, а вторая координата — это
соответствующее значение функции f в точке x.
На рисунках к пункту 4 таблицы 1 приведены графики функций y = x2
и y = 1 , а на рисунке 3 — график функции y = | x |.
x
Приведем также график функции y = [x], где [x] — обозначение целой части
числа x, то есть наибольшего целого числа, не превосходящего x (рис. 4). Об
ласть определения этой функции D (y) = R — множество всех действительных
чисел, а область значений E (y) = Z — множество всех целых чисел.
На рисунке 5 приведен график еще одной числовой функции y = {x}, где
{x} — обозначение дробной части числа x (по определению {x} = x – [x]).
3. Возрастающие и убывающие функции. Важными характеристиками функ
ций являются их возрастание и убывание.
Функция f (x) называется возрастающей на множестве Р, если большему
значению аргумента из этого множества соответствует большее значение
функции.
То есть для любых двух значений x1
и x2 из множества Р, если x2 > x1, то
f (x2) > f (x1).
Например, функция f (x) = 2x воз
растающая (на всей области опреде
ления — на множестве R), поскольку
при x2 > x1 имеем 2x2 > 2x1, то есть
9
Рис. 5
РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции
у = х3
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
f (x2) > f (x1). У возрастающей функции при увеличении аргумента соответ
ствующие точки графика поднимаются (рис. 6).
На рисунке 7 приведен график еще одной возрастающей функции у = х3.
Действительно, при x2 > x1 имеем x23 > x13, то есть f (x2) > f (x1).
Функция f(x) называется убывающей на множестве Р, если большему
значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значе
ние функции.
То есть для любых двух значений x1 и x2 из множества Р, если x2 > x1, то
f (x2) < f (x1).
Например, функция f (x) = –2x убывающая (на всей области определе
ния — на множестве R), поскольку при x2 > x1 имеем –2x2 < –2x1, то есть
f (x2) < f (x1). У убывающей функции при увеличении аргумента соответству
ющие точки графика опускаются (рис. 8).
Рассматривая график функции y = x2 (рис. 9), видим, что на всей области
определения эта функция не является ни возрастающей, ни убывающей. Од
нако можно выделить промежутки области определения, где эта функция
возрастает и где убывает. Так, на промежутке [0; +) функция y = x2 возрас
тает, а на промежутке (–; 0] — убывает.
Отметим, что для возрастающих и убывающих функций выполняются
свойства, обратные утверждениям, содержащимся в определениях.
Если функция возрастает, то большему значению функции соот
ветствует большее значение аргумента.
Если функция убывает, то большему значению функции соответ
ствует меньшее значение аргумента.
( Обоснуем первое из этих свойств методом от противного. Пусть функция
f (x) возрастает и f (x2) > f (x1). Допустим, что аргумент x2 не больше аргу
мента x1, то есть x2 m x1. Из этого предположения получаем:
если x2 x1 и f (x) возрастает, то f (x2) f (x1), что противоречит условию
f (x2) > f (x1). Таким образом, наше предположение неверно, и если
f (x2) > f (x1), то x2 > x1, что и требовалось доказать.
Аналогично обосновывается и второе свойство. )
10
Historical archive . public document
