Answer

‫تذكير ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫عملية الضرب قابله للتوزيع أى إن‪𝑥 ∙ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧 :‬‬ ‫)‪5 ∙ (6 + 7) = 5 ∙ 6 + 5 ∙ 7 = 65 = 5 ∙ (13‬‬ ‫‪‬‬ ‫عملية الضرب ابداليه أي ان ‪𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑦 ∙ 𝑥 :‬‬ ‫‪9 ∙ 7 = 63 = 7 ∙ 9‬‬ ‫‪‬‬ ‫األسس‬ ‫𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 = ‪𝑥3‬‬ ‫‪27 = 33 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27‬‬ ‫𝑥 ∙ 𝑥 = ‪𝑥2‬‬ ‫‪16 = 42 = 4 ∙ 4 = 22 ∙ 22 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2‬‬ ‫تعريف النظريه ‪:‬‬ ‫𝑏‬ ‫𝑛‬ ‫𝑎‪𝑏−‬‬ ‫)𝑎 ‪𝑘(𝑏 −‬‬ ‫‪∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim‬‬ ‫‪∑ 𝑓 (𝑎 +‬‬ ‫)‬ ‫𝑛 ∞→𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑘=1‬‬ ‫السؤال‪:‬‬ ‫𝑎‬ ‫أحسب التكامل بأستخدام تجميعيات ريمان‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫? = 𝑥𝑑 ‪∫ 𝑥 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝑓(𝑥) = 𝑥 2‬‬ ‫‪𝑏 = 1,‬‬ ‫‪𝑎 = 0,‬‬ ‫بتطبيق النظريه‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪1−0‬‬ ‫)‪𝑘(1 − 0‬‬ ‫‪∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = lim‬‬ ‫‪∑ 𝑓 (0 +‬‬ ‫)‬ ‫𝑛 ∞→𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑘=1‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑘‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑘2‬‬ ‫‪∫ 𝑥 𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓 ( ) = lim ∑ 2‬‬ ‫𝑛 ⏟‬ ‫𝑛 ∞→𝑛‬ ‫𝑛 ∞→𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑘=1‬‬ ‫‪𝑓(𝑥)= 𝑥 2‬‬ ‫‪𝑘=1‬‬ ‫‪0‬‬  ‫𝑛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑘2‬‬ ‫‪= lim ∑ 2‬‬ ‫𝑛 ∞→𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑘=1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إن دليل )‪ (index‬الـ ‪ summation‬هو 𝑘 مش 𝑛 و بالتالى ممكن أعتبر 𝑛 ثابت و أخرجه بره الـ ‪.summation‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪= lim ∙ 2 ∑ 𝑘 2‬‬ ‫𝑛 𝑛 ∞→𝑛‬ ‫‪𝑘=1‬‬ ‫‪‬‬ ‫بأستخدام خصائس الـ ‪summation‬‬ ‫)𝟏 ‪𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 +‬‬ ‫𝟔‬ ‫𝒏‬ ‫= 𝟐𝒌 ∑‬ ‫𝟏=𝒌‬ ‫)‪1 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪𝑛→∞ 𝑛 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫هنطير 𝑛 من البسط مع 𝑛 من المقام‪.‬‬ ‫)‪1 (𝑛 + 1)(2𝑛 + 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫)‪(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪𝑛→∞ 𝑛 2‬‬ ‫‪𝑛→∞ 6 𝑛 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫نظريه هامه فى النهايات ؛‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫𝑛 ∞→𝑛‬ ‫𝟏‬ ‫هنحاول نستخدم النظريه بإننا نظهر الشكل 𝒏 فى النهايه‪.‬‬ ‫𝟏‬ ‫‪ ‬األستراتيجيه لكى نجعل الشكل 𝒏 يظهر فى النهايه ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أوالً؛ ممكن اعتبر ‪ 𝑛2‬هو عباره عن ) 𝑛 ∙ 𝑛( "فكيت المقام فقط"‪.‬‬ ‫ثانياً؛ هستفيد من خواص إن الضرب عمليه إبداليه و قابله للتوزيع ‪.‬‬ ‫هامش ؛‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏 𝟏‬ ‫∙ =‬ ‫𝟐𝒏‬ ‫𝒏 𝒏‬ ‫‪11 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫))‪∙ (𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) = lim ( (𝑛 + 1)) ( (2𝑛 + 1‬‬ ‫𝑛 𝑛 ‪𝑛→∞ 6‬‬ ‫𝑛 ‪𝑛→∞ 6‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(1 + ) (2 +‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪𝑛→∞ 6‬‬  lim (𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)) = lim 𝑓(𝑥) ∙ lim 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 Limits ‫بأستخدام خصائس الـ‬  1 1 1 1 1 1 = ( lim (1 + )) ( lim (2 + )) = ( lim 1 + lim ) ( lim 2 + lim ) 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ 6 𝑛 𝑛 6 𝑛 𝑛 1 Limits ‫بأستخدام خصائس الـ‬ lim 𝑐 = 𝑐 lim = 0 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛 .‫𝑐 ثابت‬  lim (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = lim 𝑓(𝑥) + lim 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 1 1 1 = (1 + 0)(2 + 0) = (1)(2) = 6 6 3 𝑥→𝑎